Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 28
Текст из файла (страница 28)
О)мети», что нри вычислении первого приближения у,(х) и г) (х) а;и тютем и формулах (4) заменить под знаком интеграла у, и гь „а з дополнит. сввдсния по диене внцилльным х *знаниям !43 обымя функциями у,(х) и за(х), непрерывными на промежутке !. все последуюигее показательство сохраняется. 1!е останавливаясь на доказательстве, приведем две оценки для абсолютного значен!ш раз ностей у(х) — у„(х) и з(х) — ал(х) прг! Уа(х)=уа и аа(х): — гаг ~у(х) ул(х)! г 1л(х) хи(х)! ~ [еглцк-ка! "~)~ РМ(х-ка !"]()у ~ +~а !) «! и 1 ) у (х) — у„(х) ! + ) а (х) — ли (х) ! ~ «Л! $ ага <'- ю [ ! у„(гг) — у„з (и) / + ) ал (гг) — ли, (гг) ~ ) г(п ка (х >ха).
для использования второй оценки пало знать оценку квадратноп скобки, стояьцен под знаком интеграла. Указанный выше результат, касающийся существования и единственности решения, а также сходимостп метода последовательны.с приближений, справеллив и в том случае, когда ! есть открытый проиежуток сс"хс"О, ибо, в силу указанного выше, ны будем иметь существование и единственность решения во всяком конечном замкнутом промежугке и =х(Ь, содержащем значение х, и принадлежаилем промежутку !. Иы могли бы рассматривзть и неоднородную систему, т. е. прп. бавнть к правым частям уравнений (!) функпии гг(х) и га(х), непрерывные в промежутке 1, или общую линейную систему и урзвнении с л искомыми функцияии л '— "=,'~' ры(х)уз+у,(х) а ! У~ 1к-, = Уг ' Предыдущее доказательство прп этом остается в сила Линейное уравнение второго порядка у + р (х) у'+ о (х) у = 0 (1 б) а!ожет быть написано в виде системы, если ввести, кроне у, искомую функцию з=у'.
я'т лк як Фх —.- = г, — = — р (х) з — ~! (х) у, " таким образом выскззанныи выше результат справедлив и для уравиеииа (15) при начальных условиях У!к ка Уа У !» «а Уа (!О) ив прггмежутке ! непрерывности коэффициентов р(х) и о(х). 144 тл. п. линвиныв днввегенцндльныи иглвнсння 1аг Пользуясь условиями (16), можем переписать уравнение (1б) в виде л у=у,+ух — $ г(х') (р(х)у'+о(х)у)Ых, (17) .тю ю причем двукратный интеграл можно заменить простым по формуле (22) пз 111!. 1'авенство (17) дает возможность применять метод последовательныд приближении к уравнению (!6) и ие приводя этого урлв. ненни к системс.
П р н м с р. Применим метод иоглсдооотсльпыл ярнбложгинб к пример~, Гассмотрсниому номи о (46!: у" — хн = О. и зьигм начальныс условия у',„,=1 н у' )„,=О. уравнение (17) а данном тотчас будет у = 1+ 1гтх~ ау дх. г~ Подставляя справа у=1, получим второе приближение л' >,<,>=~~.)~ ) *с =~<-; — ' о Третье приближение будет ,н)- +5 ) (+,,' — '„!и -ж+Д+ о Псрслодя к прсдслу, получим стспсиноп ряд 1 1 4 , 1 ° 4 ° 7 у=1+ — х'+ — — х'+ — хо+ ..., 31 Ы 91 которыя мы имели в (466 Коьффициснт ( — х) есть непрерывная функция на бесконечном промежутке — со ( х С + со, И написанный ряд глодитгл в атом оромсжтткс.
Это легко проворить, пользуясь признаком Далаибсра (1, 121!. 61. Случай нелинейного уравнении, Метод последояательных приближений применим и дл» нелннепнык уравнении, ио окончательнып результат будет при этом несколько иным. Для простоты будем Рассматривать сначала одно уравнение первого порядка у'=У(х, у) (18) с начальным условием у!х -х, — Уо. (19) 11редполагается, что функция 7"(х, у) однозначна, непрерывна и имеет непрерывную производную по у в некоторой открытой области Л (область, к которои не причисляется граница) плоскости ХОу, причем З в дополнит. сведения по днввевенциальным тилвненням 145 точка (х„у,) принадлежит В.
