Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Пусть (хь х,) — координаты точен плоскости Х~ОХ, и 1 — время. Будем счятать, что у~ (х„х,) однозначные, непрерывные и имеют непрерывные частные производные первого порядка на всей плоскости. Таким обрззом, вся плоскость Х,ОХа и промежуток — оо (г(+ со изменения 1 являются областью В теоремы А существования и един- ственности в пространстве (хв ха, 1).
Уравнения (69) можно толко- вать как задание составляющих вектора скорости, т. е. самого век- тора скорости, а решения его х;=е;(1) (1=1, 2) (7 0) — как движения точек (х„х,) с течением времени. Решения уравне- ния (68) определяют траектории движущихся точек, а формулы (69) дают закон движения точек по этим траекториям в зависимости от времени. Для системы (69) характерен тот факт, что правые части уравне- ний не содержат 1, и такие системы называются обычно азглоло и- ными системами. Мы рассматриваем случай движения на плоскости, т.
е. случай двух функций х,(1) и ха(1). Если при х~ — — а, и х,=аа пРавые части УРавнений обРашаютсЯ в нУль: У,(аь а,)=Уа(аь а,)=0, т. е. точка (ав а,) есть особая точка уравнения (68), то система (69) имеет очевидное решение х,†: а, и ха=а, при — со(1 (+ оо и точку (аэ аа) естественно назвать точной лоноя системы. В [54[ мы рассмотрели при некоторых предположениях вид траектории вблизи точек покоя. Положим для определенности, что во всякой ограниченной части плоскости имеется конечное число точек покоя.
Если мы исключим все эти точки, то оставшаяся часть плоскости заполняется траекториями, каждая из которых имеет некоторый максимальный промежуток существования а(1(й, и эти.траектории не пересекаются друг с другом. Иа того факта, что 1 входит в урзвнеиия (69) только под знаком дифференциала, непосредственно следует, что наряду с решением (70) имеется решение х,= р,((+с) (1= 1, 2), (70ь) 166 гл и. линейные диФФеРенциАльные УРАВнения 1аз где с — произвольная постоянная. Если а(1(Ь вЂ” максимальный промежуток существования решения (70), то для решения (70,) это будет промежуток а — с(1(Ь вЂ” с. Обоим решениям соответствует одна и та же траектория.
Решение (70,) описывает ее с запаздыванием на величину с (при с)0) по сравнению с решением (70). Выше мы упоминали, что различные траектории не имеют общих точек. Рассмотрим одну определенную траекторию ь' (не точка покоя), у которой существуют совпадающие точки при различных 1, т. е. Ф;(1,)= =Ф,(1а) (1=1, 2) при (,ф1а. Учитывая теорему существования н единственности, нетрудно видеть, что это замкнутая траектория, ие содержащая, естественно, точек покоя (мы их исключили). Можно также доказать, что функции ~Р;(1) (1=1, 2), соответствующие такой траектории, имеют промежуток существования — со(1(+со и обладают свойством периодичности, т. е. существует такое число м, что Ф,(1+в)=Р,(1) (1=1, 2) при всех й Среди таких чисел м имеется наименьшее, и все числа вида дм (й=-~-1, + 2, ...) суть также периоды.
Точка х;=у;(1) (1=1, 2) на всяком промежутке вида й~г(г(+и описывает замкнутую траекторию один раз. Таким образом, кроме точек покоя, имеются два вида траекторий: 1) траектории, которые не самопересекаются (нет одинаковых точек при различных 1); 2) замкнутые траектории. Последние называются также циклами. Все сказанное выше имеет место и в случае любого числа переменных — '=~,(хь хм ..., х„) (1=1, 2, ..., и). (71) Вернемся к случаю плоскости.
Одной иэ основных задач теории дифференциальных уравнений является качественное изучение расположения траекторий на всей плоскости или, как говорят, чв целом>. Существенную роль при этом играют точки покоя и циклы. Иначе говоря, вто есть задача о качественной картиме интегральных кривых уравнения (68) на всей плоскости. Точки покоя определяются решением системы уравнений Уь(хи хя)=0 Кь(хи хя)=0. Весьма сложной является задача разыскания циклов.
Введем новое понятие. Предельным циклом называется изолированный цикл, т. е. цикл 4 обладающий следующим свойством: существует такое положительное число ь, что траектория, проходящая через любую точку, кратчайшее расстояние которой до 1 меньше а, не есть замкнутая траектория. Траектории, проходящие через точку, лежащую внутри цикла в силу единственности лежат целиком внутри б Аналогичное свойство имеет место и для траекторий, лежащих вне 7. Приведем без доказааельства еще два результата, дополнит. сведения по диФФеРетшил.чьным УРАВнениям 167 Внутри всякого никла l находится по крайней мере одна точка покоя.
