Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Применим к атому промежутку метод Эйлера — Коши из [У[ Пгсть задано а ) О. В силе не~Рсрывнасти у(х, у), в !,т существует тзкое число Ь„ что [у (х', у') — у (к, у) [ ~ г при [ к' — х ' <- Ь, п (33) Рпс. )9. [у' — у,' < Ь. причем точки (х, у) и (х', у') считаются принадлежащими Ц. При разбпсшш Ь промежутка х, < х < л., + -- на части Л! Ь л., < х, < х, « ... ха, < хя — ха+в (39) М считаем, что [у, — у, [ < Ь! (х, — х,) + гЫ (х, — х,) = Л! (х, — х,), откуда следует, что и тачка (ха, у,) вместе с отрезком, соеяинлющим (х„у,) и (л'а.
Уа), принадлежат 8. Продолжая так и далее, убедимся в том, что / Ь' вся лолшная, построенная иа основе разбиения (36) промежутка [х,х + — [, Ь(, ' шал [ха — ха (< ппп ! ܄— ! " Л(г'' (3 ) уйетод Эклера — Коши приводит к следующей схеме для вычисления ординат ломаной аннин Гм соотвстствующнк абсписсам ха [7[: у1 =уо+у(ха уо)(хь — ха) ! у„=у, +у(кн у,)(х, — х,), уз =уз, +/(ха н уа,)(ха — ла,Ь ул =уа-~ +у(кя — т ул-~)(хл Х» — ~) Первое из этик равенств дает [уг уа: < [У(х уа) [(х ха) < Л((кю ха) откуда след) ет, что точка (хо у,) принаяасжпг треугольнике 5.
Ему жс принадлежат п весь отрезок ломаной (н соеднняю~ций точки (хм у,) и (х„у,). Анало~ично два первых равенства (33) дают у,— у, =у(хн у,)(л, — л,) +л(хн у,)(х, — х,) ь а дополнит, сннйныий по Дие внокн<тидт<ьиыьт врянншгияю тпо при н соблюденинк условия (37) прннлдлея<ит 8. Обозначим через у =у, (т) равнение атой ломаной. Производная фушщпн у,'(х) постоянна внутри камы „ого частичного промежутка х„,(« < х<„а в точках х=хдимсст, вообще говора, разрыв первого рода.
Ыы ниееи, в силу (33), у,(х)= у,(хд,)+л" [хд н у,(хд,)[(х — хд,) прн хд, (х атха н ' х =у хд о у,(ха,)) при».д, ( х ( хд у.() ( Из очевидной формулы у (х) г[х< уе(х)! =те[«д- )<е(хд д — г[«, у,(х)[ при х в силу (35) н (37)< получаем [у,'(х) — г [х, у,(х)) [(е при хд, ( х (хд для 3=1, 2, ..., и, и, интсгрирун разность, стоящую под знакол< абсолют- Ь мого значения от хе до х, где х, ~ х ~ —, полу чаев 31 ' « [уе(х) — уе — ) у [Г уе(Г)[а<с[ей'(» «е).
хе Для точного решения у(х) задачи (13), (19) мы имели формулу (20). Вычитаем из выражении, стоящего под знаком абсолютного значения, величину У(х) — У,— ~ У[Г, У(Г)[ «Г, те равную нулю: [Уе (х) У(х)+ ) ( г [с, У(Г)[ У[с< Уе (Г)[ [ <ГГ [ (е (к хе) «е при хе~х~х,+ —. Обозначая г,(х) = [у(х) — у,(х) <, получаем Ь г.(х)~[ $ [у(г, у(г) — у[г, у.(у)) ) йг,<-)-е(х — х,). ке Ь топ<и (х,у,(х)) и (х,у(«)) прн хе~х~д принадлежат О, и иы ножом прниенить неравенство Липшица (24) г, (х) ~ А ~ г, (Г) а<с+ е (х — х,).
