Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 38
Текст из файла (страница 38)
48). Разобьем площадь (а) намалые элементы Ьа; цилиндры, построены) к(д,д,д) ные на основаниях Ьа, разобьют (Я) на элементы ЬЯ. г ,вь Возьмем в каждом из элементов ца по точке Ф(1, т), которои соответствует 3! на поверхности (о) точка М (1, .4, 1), где с=у(г, т)). Проведем в точке М касатель- г 1,','(с) ную плоскость и нормаль (п) к поверхности н обозначим через ЬУ плоскую площадку, вырезываемую на этой касательной плоскости вышеупомянутым цилиндл ром с основанием Ьа. г Определим площадь упомянутой выше части повернного)и (8) кан предел сум- Рис. 48. мы площадей плоск их площадок йа', когда число элементов Ьа беспредельно раипет, а каждый из них йесиредельно уменьшается ио всем направлениям. Покзжем, что этот предел выражается двопныл) интегралом по области (а).
Элемент йа есть проекция плоского элел)ента ЬЗ' на плоскость ХО); причем нормали к плоскостям этих двух элементов образуют угол (», Л), "осннус которого выражается третьеп нз формул (24), а потому Ьа= йЯ' 1 или Лб'=у'1+р" +~у'йа, у" 1+рв+ ь ~вским образом для площзди 8 упомянутой поверхности мы полу- чаем по определению: а=2 Хье=' ХУ~~4-~ ~-~ ь.. П р~дел стоящий в правок части равенства, представляет сабо)о двои- нои ои интегрзл по области (а), и мы получаем 11к~-;еч-~ч =11)Т4е4е~ и !4) 1Ю с05(п, 1)= +' +4 (24) 1 (2 о) 2ОВ гл. щ.
кгатныя н яямволннеиные ннтегиялы 1бл — искомую формулу для площади части кривой поверхности, вырезы. ваемой из нее цилиндром, образующие которого параллельны оси О~. Выражение, стоящее под знаком интеграла, представляет собой влемгллг бгЮ плогнадп поверхности. Пользуясь выражением соя (и, Лй люжем написать -У вЂ” * — г, г= рг я' — х' — у' У У а= )/ яе ха,г г Уг-)- да+ йт = ~у1+ —,, + ~; = ) + +г' а г ~г-гтлулГ~ „-~- ь.,— ~ ° ь.п~~г ач (я, 2>1 Здесь блягх есть проекция б(Я на плоскость ХОг. Нужно брать абсолютное зйачение сох(л, 7), так как элементы площади б(а,г и блЮ считаются положительными. Мы предполагаем, что р и д, определяемые формулами (23), с>ть непрерывные функции (х, у).
Предыдущие рассуждения выражаюг предел суммы площадей Ь$' в виде интеграла (25) от непрерывнш1 функции и тем самым показывают, что этот предел существует. Лавное выше определение площади поверхности обладает теи недостагком, что в само определение входит операция проектирования, свь ванная с выбором плоскости ХОг'. Можно показать, что велячиш1 площади поверхности не зависит от выбора плоскости ХОг'. Заметим еще, что если прямые, параллельные оси ОУ, встречают поверхность (5> в нескольких точках, то для вычисления плошали поверхности по формуле (25) надо разбить поверхность на части и вычислять площадь для каждой отдельной части. Можно дать определение площади поверхности, не зависящее ьг выбора осей.
Пусть (8) — кусок гладкой поверхности, ограниченны1 кусочно гладким контуром. Разобьем (З) на части (8,), (Зб),...,(Ь'.,1, на каждой части возьмем какую-либо точку Мл и спроектируем ($„> на касательную плоскость к (8) в точке Ма. Пусть рл — площадь втой проекции. Можно показать при определенных условиях гладкости (8) и ее контура, что сумма р,+р,+...+р„стремится к опр.'- деленному пределу Я, если наибольший яз диаметров 3 каждой пт частей стремится к нулю [ср.
68). Это определение плошади повертности в случае явного уравнения поверхности (22) и при налички непрерывных производных (23) и приведет к формуле (25) для паь щади 8. (Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и нигсгрального исчисления, т. П1). П р и м е р ы К Вычислить плошадь части шаровой поверхности, рассбчи треиной в примере (59). Мы имеем 2О1 Ь Ь.
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ о сову $. ))Ьйтя площадь части цнлнндра х'+ уй = а', эмрезываемой нэ него цилиндром (рнс. 49) уй+ай ай тот) (28) В этой задаче удобнее счятать незаанснмымн псрененнымн у я г, а х бйункнней от них, определяемой нэ уравнения (22). Область интегрированна ° .наоскостн Юг есть круг, окружность которого определяется уравнением (28). Заштрихованная 2 1 ва рнс. 49 площадь равна, очевидно, — частя 8 всей рассматриваемой площади, а потому имеем 8=8') ~ уГ1+р*+а Иуаг, !м врячем дх д= ~о, дг дх у 1э ~— ду х' угх'+уй а а тан что Рис. 49.