я. Дели У вЂ” предельный пикл, то все траектории, находящиеся как в к внутри, так и вне г и выходящие нз точек, достаточно близких к ( наматываются спиралеобразно на 7 при Г +со или У вЂ” ь — оо, прич . „чеч возможны следующие случаи: 1) внутренние и внешние траекто„и наматываются на 7 при 1 +со; 2) то же сзмое при 1 — ь — оэ; 3) один из указанных классов траекторий наматывается при 1-ь+ оо, а другой при 1-ь Т[редельные пиклы имеют не только теоретическое, но и большое пржстнческое значение в физике. Отметим, что, говоря о пикле, иы подразумеваем, как указано выше, замкнутую траекторию без точек покоя.
й(ожив доказать также следующие факты: траектории закручивюотся вокруг точки покои, являющейся фокусом, и стремятся к узлу прн у -ь + оо или 1 -ь — оо; если точка покоя — седло, то к ней стремятся четыре траектории: две при Г -ь + со и две — при Г -ь — оо, причем первые две и последние две образуют линии, проходящие через седло и имеющие непрерывно меняющуюся касзтельну1о. Доказательство укзззнных выше утверждений и вообще изложение теории автономных систем можно найти в книге Л. С. Понтрягина чОбыкновениые дифференцизльные уравненияь. — =1 — Зх — х.
лха л а ггг 1 — =2х х, лх, гГг ! а (72) Уравнение семейства траекторий имеет аид х, (х', + х[ — 1) = С. (73) Система (!2) имеет четыре точки покоя М,(0, 1), М,(О, — 1), М, [ —, О), l~'3 Ма( — —, 0). Пользуясь формулой Тейлора, разлагаем правые части ураз- Р'3 "олий (72) по степеням (х, — л), (х,— Р), где а, у — координаты особых точек, и составляем квадратное уравнение для р. Для точек М, и М, его корим вещественные и различных знаков, а для точек М, и М,— корни чисто мнимые.
Таким образом, особые точки М, и М, типа седла, а М, н М,— или Фокусы или венгры. При С=О уравнение дает прямую х,*=Оп окружйостьу« л!4+хат= 1, на пересечении которых лежат М, и М,. Нйкакие другие траектории через эти тачки проходить не могут, тай что можно утверждать, что существует четыре типа траекторий: 1) траектории впе окружности ь и справа от х, =О, 2) симметричные с ними относительно оси х, =0; 3) трасклории внутри Е и справа от х,=О; 4) симметричные с ними относитслыю «а=О Указанная симметрия йепосредственно следует из того, что левая что ~вель уравнения (73) не меняется прн замене х, на ( — х ).
Из (73) след)ст, траектории, лежащие вне б, имеют ось х, =0 асимптотой. Для Пелаалпланкл тРаЕКтОРИй, ЛсжаЩИК ВНУТРИ Уч РаЗЛОжИМ аЕВУЮ ЧаСтЬ (73) М. Примеры. 1. Возьмем пример из [9[ и ззменим дифференциальное уравнение системой 168 гд. и. линицныд диовириццидльныв крдвниици 1аз по степеням (х,— — ) и ха.' у'З! з ~ , (х ')+~,+(„З )+( ')„, Из зтого равенства следует, что траектории, лежащие внутри Е, кроме частц оси х, = О, суть замкнутые кривые, внутри которых лежат точки покоя Л)а н Л4,— центры.
Нетрудно показать, что вообще семейство алгебраических кривых не может иметь предельных циклов. Картина траекторий системы (72) изображена на рис. 25. Поаагая во втором из уравнений (72) х,=О, получим Фха — = 1 — х,', ггт — 3 ) в!а тат г — =Се ' . (74) а Из втой формулы видно, что длн траекторий, лежащих вне Е, интервзл изменения 4 Рпс. 25. конечен. Действительно, при беспредельном удзлении вдоль зтих трзекторий наверх илн вниз (р + со) левая часть равенства (74) стремится к единице, з а1пв гц!, откуда н следует,что 4 стремится при атом к конечным пределам.
2. Рассмотрим систему — ' = х, (х', + ха а— 1) — х, (х', + х,'+ 1), с!С вЂ” = ха (х1 + ха — 1) + ха (х1 + ха + 1). ~Й (75) Нетрудно показать, что она имеет едннственнущ точку покои — фокус (О, 0). Используя уравнения (75), получим да а — =21 (,*-1). оа (75) откуда — > 0 при ! х, ! ~ 1 и — ( 0 при ! х, ! ) 1, что определяет наг!ха Фха 44 <И праваение движения по оси х,=О прн возрастании т. Легко получить зто направление и на других траекториях (рис. 25).
