Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 36
Текст из файла (страница 36)
ага Если (а) разбита на а~алые элементы Ьо, то масса отдельного элемента приближенно равна произведению у (М)ба, а для полной массы на (а) можем написать приближенно т чту(дг) оо, где суммирование распространяется на все элеыенты Ьо, заполняющие (о). Полученное приближенное равенство будет тем более точным, чем меньше каждый элемент Ьа. В пределе при беспредельном сжиыании по всем направлениям каждого нз элементов Ьо, причем число этих элементов тем самым беспредельно увеличиваегся, мы 187 а з кРАтные интеГРАлы будем иметь т = й)п ~~ У(Ф) Ьа= Г)Г)1(Л)) аа.
ко Совершенно аналогичным путем рассмотрение массы пространстциого распределения материи приведет нас к понятию трехкратного цитеграла. Вообразим некоторый объем (о) в пространстве, огранищииы» замкнутой поверхностью (о). Пусть в этом объеме распределена материя, общая масса которой есть т. Разобьем весь объем (э) на большое число л малых элементов Ьп н обозначим массу каждого цз них соответственно через йт. Пусть отношение йм йв при сужении элемента Ьо к точке М, лежащей внутри этого элемента, имеет предел. Он определяет плотность (иросглранстаенную) раслреаеления в точке М. Обозначим этот предел через г(М): 11ш — =У(М). йм йа Как и выше, мы можем писать приближенно тж~ДМ)йэ, )е) где суммирование распространяется на все влементы йэ, заполня)оише объем (в).
В пределе при беспредельном сужении по всем направлениям иаждэго из элементов Ьо мы будем иметь т= йш ~У(М) й~ РВ Этот физический пример приводит нзс к общему определению трехкратного интеграла, аналогичному определению двукратного интегралк Пусть (в) — ограниченная область трехмерного пространства н Х(М) — функция точки, определенная в втой области, т. е.
функция> принимающая в каждой точке М области (э) определенное значение Разбиваем (о) на л частей, и пусть йо), йо„ „ ., йо„ вЂ” объемы этих частей, а М„ М„ „... М„ — какие-либо точки, находящиеся в этих частичных областях. Составляем сумму произведений (16) Ч', У(МА) йоге а 1 188 ГЛ. П1. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕИНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ !6! Предел этой суммы при беспредельном возрастании числа деленян и при беспредельном уменьшении каждой из частичных областеп называется трехкратным иншегралом от функции г(М) по области тс ') ') ')Г (М) а!в=!1ш ~', т (Ма) Ьоа. О9 Ф=! 3 а и е ч а н и е [ср.
58). Пусть !(А — максимальное расстояние между двумя точкаии частичной области Ьеа (дизметр этой области) и 11 — наибольшее из чисел !1„!тм ..., и„. Беспредельное уменьшение каждой из частичных областеи имеет тот смысл, что 11-ь0. Если буквой I обозначить величину интеграла, то высказанное определе.
ние равносильно следующему: при любом заданном положительном числе е существует тзкое положительное число ~, что ! л !' — У, '1(МА)Ьва ~а, если только 4((т). а ! Строгая теория трехкратных интегралов, как и двукратных, будет изложена в конце настоящей Х главы. Если т (М)=1 во всей области (и), то получится объем и этой области: А(ля вычисления трехкратного интеграла нужно уметь приводить его к простым пли двукратным интегралам, способ вычисления которых был уже указан.
Отнесем пространство и прямоугольным координатам. Допустим, для простоты, что поверхность (8), ограничиваюРис. 40, щая объем (э), пересекается пе более чем в двух точках любой прямой, параллельной одной из координатных осей. Построим цилиндр, проектирующий эту поверхность (8) на плоскость Х01; в виде области (а„ ) (рис. 40).