В лальнейшем, при рассмотрении непрерывных функций у(х), определенных на некотором промежутке / изменения х, мы будем считать, что точки с координатами х, у(х), при изменении х на /, принадлежат В, и у(х) имеет проиэводнунь у такого решения у=у(х) уравнения (18) производная у'(х) непрерывна на / [ср. 1!. Если / содержит точку х и у(х) есть решение задачи (18), (19), то у(х) есть реи1ение ингсгрзлыюго уравнения « у(х)= !2+ ~1/(/, у(/))г// (х пэ /), (2О) я, наоборот, если у(х) есть пепрерышюе ка / равнение этого интегрального уравнения, то у(х) есть и решение ззлачн (!8), (19) из / !50!.
Выберем положительныс числа а и Ь так, чтобы пряяоугольник С/ плоскости ХОГ, определяемый неравенствами (рис. !8) хз — ач-.х~х,+а, У,— Ь =,У =У,+Ь, (21) првиадлежал В. Поскольку функции /(х, у) и — ''., по предпод/!.г, у) ду ложению, непрерывны и замкнутом прямоугольнике ф они ограни« чаны по абсолютной величине, т. е. существуют такие положительные числа М н », что (,г (х, у) ! ж-.
М, (22) ~~~', ') 1.:», (28) ° сан (х, у) принадлежит ь). Отметим, что, если концы (хи у,) и (хь уз) отрезка, параллельного оси ОХ, принадлежат О, то и все его Рис. 18. точки принадлежат О. Применяя формулу конечных приращений и учитывая (23), получим неравенство !гг(х ° у ) — «г(х! уг) ! К»!уа Л ! (24) если (хь у,) и (хь у,) принадлежит Д. Это неравенство, обычно называемое неравенством //гглигица, будет использовано в дальнейшем.
вычисление последовательных приближений будем производить по 'гюрмулам, аналогичным (4) и (5): .« у,(х)=у„+ $у(/, у,)Ю, (25) у,(х)=у,+ )Щ у„,(/))г(/, «в 146 ГЛ, и. ЛИНЕННЫЕ ДИФФЕРЕНШШЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ы! При вычислении по этим формулзм надо прежде всего позаботиться о том, чтобы точки с абсшгссани х и орлинатами у„(х) не вышли иэ прямоугольника (1, определяемого условиями (21). Первое из иих дает для х неравенство !х — ха!(а, а второе сводится к неравенству !у,(х) — у,! ( /ь (26) /(ля того чтобы это неравенство выполнялось при всяком гг, надо подчинить х, кроме уже поставленного условия 'х — х„'..: а, еше Ь условию 1х — хя!~ — „, и окончательно получим двз условия: 1х — хО!(а, !х — ха!» — „.
Ь (27) Покажем, что при этом все приближения будут удовлетворять услови1о (26). Первое приближение дает у,(х) — у,= ~у(/, у,) /, «О и, оценивая, как всегда, интеграл, получим в силу (22/ ! у1 (х) уО ! ~ Л4 ! х хО !' откуда, в силу второго иэ условий (27), !у,(х) — уа!О Ь, т. е. Нера- венство (26) выполнено при л = 1. Кроме того, очевидно, функ- ция у,(х), определяемая предыдущей формулой, непрерывна прн соб- людении условий (27).
Убедившись во всем этом, сможем вычис- лить у,(х) по формуле (25) при л = 2: 1'О( ) — У,= ~У[/, У1(г)11//, 3'О откуда, как н выше, Ь !у,(х) — у ! </И!х — хя! <А4 Т/ —— /О, т. е. неравенство (26) выполнено и при и=2, н, очевидно, у,(х)— непрерывная функция при соблюдении условий (27) и т. д. Таким образом, мы сможем определять последовательные приближения у„(х) в промежутке (х — с, х,+с), где, в силу (27), с есть наименьшее из двух чисел: а и —, Назовем этот промежуток через /. Все у (х) й/ ' О суть непрерывнь1е фупкщш в /, н во всех дальнейших рассуждениях мы будем считать, чго х принздлежит /.
Проведем теперь оценку разностей у,(х) — у,1(х), причем зл'1 простоты будем считать х — х, >О, как это мы делали и в преды- допОлнит сведения по диФФеРенциалывым УРлвпепииы 147 вй фа. душел!. Первое из уравнений (25), в силу (22), дает [у! (х) — у,.' ~а М(х — х,).