э йго~ — й а Г й=й ~о ~ 8 с ю а о Ю Рга' — г' !й а Г г оюза[гассан ~ + дг~ =й а 1й-о 8) )/ай — г' — ййй а аа у ай — гй( = 8ад ~й й б(й. Интегралы по поверхности и формула Остроградского. у(онягне о двукратном интеграле по плоской областн без труда обобпаается нз случай интегрирования по поверхности. Пусть (о)— возерхность (замкнутая или незамкнутая) и Р(й() — непрериэная 88рнкг(ия точки на этой поаерхкости. Разбиааем (о) на и частей з й )1 — 'ггс й 11 9 ° = 2а ( — р" а~ — г') "" 'г =ь'~ о — о )с,-йг(" — ~). Г '"" = ' г е 202 гл.
нь килтныв и кэнволинвиные интегэнны н» г» луста Ь8и Ь8», ..., а8„— ллощади втнх частей и Ми М»...., ̄— какие-либо точки, находящиеся на этих частях. Составляем сумму произведений ~', Р(М»)а8». ь-! Предел этой суммы лри беспредельном возрастании числа деле. нид и беснредельном уменьшении каждой из частей Ь8» называется интегралом от функции Р(М) ло ловерхности (8): л ))Р(М)с»8= !ип ~Х', Р(М„)а8». ~5) и с»ь Положим, что прямые, параллельные оси Я, пересекают поверхность только в одной точке (рис. 48) и пусть (в) — проекция (8) на плоскость ХОУ.
Пользуясь формулой (26), устанавливающей связь меясду элементарной площадью поверхности (8) и соответствующей площадью ее проекции (е„ь), сможем привести интеграл по поверхности (8) к интегралу по плоской области (в,„): Ц 3 („,й;,, !5> си (29) при этом считается, что соя (н, Я) отличен от нуля и что значение функции Р(Щ в точке Ф области (в) совпадает со значением заданной на поверхности функции Р (М) в той точке М, проекция которой совпадает с гт'. Если уравнение з й (е) поверхности (8) задано в явной форзе ме (22) и функция Р(М) выражена --(р)- через координаты Р(х, у, г), то при интегрировании по (в„,) достаточно г, подставить х=1(х, у) в выражение г 1 ф функции Р(х, у, х), т. е.
Р(Ф)= =Р]х у У(х, у)]. Знаменатель в правой части (29) определится по третьей из формул (24). ) Отметим, что интегралы по по. абау з нервности, очевидно, обладают всеми У свойствами двойного интеграла, ука. Рнс. 50. ванными в ]64], в частности для них имеет песта теорема о среднем. ь(окажем теперь одну из основных в теории кратных интегралов формул — формулу Остроградского, устанавливающую связь между трехкратным интегрвлом по объему (о) и интегралом по поверхности (8), ограничивающей этот объем. Будем считать, как и в ]61], что прямые, параллельные оси У, пересекают (8) не более чем в двух а а.
кРАтные интеГРАлы точках. Сохраним те же обозначения, что и на рис. 40 (61). Ввелеч е(це в рассмотрение направление (л) — нормали к (Я), причем булеч считать, что (л) направлено иовне объема ( Р) (внешняя нориал(,) (рис. 60). Это направление (л) образует на верхнеи части поверхности (П) острыи угол с осью 02, а на нижнеи части (1) — тупой угол. Поэтому на нижней части (1) ! соз(л, 2) / = — соз(л, 2). Отметим, что сов(л, 2) = 0 на линии касания поверхности (8) с проектирующим цилиндром (рис.
60). Формула (26) дает сй „=сов(л, 2)аЯ (на П) н ()а„„= — соз(л, 2)а(Я(на 1). (ЗО) Пусть )З(х, у, з) вместе с производнои — ' — ' непрерызнз дД(х, у, г) дг в областя (в) вплоть до (Я). Рассмотрим троинои интеграл по (и) от функции ' ', Пользуясь формулой (16), будем иметь ~~~ д!)!(х, Р, г) ~~ ~д)г(х,у, г) (г) иг),! г! Но интегрзл от производной равен разности значении первообразноц функции пря верхнем и нижнем пределах: ~~ ~ д(1("' У' *) (Ь= ~ ~ [)З(х, у, з,) — Я(х, у, х!))(й „ (ч) (гхг) ~ $ ~ ( ' у' ) ((и = ~ ~ я(х, у, х,) (й,„— ~ ~ я(х, у, з,) (й,„ (г) ( хх) г! Заменяя ((г„г на в(о по формулам (ЗО), мы сведем интегрирование по (а,„) к янтегрированию по (3), причем в первом интеграле, содер.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
