Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Каждый из таких элементов примем за основа(ше цилиндра, который, будучи продолй)ви дт)лересечения с поверхностью (8), ьырвкет иа объема и элементарный объем. Очевидно, что за величину этого объема мы можем приближенно прийять объем цилиндра, основание кото- О рого тоже Ьч, а высота — ордината, Рис. 33. т. ц значение з любой точки элемента йоверхности, который проектируется а виде элемента Ью Другими словами, взяв на элементе й(ч любую н)чку Ф и обозначив для краткости через Г()(Г) ординату точки М зоверхности (Ю), соответствующую этой точке Ф, или, что то же, ыичение функции г(х, у) в этой точкц мы имеем для элементарного объема г" (((г) Ьа и о ~ ',Д(М) Ьц (а) зрячем суммирование распространяется на все элементарные площади Ьа, заполняющие площадь (а).
Чем меньше будет каждый элемент бч и тем самым больше число и этих элементов, тем точнее будет полученнзя приближенная Формула, и в пределе можно писать йщ У,'г'()ч') Ьо = о. (а) Отвлекаясь от геометрических предстзвлений, мы можем определить написанный предел суммы и независимо от геометрического иэображения функции 7"()ч), этот предел и называется двойным, илн аукрптлым, пнтегрплом от функции г()()) по области (а) и изображается так: й ш 'я ~'(Лг) Ьц () (а) ~у(цествование написанного предела наглядно ясно, ибо этот префв® как мы выяснили, должен давать объем и, описанный нами выше. экое рассуждение не является, конечно, строгим, но можно доказать 178 ГЛ. П!.
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕИНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1»ь и строго аналитически су!цествование упомянутого предела при ло. вольно общих условиях для Т(Л() и области а. !(ва знака интегра.(а указывают на двумерность области интегрирования (область на пло. скости). Подынтегральное выражение 7(Л()(!а чисто условно. Оно на. поминает о том, что величина интеграла есть предел указанных зып,е сумм. Отметим, что мы при этом не вводим на плоскости никакон системы координат, что мы делали в случае формул (о) и (6). Ог(ре.
деленный выше интеграл называем, как и в случае одного перемен. ного, интегралом Римана. Если мы положим 7(Л7)=1, то получим выражение площади а области (а) в виде двойного интеграла (а! Формулируем полностью определение двукратного интеграла: пусть (а) — ограниченная плоская область и 7(Л() — функция точки в этой области, т.
е. функция, принимающая в каждой точке ЛГ области (а) определенное значение. Разбиваем область (а) на и частей, частичных областей, и пусть Ьа„Ьах, ..., Ьа„— плошади этих частей и Л'ь Л:„, ..., Л(„— какие-либо точки, находящиеся на этих частях. Составляем сумму произведений ~ гс (Л7») Ьатг »-1 Лредел зл(ой суллы лри беспредельном возрастании числа делений и и беспредельном уменьшении колодой из частичных областей аа» называетсл двукратным интегралом от функции ! (Л() ло облав!ли (а) в ~~У(Л() ба=Ею ~, 'У(ЛГ»)йа».
(! » ! 3 а м е ч а н и е. Пусть Ỡ— максимальное расстояние между двумя точками частичной области с площадью ца» (диаметр этой области) и б — наибольшее иэ чисел а(, б», ..., (7„. Беспредельное уменьшение кажлой иэ чзстей Ьа», о котором говорится в определении, имеет тот сиысл, что с(-ьО. Если буквой ! обозначить величину интеграла, то высказанное выше определение рзвносильно следующему: при л!обои зэданном положительном числе в существует такое положительное число ~, что (ср. 1, 87) л ! — ~ г (Л(»)йа» (е, »-! если только (1 (т(. В конце настоящей главм прн изложении полной теории кратных интегралов мы введем строгое определение площздя вй % 6.
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 119 очини понятие области (а), по которой можно производить интеуточ трир ирование, выяснилб каким образом ее можно разбивать на частичиме е области и докажем существование предела упомянутых сумм. 39. Вычисление двукратного интеграла. Рассматривая двукратный -„интеграл как объем, мы сможем вывести способ приведения вычисления вя двукратного интеграла к двум простым квадратурам.
Отнеся плоскость, на которой находится область (3), к прямоугольной системе координат ХОГ', допустим, что элементы ца получаются путем разбиения площади иа прямоугольники со сторонал~и дх и йу, прямыми параллельными коор)(инатным осям (рис. 34), и пусть (х, у) — координаты точки 1ч. При етом естественно писать У(Ь()=У(х, у), лла=цхду, да = Их а(у н ЦУ(Ф) л(а =! 1ш '~',У(х, у) йх 'лу = РЛ ы) =) )1(х, у) г(хллу. гл Рнс. 34. С другой стороны, применяя скззанное в [57[ относительно выражения объема через повторный интеграл, можем написать $1У(х, у)~(хИу=$г(х$ У(х, у)4у=$Ыу ~ У(х, у)Их, (7) Рл а АЧ что н дает правило для вычисления двукратного интеграла, независимо от геометрического значения функции 1(х, у). Если первое интегрирование совершается по у, то х при этом Считается постоянным, а пределы у, и у, суть функции от х, определяемые по формулам (2) [67[.