(28) Берем второе из уравнений (25) прк и=2 н вычитаем почленно из первого ~ [.в [!' «вв! (Г)[ — т«(в, у ) [ в(Г «в откуда [1, 95[ )[У'[~ ()) — У «в или, в силу (24) Ув(х)[~ [А!У (() [,(1 Пользуясь неравенствол! (28), получим далее « [у,(х) — ув(х)[ч-ЙМ ~ (г — х,)ввв=ввМ[, ' 1 и окончательно [ув (х) — у, (х) [ ~ АМ (29) 11«лее, написав вторую из формул (25) при л = 2 и н = 3 и производя почленное вычитание, получиы у,(х) — у,(х)= $ [у[С, ув(1)) — ~[г, у,(1)3 [ в(с. «в Пользуясь неравенствами (24) и (29), подучим отсюда, как и выше.
[у, (х) — у, (х) [ ( А'М вЂ” ' и продошкая так дальше, придем к обшему неравенству [у«(х) — у„, (х),' (— М [а(х — х„)[" Бели спРава разность (х — х ) заменить на [х — х,!, то неравенство 5удет справедливо для всея х из У (справа и слепа от х,).
Но при х из у мы имеем [х — х [ ~ а, так что для всех х из ! и!веем оценку [ у„(х) — у,,(х)[ =. — , — , М (ааув "з котоРой, как и в [50[, следует, что у„(х) стремятся при и ОО р'зномерно относительно х на проввежутке 1 к предельной Н8 ГЛ, К. ЛННЕИНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1$$ функции у(х).
Эта функция непрерывна на 1 н удовлетворяет неравенству ]у(х) — уь]~Ь, которое следует иа (26). Такнм образом, точки с абсцнссамн х н ордннатамн у(х) принадлежат прямоугольнику О прн намененнн х на 1. В силу непрерывностп У(х, у), ямеем !ип У[1 у„(1)[=У[1, у(1)] (1 из 1). Нетрудно видеть, что зтот предельныи переход имеет место равномерно по отношению к 1 в промежутке 1.
Депствительно, прн любом заданном е) 0 существует, в силу равномерной непрерывности у(х, у) в О такое Ь)0, что]У(х', у ) — у(х',у')]»а, если (х, у'), (х', у 1 такие точки нз Я, что ,'х' — х']»3 н ]у — у']»8. Далее, в силу равномерного стремления у„, (1) у(1) в 1„существует такое число М (одно н то же для всех 1 нз!), что ]у(1) — у ь(1)[ н8 прн п)Ф и всех 1 нз 1 Отсюда вытекает, что для всех 1 нз 1: ]1[1, у(1)] — У[1, у„,(1)]]»а прн п= 1ч', что н доказывает равномерное по отношению 1 нз 1 стремление к пределу г [1 у»(1)1-т [1 у(1)1. Обращаемся ко второй нз формул (25) и переходим в обоих частях к пределу при и со. В силу упомянутой только что равномерной сходнмости, можем переходить к пределу под знаком ннтеграла н получим для предельной функции уравнение (20). Таким образом, мы пришли к следующему результату: Задача (18), (19) при сделанных относительно у(х, у) предло.
ложениях имеет решение на промежутке хь — с»х»х,+с, Ь где с — наименьшее из двух чисел а и —, и ото решение может М' быть получено по методу последовательных приближений. Переходим к доказательству едннственностн решения зздачи (18), (19), или, что то же, уравнения (20). Сначала, как и в [60], докажем единственность для некоторого промежутка достаточно малой длины. Пусть на некотором промежутке (х — 1, х +1), где положительное число 1 удовлетворяет неравенствам 1»с н М=дс,,1, имеются два Решения у(х) и >'(х). Подставляя их в уравненне (20) н вычнтая почленно полученные равенства, будем иметь у(х) — У(х)= ~ [У[1 у(1)1 — У[1 У(1)]] '1* лэ откуда ]У(х) У(х)]» ~]У[1, У(1)] У[1> У(1)]]й (х >хь) ьь ,! «з, дополнит свздзння по диввнгзнцнлльным явлвнвниям 149 нли, в силу (24) к !у(х) — у(х)~~л ~ 1у(1) — г'(1)~в! (х Й Р и и е р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