Линия касания поверхности (Я) с цилиндрои разобьет ее на две части: (1) «1=9!(» У) (11) .,= !(х, 'у), 189 а а кРАтные интеГРллы До = Да Д«. 3озьмем один из элементов Дэ и внутри него точку Л)(х, у); Проведем через нее прямую, параллельную осн ОУ, которая пересечет'(Я) в точках с ординатами «, и 2(, на каждом нз ее отрезков, заключенных внутри элементов До, возьмем по точке М(х, у, «).
Сумма, входящая в формулу (16), может быть переписана так: ~У(х, у, «)до=~ч~~да~~ У(х, у, «)д». (а) И! РЛ Фиксируем пока Да и будем уменьшать Д«. Из основного понявиа об определенном интегрзле следует Иш Ч"У(х, у, «)Д«= ( г (х, у, «)((2, (а) а( причем величины х, у надлежит рассматривать как постоянные пара- метры. Итак, приближенно имеем ~ 1(х,'у, 2) д«каа ) У(х, у, 2)((у=ф(х, у).
ьч ка Ио тогда, очевидно, в силу определения двукратного интеграла ~'У(х, у, «)До~ ~", ЛаФ(х, у)-+ ~~ Ф(х, у)((ц те: (ь) ( к ) (акг) ку 1~)У(Х, У, «)ЫО= ~~ (Ь ') У(Х> У, «)((», (16) (ы (а ) к( ~редыдущие рассуждения, если отвлечься от геометрического меголкования, приводят нас к следующему правилу для вычисления трейсратных интегралов, Прямая, параллельная оси 02 и проходящая через л(обую точку лшцади (а ). войдет внутрь объема (о) через часть (1) и выйдет него через (!1) ординаты точек входа и выхода 2, н «я будут агтнымн функциями от (х, у). условимся теперь разбивать объем (э) на элементы До следую- (и( образом: пло(падь (яка) разобъем на большое число мзлых зле~па Да; на каждом из йих, как на основании, построим цилиндр, „ торыи вырежет из (о) столбик; этот столбик мы затем разобьем На элементарные цилиндры высоты Д« сечензями, параллельными плоскости ХОУ и проведенными на расстоянии Д« одно от другого.
Полученные таким путем элементы объема Дв выражаются по фор- муле 190 ГЛ. Н! КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ен Для приведения трехкратного интеграла ~ ~ ') У(х, у, е) бэ сь! к просто.иу и двукратнолсу; 1) проектируем поверхность (Я), ограничиваюисую обьем (о), на плоскость ХОу в виде области (е„,); 2) определяем координатны е, и га точек входа и выхода пря.иой, параллельной ОХ и проведенной через точку (х, у) области (еьу); 3) считая (х, у) постоянным, вычисляем интеграл ')У(х, у, )аг, с! а затем двойной интеграл ба ~ у(х, у, г)бг. ( ьу) с(вукратный интеграл можно, в свою очередь, привести к повторному, пользуясь прямоугольныни координатани (х, у), и ны получим окончательно ~~ ~ У(х, у, г)бо=~бх ~ бу ~ 5(х, у, е)бг, (17) сэ! а ус с! причем пределы (уи у,) и (а, Ь) определяются, как и в [57[.
Мы предоставляем читателю разобрать другой порядок приведения трехкратного интеграла к повторному путем проектирования поверхности (Я) на плоскость УОУ в виде площзди (а,) илн на плоскость ХОЯ в виде (е„,). формулу (17) можно переписать так: ь ус сс ~~')7(х, у, г) ссхбубг=')ах ) бу ) 7(х, у, г)бг. Ов ь у! Множитель бх бу 4г называется элеменгпом обзема в пря.ссоугольных координатах, он получается разбиением объема (о) на бесконечно малые прямоугольные параллелепипеды плоскостянв, параллельными координатным плоскостям.