Аналогичное обстоятельство имеет Место если первое интегрирование совершается по х. Пределы при первом интегрировании в повторном интеграле будут определенными постоянными, не зависящими от переменной второго интегрирования, лишь в том случае, когда область интегрирования есть прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям.
Если (а) есть аря"оугольник, ограниченный прямыми (рис. 35): х=а, х=Ь, у=а„у=р, )80 гл. ш. квлтныи и кяиволиниииыи иитигвллы 1аа то ( ~ 1(х, у) )(х в)у = ~ )(х ~ У(х, у) г(у = ~ Ыу ~У(х, у) вгх. (8) н) Выражение г)а=)ьх)ту называется алелгентот площади в лрл.)гоугольных координатах. Заметим, что в формуле (7) первое интегрирование по у при постоянном х соответствует суммированию по прямоугольникам, содержзшимся в полосе, параллельной оси ОУ, причем все эти прямоугольники 1 имеют одну и ту же ширину г(х, кото- рая выносится за знак первого интегУа- ' рирования.
Второе интегрирование по х соответствует сложению всех сумм, по. лученных при суммировзнии по полоскам, параллельным оси ОУ. В послед- Ф нем параграфе настояшей главы мы р а даем точное обоснование формул (8) А и (7). 0 а л д Если прямые, парзллельные осям, пересекзют границу (ч) более чем в двух точках, то надо поступать так, как это указано в [87]. Здесь и в дальнейшем мы, конечно, предполагаем, что интегралы, о которых идет речь, сушестзуют. Для этого достаточно, чтобы подынтегральные функции были непрерывны в (а) вплоть до ее границы, что мы и будем предполагат)ь а область (а) удовлетворяла условию, о котором будет сказано при обосновании понятия интеграла.
Отнесем теперь плошадь (а) к полярным координатам (г, 7). Уравнение поверхности (8) нужно будет тогда написать в виде а=7(г, )7). Элементы Ьч получим, начертив семейство линий г = сопя( и 7=сопз1, т. е. концентрических окружностей и лучей, проходяшнх через начало координат (рис. 36). В частности, при пересечении двух окружностей радиусов г и (г + дг) и лучей, идуших цод углами 7 и (7 + )ь)у), образуется криволинейная фигура Ьа, которую, с точностью до бесконечно малых высшего порядка, можно рассматривзть как прямоугольник со сторонами д)г и гну, так что да = г дг )) 7, тогда мо)кно написать С) )7 (1У) )а = 11 ~У(Г, 7) Г д)Г й р = ~ ') Г (Г, 7) Г Г(Г В)7. )а) М ы получили здесь двукратный интеграл, под ы нтегр аль и а я функци я котоРого есть 7 (г, ч)) г. Для его вычисления можно применить % Б.
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ б91 то же правило приведения к повторному интегралу, но только здесь роль х и у играют г и в. Первое интегрирование по г при постоянном Р соответствует суммированию по элементам Ьа, содержащимся между двумя лучами ~у и (у+о(7), причем ду выносится за знак первого интегрирован~(я. Второе интегрирование по в соответствует сложению всех сумм, полученных при первом сул(мировании.
Применяя упомянутое правило, мы прежде всего отмечаем крайние значения в и р аргумента о (в [67) крайние значения х), затем при фиксированном в — радиусы-векторы г, и г, точек входа внутрь (о) и выхода из (а) луча 7=сова( (это соответствует определению у, и у, в 1671). Определив этн данные, имеем Гг ')~ г(М)((а=()')А(г, ~>)го(го(7=~((7~У(г, 7)г((г, (9) (о со и гб где г, и г,— известные функции ~р. Рис. 36 соответствует тому случаю, когда начало координат лежит вне контура (/). Если же начало лежит внутри контура (l), то Рис.
36. Рис. 37. можно считать, что в меняется от 0 до 2в и что г при заданнол( значении в меняется от 0 до гм где гя получается из уравнения кривой (l): гя = ф (7), что дает (рис. 37) ак гь ~~У()1()о(о= ~ ((7 ~ ~(г, 7)гй; (г) о о Выражение г дг((Р (10) нааывается алелсгнл(ол( площади а полярных ноордпнатах. 182 ГЛ, Н! КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ма В частности, если /(Ж) = 1, мы получаем выведенное в (1, 1021 выражение для площади кривой в полярных координатах: г, !(гр ~ г с(г= — (г'„— г'-,) г(ср. 2 а г! (Формула пз 11, 102) соответствует случаю гз = г п г, = О). Пример.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
