Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Вычислим объем, захлючеппый между шаром радиуса а я прямым круговым цилиндром радиуса — проходяшнм через центр шара 2' (рнс. 38). За начало координат примем центр шара, плоскость ХОУ выберем перпендикулярно к оси циляндра н ось ОХ проведем от центра шара к точке пересечения осн цилиндра с плоскостью ХОУ. В силу симметрии можем сказать, что искомый объем будет равен учетверенному объему части цилиндра, ограниченной плоскостямн ХОХ, ХОУ н верхним полушарием. Областью интегрирования будет здесь У половина основания цилиндра, контур которой состоит иэ полуокружностн г=асоэ!р н отрезки осн ОХ, причем угол !р мепяетгя 38. от О до — —, н соответствуинцнй луч — от 2' осп ОХ к сон ОУ. поверхности шара к'+уз + аз = аз Рис. Уравнение в нашем случае перепишется в анде аз=аз — (к'+у'), 2=1/а' — г' Поэтому искомый объем будет 69. Крнволпиейные координаты.
В предыдущем номере мы определили элемент площади н рассмотрели вопрос о вычислении интеграла в случае прямолинейных прямоугольных координат (к, у) н 2 а сыч а 4 Г ~ (ас аз 3 а п 2 1 Ч!с=а сове гэ гаг = 4 ~ ( — — (аз — гс) ~ ~ ЕР 3 )1,= о 4 Г мпэ <р) !йр= — аз р+соз !р — — 3! ~ 3 3 3!!(е-з $ а кРАтные интеГРАлы 83 „„рных координат (Г, и). Рассмотрии тот же вопрос для любых коорд оординат (и, о).
Введем вместо прямоугольных координат х и у „кис-нибудь новые переменные и и о по формулам р(х, у)=и, ф(х, у)=о. (1 1) (12) х=о,(и, о), у=ф,(и, о). В случае полярных координат и есть Г и о есть ф. Линии постоянного и и постоянного о, о которых мы говорили выше, называются координатными линиями криволинейных координат (и, о). Они образуют два семейства линий (окружности и лучи в полярных координатах). Определим теперь влеменег ллощади»е в криволинейных коорйинаювах (и, о). Йля итого рассмотрим влемент плошади М,М,М,Ма (рис. 39), образованный двумя парами бесконечно близких координатных линий: о(х, у)=и, о(х, у)=и+»и„ ф(х, у)=о, ф(х, у)=о+»ш )ьоордннаты вершин четырехугольника М,М,М,МА с точностью до бесконечно малых высших порядков будут (1, 681: (Мг) х,=ф,(и, и), у,=ф,(и, о); (Ма) ха=о,(и+»и, о)=о,(и, о)+'~' "„' »а, у.=ф,(и+»«, о)=фг(и, )+дф,~ю, )» асли мы фиксируем значение и и будем считать о переменным, получим семейство линий на „„оскостн.
Точно так же, если у фиксируем значение о и будем и считать и переменным, то получим другое семейство линий. Линии Ю есве втих двух семейств могут быть как кривыми линиями, так и прямымн (рис. 39). / Положение точки М на плоскости определяется парой чисел (х, у) Я или, в силу (11), парой чисел В (и, о). Эта пара чисел (и, о) назы- Рис. 39. вается криволинейными кооудпнаеама точки М.
Решая уравнения (!1) относительно х и у, получим вырзженне прямоугольных шюрдинат (х, у) через криволинейные (и, о): 184 гл. сп. кратные и кянволинииныв ннтегиллы нв (Ма)х =вс(и+с(и, и+до)=асс(и, е)+ ',„' ди+ 'д,' асо (и уз=с)с(и+с(и, н+сЬ)=фс(и, и)+дг'~"' ) оси+ ~'„"' )с»и (Ма)х =~(и '+~о)='(и ")+ дэ'~п у фс ( 0 + с(з) фс (и В) + ~ д а Из написанных формул непосредственно вытекает, что х, — х,— =х, — ха и уа — у, =уа — ум а из этих равенств следует, что от. резки М,М, и М,Ма равны и одинаково направлены.
То же можно сказзть и об отреаках МсМа и МяМа, т. е. с точностью до малых высших порядков М,М,МаМс есть пзраллелограмм, и его площадь равна удвоенной плошади треугольника МсМ,Ма, т. е. по известноп формуле аналитической геометрии ~Й = ! хс (уя — уа) — ус (ха — ха) + (хяуа — хауз) !. Подставляя выражения координат, получаем формулу для элементз площади в любых криволинейных координатах: Ыа — ~ Г'» ' ) ~!» ' ) ~'» ' ) ~!» ' ) ~с(ис(е=»0'Ыидэ где 0 называется функцссоналаным определителем от функции у,(и, о) и фс(и, э) по переменным и и тс В дт! »и ') дФ' »и ') — дт'(" ") ВФ »" ') ди дз де ди Окончательно формула замены переменных в двукратном интеерале будет ~~у(х, у)с(а=~с)Р(и, в)»0»стисЬ, (13) с~! с~! где Р(и, е) означает функцию от и и о, в которую перейдет у(х,у) в результате преобразования (12).