Путь строгого обоснования формулы (17) будет указзн в копне настоящей главы. Заметим, что если прямые, параллельные осяи пересекают (8) более чем в двух точках, то надо разбить (о) на части так, чтобы для каждой из частей пересечение имело место ие более чем в двух точках. Вычисляя интеграл по каждой из получен ных частей указанным выше способом и складывая зги интегралы мы и получим интеграл по всей области (о), 191 % а.
НРАтные интеГРАлы Вслн (о) есть прямоугольный параллелепипед, огранпченный плоостямя, параллельными коордвнатным плоскостям х — а, х — Ь„у — аь у — Ьь а — аа, к — Ьь н прн первых ннтегрнрованнях пределы окажутся постоянными ь ь, ь, ~)') г(х, у, г)дхггудг=~ах ~ г(у ~ г (х, у, а)да.
(18) ио 92. 11нлнндрнческне н сферические координаты. Часто бывает удобно относить пространство не к прямолинейным прямоугольным коордннатам, а к другой системе координат. Наиболее употребительные вз этих сястем — цилиндрические и сферические координаты. В прямолинейной прямоугольной системе положение точки определяется ее тремя коорлннатамн (а, Ь, с), и точка эта находится на пересечении трех плоскостей: х = а, у = Ь, а = с, параллельных координатным плоскостям.
Таким образом в этом случае пространство как бы заполняется тремя семействамн взанлшо перпендикулярных плоскостей х=СР у=С„а=Сэ гле С„Сь Сь — постоянные, и всякая точка пространства является точкой пересечения трех плос. костей разлнчных семейств.
Оставляя координату а, введем вместо х и у новые координаты г и у, полагая х=гсоз р, у=га1по, а=а. Рнс. 41. Коордвната г есть расстояние точки М до осн ОЕ и о есть угол, образованный плоскостью, проходящей через ось Оа. и точку М, с плоскостью ХОЛ (рнс. 41), причем у л~ожет меняться от О до 2в в.г — от О до (+ сю).
Коордннаты (г, у, а) называются цилиндрическими координата.кгг точки М. Точкам осн ОЛ соответствует г= О, а координата о у ннх неопределенна. 'чы имеем в этом случае следуюшне трн семейства координатных поверхностей: Г=СР ~у=Сл, г=Са. Первое семейство г = С, есть семейство круговых цнлнндров, ось вра е р щенвя которых есть ось Ог,. Второе семейство у — Сл есть семейст ейство полуплоскостей, проходящнх через ось 02, и, наконец, Реале семейство г = Сл есть семейство плоскостей, паРзллельных плоскости, ХОу' 192 ГЛ.
(П. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕИНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (ат Придавая переменным г, (у и з прирашения Ьг, Ь(у, Ь» и провслт по две близкие поверхности из кзждого семейства, соответствующ е взятым значениям перел(енныт, получим элемент объема в цилиндрических координтаю Вдоль каждого из его реб;р меняется только одна из когр. дииат, и эти ребра попарно ортогональны (рис. 42). С то(- пастью до малых высших порядков тзкой элемент можно принять за прямоугольный параллелепипед с ребрами Ьг, г длу, Ьг, что дает выражение элежени(а облелга в цилиндрических координатах ((и = г ((г ((р ((з и вместе с тем выражение трехкратного интеграла в цилнндГтческих координатах ~~~У(Л4)бо = (л = ~(1(уУ(г, о, г)гбг(тр(тг, (19) (Ю ( ьу причем пределы интегрирования оп.
)в ределяются по тем же принципам как и в случае прямоугольных координат. П р и и е р. Найти массу сегмента п(ара, наполненного неоднородной материей, плотность которой изменяется пропорционально расстоянию от основания сегмента (рис. 43). Поместим начало ло- Рис. 43. ординат в центр шара, за плоскость ХОУ примем диаметральную плоскость, параллельную основанию сегмента, ось Ос направим от начала координат к сегменту и обозначим через л радиус шара, через И высоту сегмента, через г, радиус основания сегмента Уравнение шара в цнлиилрлчеслих координатах будет или л' = а' — га.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