.ее Если положить <л(«)= [ г,(г)<уг< хе то последнее неравенство принимает аид у; (х) д)2(х)~е(х — хе) 156 гл. п. линепнып диэееоеицилльнын зплвнвиия 1Я умножая обе части на л г««и и интегрируя по х от х до х, придем к оцемке «г(х)мй — —,[1+в(х — х,)[-[- — *, л»<««»». Подставляя в правую часть (39) вместо интеграла правую часть последнего неравенства, придем к окончательному неравенству г (х) ( [л» 1« — «»» то есть [у(х) — у,(х)[( ~ [л»1« — «а» Ц «»ах(х»+-4[ (40) Это — оценка между истинным решением задачи (181 (19) з приближенным ее решением по метеку Эйлера — Коши. Чнсло е)0 можно задавать произвольно, по прп умевьшенин» првлолпгся прибегать к более мелким пол- Ь разделениям промекутка х,~х( — на части.
Оценка (40) имеет место, Ь очевидно, и па промежутке х,— — ~х~х, при замене х — х, па [х — х, [. з з Мы рассмотрели случай — ( а. При а ~ —, рассуждения по существу М' те же. Аналогичные рассуждения могут быть проведены и дав системы уравнений. Можно показать, что указанная выше схолпмость метода Эйлера— )Сошп имеет место на всяком замкнутом промежутке, ирннадлежащем промежутку существования зтого решения.
Б4. Особые точки дифференциальных урпвиеннй первого порядка. Если правая часть уравнения у'=У(х, у) в точке (хм у,) и ее окрестности есть непрерывная функция, имеющая непрерывную производную по у, то через вту точку по теореме А[21 проходит одна и только одна интегральная кривая. Если вти условия не выполняются, то такое утверждение может и ие иметь места. Напишем дифференцизльное уравненке в форне, содержащей дифференциалы ах а'т Р (х, у» Я (х, у»' и положим, что Р(х, у) и »4(х, у) — функции однозначные, непрерывные и имеющие непрерывные производные пь х и у на всей плоскости ХО)'. Если Р(ха, уа) ~ О, то уравнение (41) запишем в виде ау () (х, у) (42,) Их Р(х, у) и прн соблюдении указанных условий точка(ха, у,)будет находиться внУтРи некотоРой области В теоРемы А длЯ УРавнениЯ (421).
Есле ы) 4 а ДОПОЛНИТ. СВЕДення по дИФФЕРЕИЦИАЛЪНЫМ УРАВНенИЯМ !57 Р(ха, уа)=0 но ь1(ха уц) э- О, то уравнение (41) запишем в виде ах Р(х, у) ау 0(х, у) н относительно точки (ха уо) можем утверждать то же, что и выше вля уравнения (42,). Особыжи точлажа уравнения (41) назовем те Точки, координаты которых суть вещественные решения системы уравнений (4 3) Р (х, у) = О, () (х, у) = О В таках точках уравнение (41) теряет смысл. Таким образом, мы толкуем уравнение (41) как нли уравнение (42,), вли уравнение (42,) (см.
2!. В следующем параграфе мы заменим (41) системой а =р(х у) аг= О(х у) (44) и приведем в общих чертах исследование этой системы. ЛЪЫ будем пользоваться этим приемом, как удобным практическим приемом, и в примере, к разбору которого ыы переходим, Положим, что Р(х, у) и Я(х, у) — многочлены первой степени, и особая точка находится в начале координат, т. е. уравнение (41) имеет вид а„х+ а„У агах + имт ' (45) где (46) апа„— аман ф О.
ПРи этом ПРЯмые аих+ ам У=О и амх+ амУ = 0 пеРесекзютсЯ в точке(0, 0), и все точки, кроме (О, 0), принадлежат области теоремы существования и единственноств уравнения (42,) или (42,). Уравнение (45), как нетрудно видеть, есть однородное уравнение в может быть проинтегрировано способом, указанным в 15). Но мы применим другой способ, а именно, вводя новые переменные $ и 4, мы приведем сперва уравнение (45) к виду, более удобному для непосредственного исследования. Положим 1= т,Х+ ПЬУ, и) = т,Х+ П)У, (47) где Ачв л; (1=1, 2) — постоянные. Имеем: Я = т,бх+ п,бу, бй = гпаг)х+ лабу. Из уравнения (45), составляя производную пропорнию, получим а( ач м,(а х 1 ° ы + аыу) + и, (аих+ а„у) и, (а„х+ ану) + и, (амх+ а, у)' — (48) Определим теперь коэффициенты в формулах (47) так, чтобы знаменатели написанных дробей была соответственно пропорпиональны с и ч ААля первого знаменателя будем иметь тд(амх+ааау)+ па(ацх+ аяа) у =р(шах+ псу), 158 гл. и.