Пределы интегрирования по и и э определятся из вида области (е) аналогично тому, как это было укавано в 189] для случая полярных координат. В формулах преобразования(11) мы рассматривали и и н как новые криволинейные координаты точек, считая самую плоскость неизменной. Мы можем, наоборот, считать сс и о по-прежнему прямоугольныия координатами, и тогда формулы (11) дадут нам преобразование плоскости, при котором точка, имевшая прямоугольные координаты (х, у), преобразуется в точку с прямоугольнылси координатаьси (и, э).
Такое преобразование деформирует областсг (е) в новую область (2;). Пря таков точке зрения мы должны будем переписать формулу (13) так: $$г(х, у)с»е= ($Р(и, в)» В',с»с!с!в, н! ы! $ З. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 180 нряч чем здесь и и о — пРЯмоУгольные кооРдинаты точек области (2;), пределы интегрирования в интеграле по (2;) определяются так, как о было указано в [89[ Если положить у(х, у)=то(и, о)=1, то подучим выражение плошали о области (а) в виде интеграла по (~)т а = ~ ~ [.() ) с(и до. (з) Отсюда видно, между прочим, что при нашей новой точке зрения пачение [ 1) [ в какой-либо точке М области (~) есть коэффициент изменения площади в точке Ф при деформации области (2,) в область (а), т е.
предел отношения площади некоторой области, лежащей в (а) и.содержащей образ точки А(, к площади, соответствующей области, лежащей в (2,') (эта область содержит точку Ф), когда эта последняя обдасть стягивается к точке М. Более подробно мы рассмотрим с этой тошси зрения преобразование переменных з двойном интеграле в [80]. Примеры.
1. Рассмотрим на плоскости ХОГ круг х'+уз<! с центршз в начале координат и радиусом единица. Введем новые переменные по формулам перехода к полярным координатам: х = гсоз Т, у = г мп т, но будем рассматривать г н т не как полярные координаты, а как прямолинейные прямоугольные координаты, т. е. будем считать, что точка с прямоугозьиымя координатами (х, у) преобразовалась в точку с прямоугольными же координатами (г, т). При атом, очевидно, вышеупомянутый круг перейдет з ррямоугозьник, ограниченный прзмыми х = О, х 1, у = О, у =2я (изн гааО, г = 1, т = О, Т = 2я), причем началу коорлинат х =у = 0 соответствует целая сторона г = 0 этого прямоугольника, а противоположные стороны ааз0 и а = 2я прямоугольника соответствуют одному и тому же радиусу круга Применяя для прямоугольника правило приведения двойного интегралй к двум повторным, выражаемое формулой (8), непосредственно видим, что вря интегрировании з полярных координатах по вышеуказанному кругу предеаы интегрирования по г должны быть г = 0 и г = 1, а по Т соответственно т = 0 и т = 2я.
Аналогично можно обьяснить и те правила опредеаеюзя пределов прн интегрировании в полярных координатах, которые даны в Ъ данном случае д (г сов т) д(г з1п т) д(г сов т) д'(г а1п Т) дг дт де дг и, иак мы видели выше, да=гдгдт. Й В качестве другого примера второй точки зрения рассмотрим прямоугольный треугольник (а), ограниченный координатными осями н прямой В+у =а. Точки, лежащие внутри (а), определяются следующими неравенствами, которым должны подчиняться их координаты х)0, у)0, х+у~ а.
(14) Вле лелем новые переменные (и, о)„полагая: т е х+у=и, ау=па, и=х+у о= —, ау ° + 186 гл. ш. ккдтныи и кщчволиненнып интегралы 1В~ ияи и (а — о) х= ио У= а' Будем рассматривать (и, о) тоже как прямолинейные прямоугольные каор. диваты. Из последних формул следует, что неравенства (14) в новых перс мси вых равносильны неравенствам: 0 ( гг ( а, 0 ( о с а, которые определяют квадрат (у), имеющий вершину в пячаас и стороны, направяеппыс по осям. Всякой точке (х, у) кз (ч) соответствует определенная точка (и, о) из К) и наоборот. Для с) получаем выражение а — оииои 11 = — — + а а а' а а и формула (!3) будет иметь впд ~ ~ у(х, у) йх иу = ~ ~ Р (и, о) — Ии я'о, иап, вводя пределы интегрирования согазсно (7) и (8), а а — я а а их ~ /(х, у)И> — — ~ ийи ~ Р'(и, о)ао.
о О 1 а о о 61. Трехкратный интеграл. Двукратный интеграл, о котором мы говорили в 1661, можно истолковать не как объем тела, а как массу, распределенную на плоской области (о). В самом деле, вообразим, что на (а) распределена материя. Пусть Ьт — количество материи на элементе ио, содержащем внутри себя некоторую точку )ч. Если дгл при беспредельном сжатии Ьа к точке М отношение — (1!о — пло. Ьч щадь упомянутого элемента) стремится к определенному пределу у(Ж), то этот предел определяет плотность поверхностного распределения в|атерии в точке Ф: Нш — =у ()ч).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