Введем полярные координаты р = Вгх', + х,' и угол р н определим производную ра йо 4 вдоль траекторий. Пользуясь уравнениями (72), получим 4ра 7 Фх, с)ха 1 — = 2 (х, — ' + х, — ) = 2 ха (1 — р') цг '!' и нт) Ф откуда цр — = (1 — р )ащр или — = — а)ну~)4 а цр це ва 1 8 к дополнит. снпдеиин по диоокреицидльиым нвдвинииям 169 И зтого равенства следует, что окружность Сл Из зт хг'+к3 — 1=0 (77) ся замкнутой траекторией, нбо производная от левой части (77) по С „лу (76) равна нулю [9).
Из (76) следует, что на любой траектории, накойся внутрн Е, т убывает прн возрастаннн С, а на траекторная вне С.- врастает. Отсюда следует, что никаких замкнутых траекторий кроме С., нет (г — предельный пнкл) н что траекторнн закручйваются вокруг ь прн С вЂ” со как нзнутрн, так н извне. Внутренние траектории закручнваются вокр)т покуса прн С + со. долучнм явные выражения для т н т через 6 Уравнение (76) есть уравненне первого порядка дая р, причем переменные в нем разделяются, н, интегрируя, получим 1 Г+ СФ (78) у)рн С)0 получаются внутренние траектории (р <1), прн С<0 внешние (т.л.1), а прн С=Π— окружность (77). Лля полярного угла т получаем вдоль трэекторнй Нт г С ха1 С Нхт г)х,1 — — агой — кг " ка 6С и~ х,~ ~ 6С 6С ~ха+ха н, з силу (7о), (79) н, пользуясь (78), получаем т=2С вЂ” 2 18(1+Се'г)+Се 1 (80) Из (78) н (79) непосредственна следует сказанное выше о внутренних траекторнял.
Для внешннк траекторий промежуток сушествозання определяется неравенством 1 — «'- — 18( — с) (с<о). 2 Прн С вЂ” со траектории закручиваются вокруг Х, а прн С вЂ” — 1и( — С) 1 2 траекторнн беспредельно удаляются, закручиваясь прогна часовой стрелкн (т +оо, т + оо). Прн С =0 непосредственно получаем: р = 1 н вар =2, М т. е. х,=совтлг+Сг), ха=оп(2С+С,). На рнс. 26 представлен ка ак р спо меняя траекторий с указанием движения по ннм прн аозрзстанн С.
а ло — р тер 3. Ра ссмотрнм аналогнчный по карактсру, но более сложный пример т ннн г)кг — =ха(х,'+к( — 1)(х', +к) — 9) — х (х', +к'„— 2к, — 8), г)ха (81) — = ха (ха + Хф — 1) (х', + к) — 9) + х, (х', + х$ — 2х, — 8). Прнравннвая правые части нулю, получаем трн точкн покоя: м,(о, о), м,(, — —.), м,~ 1УО гя. п. линкпнын диннвркнцилдьмые нпдвннния (аз (82) — = р — 2р соз 9 — 8, лгу в НЕ (85) откуда видно что — сО при р(2 н — )О прн у~4. В промежутке ну дг нг 2(в<4 производнан меняет знак прн изменении ть Исследуем поведение траекторий прн удалении на бесконечность. Из (82» следует, что вне окружности (83,) вдоль всех траекторий р монотонно возрастает н стремится к +оз.
1 Преобразуем уравнение (82) к новой переменной а = †, которая стрер миша к нулю бя (аа — 1) (1 — 9аа) (Зб) Поступая, как в примере 1, нетрудно показать, что М,— фокус, Л4,— узел и Л(,— седло. Вместо (Тб) имеем уравнение — = 2ра (ра — 1) (ра — 9), лг нз которого следуют, как и в примере 2, два решения системы ха+я,а— 1=О, (83,) х',+х„' — 9=0. (83,) Решение (83,) разбивается точками покоя Ма и М„на две траектории. Кроме того, из (82) следует, что а возрастает прн возрастании Г внутри окружности (83,), а так жс вне окружности (83,) и убывает пенну двумя зтнми окружностями и, следовательно, у системы (81) нет замкнутых траекторий кроме окружности (83,).
Г Траектории, находящиеся внутри окружности (83,), закручиваются вокруг фокуса М, прн т — со и вокруг окружности (83,) (предельный цикл) при Г +со. Все траектории, находящиеся вне окружности (83,), кроме одной, стремятся к узлу М, прн à — оэ н одна — к седлу М, также при à — со. Внутри кругового кольца между окружностями (83,) н (83,) траектории идут от точек М, и М (нз втой точки— только одна) и затем закручиваются вокруг Рнс. 26.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