линвнныа днввгшвнпнлльныв килзнения откуда, сравнивая коэффипненты при х и у, получим систему уравнений для определения р, ть л, — линейную однородную по отношению гль пр (агг — Р)т,+апл,=О, 1 (49,) аыт, — , '(а„— р)л, =О ) Точно так же, обращаясь ко второму знаменателю и приравнивая его р4, получим систему (ан — р) гл, + анп, = О, 1 (49,) аытг+(агг — р) па= О, ) причем р может иметь и другое значение.
Нулевые решения систем (49,) и (49,) не годятся, так как при этом преобразование переменных (47) теряет смысл. Нужно, чтобы эти системы имели решения, отличные от нулевого. Длгг этого необходимо и достаточно, чтобга коэффициенты указанных систем удовлетворяли условию (ан — р)(а„— р) — а,гам = О, то есть ай Р15 ггг Рг аг Рр Ч Ргв (5Зг) (53г) р' — (ац+ а„) р + (ана„— аггагг) = О. (зО) При выполнении этого условия как система (49,), так и система (49я) приведутся к одному уравнению, и можно получить для неизвестных (тн п,) и (гпь л,) решения, отличные от нулевого.
Отметим, что, в силу предположения (46), уравнение (50) не ьюжет иметь корня р = О. Рассмотрим сначала тот случай, когда уравнение (50) имеет различные вещественные корни р= р, и р=р,. Подставляя в (49,) р =р, и в (49,) р=рь сможем найти отличные от нулевого решения (ть п,) и (гл„ ля) этих систем. Покажем, что т,пя — т,п, Ф О, (51) т. е. что из уравнений (47) мы можем выразить х, у через 1, тр Положим, например, что ага~О. Фиксируя л,~0 и п„~0, получаем жг Р, — а,г жг Р,— а„, — — — откуда — у'= —, т. е. приходим к (о1). ж, ж, и, а„' и, а„ л, л,' Поскольку п, и и, можно полагать равнымв любому числу, отличному от нуля, можем считать, что пг,л,— тгпг=1, н из (47) получаем х= пг( — пгть у = — тя(+ гпггг (о2) В переменных !, 4 уравнение (45) имеет вид пг ач (53) Рг1 Ргл Мы толкуем это уравнение, как и уравнение (41), в виде двух уравнений дополнит.
СБЕЛення по Лиевегвнпначьным УвавненнЯИ !59 (>бозиачая через с" Г обпг> !о величину оююшений (53), придем к двум ифференциальным уравнениям А' ,гг =г!Е~ "— „,=РЛ, Ф) (54с) (54!) откуЛа т;=с!с ', гсс Е=с,е'", (55) где г, и с, — произвольные постоянныц Лишняя произвольная постоянная получилась за счет возможности замены Г на !+См где О,— произвольная постоянная. Отметим, что >равнение (53я) имеет очевилное решение Е = О, а уравнение (53,) решение т! — — О, т. е. уравнение (45) имеет интегральными линиями прямые тгх+ пгу = 0 гптх+ пгу = О.
(56) (56я) Точнее говоря, мы лолжны говорить о четырех полупрямых, иск:почая начало, в котором уравнение (45) теряет смысл. Этн полупрямые стремятся к началу, Рассмотрим теперь отдельно следующие случаи! 1. Корни р, и ря вещественны, различны и одинаковых знаков. Подставляя в формулы (52) выесто Е и т! их выражения (55) и решая относительно х и у, получаем параметрическое уравнение интегральных линий х=п,с,е 'с — п,с,ем', у=т,схе ' — т,с,е с, (57,) ыс Пу м,синс !ы- ы>с — /яссаа! лссни — п,с,рсс'с' г'>с (57,) Если исключить прямые (56,), (56,) и значения Е=4=0, которым соответствует х=у=О, то с, ~0 и с,п" О, переменные с и т! не обращаются в нуль ни при каком г и формулы (57,) не дают точки х=у=О. Если р, и ря положительны, то, пе нарушая общности, можем считать Ря)Рь а если Р, и Р, отРицательны, то бУлен считать ря(р!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
