Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 42
Текст из файла (страница 42)
"нв через у, ординату точек входа в область (о),Уе — оРдинатУ то <ек выхода пРЯмой, паРаллельной оси О т', ив области (о), а через а и Ь вЂ” абсциссы крайних точек кривой ((), 22О ГЛ. (И, КРАТНЫЕ И КРНВОЛИНЕИНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ мы имеем (1, 101! ь а = 1 (у, — у,) (т'х. а Пусть (1) и (2) — части кривой, соответствующие тачках входа и выхода. Интеграл ь ~у,((х а есть не что иное, как криволинейный интеграл ') у(1х, и( с направлением от точки х=Ь до х=а, иаятый с обратным знаком.
Точно так же интеграл ') У( (Г», а совпадает с криволинейным интегралом )уй (Н взяты и от х = а до х = Ь. Окончательно имеем ь ь ь а =$у~((х — )у ((х= — ~ $ у(ах+ $ уа(х1= — $ у(тх, (1З) а и (1) а а(ь К( причем кривая (() обходится в направлении, обратном часовой стрелке. Совершенно таким же путем находим а=') хну. (14) (и Складывая и деля на два, находим еще а= — 1 х((у — у((х. ! г 2 (1Ь) (и Мы получили формулу (13) в предположении, что прямые, параллельные оси Ог', пересекают Я не более чеи в двух точках. Нетрудно видеть, что формула справедлива и для более общих контуров. Рассмотрим сначала тот случай, когда область (а) ограничена линиями (!), (2) и двумя отрезками прямых, параллельных оси О( (рис.
88). Повторяя' прежние рассуждения, получим а = — ~ ') у (ах+ ~ у ((х] . 221 $ т. кРЯВОлинейные интеГРАлы 1о л — постоянно на СО и ВА и Их О, тзк что )уЫх по этим отрезкам равен нулю. ))Обавляя втн интегралы со знаком минус ч Возной части, получим и для рассматриваемого случая формулу (13). области (а) с контуром (1) более обшей формы (рис. 59) мы Рис.
58. Рис. 59. поступаем следующим образом. Проводя отрезки прямых, параллельных оси ОГ, разбиваем (а) на конечное число частей, к каждой из которых применима формула (13). Складывая эти формулы, получим сдева плошадь а всей области, а справа интеграл по контуру ((), так иан интегралы по проведенным вспомогательным контурам, как н выше, равны нулю, т. е. формула (13) справедлива и для взятой области. Точно так же формулы (14) и (15) справедливы для контуров общего Вида. В случае эллипса л=а соя 8, у= 5 з!п Ф (0(1(2н)1, рврмула (15) дает я= — ~ (а соаг Ь соя г+ЬЕ1пг аа1п1)Ж= — аЬ Ж=иаЬ.
1 Г 1 2 а 6 указанных формулах для площади существенно, что при интегрировании по (1) этот контур обходится против часовой стрелки, нлв лучше сказать, контур (1) обходится в таком направлении, в каком нееи повернуть ОХ на угол †, чтобы она совпала по направлению е О)' Если бы мы направили О)' не вверх, а вниз, то в формулах длв плошади надо было буя интегрировать по (1) по часовой стрелке. дальнейшем мы всегда будем держаться указанного выше условия В направлении замкнутого контура на плоскости, 222 гл. ш. кватные н кьнволиненные ннтегвллы (тз 72.
Формула Грина. Установим теперь связь между иитегралоь( по плоской области (а) и интегралом по ее границе (7). Применяем формулу (7) (б9) к вычислению интеграла ~ ~ дР(х,у) и, (и где Р(х, у) непрерывна вместе с — ' в (а) вплоть до (7). дР(х, у) ду Производя сперва интегрирование по у и считая, что контур д) области (о) пересекается только в двух точках прямыми, параллель. ными оси ОУ (рис.
б7), мы получим ~~ — Ь=Ц вЂ” дхду= ~ Ь~ —, у= н] н( а уг ь = ~ [Р(х, уь) — Р(х, у()]ах, о С другой стороны, интегрзлы С)Р(х, у()((х, ~СР(х, у,)((х будут не что иное, как криволинейные интегралы $Р(х, у)((х, взятые соответственно по частям (1) и (2) контура (7) от точки х = л до точки х= Ь. Изменяя во втором из них направление интегрирования, получки ~ Р(х, уь) Ых= — ~ Р(х, у()дх= — 1 Р(х, у)((х, О ь иль откуда а ь ~ ~ — ((ч= — ~ Рг7х — ~ Р((х (н (3( ь н>а или ~~ дР (и А ((б) причем кривую (Е) нужно обходить против часовой стрелки (рис. б7) Из этой формулы непосредственно следует, как и в (бб), формула интегрирования по частям для функций р(х, у) и ф(х, у), обладаюш1(х 228 аз.
кгиволинениые иитегааяы такимн же свойствами, что и Р(х, у); (16, ) Таким же путем мы вычислим и интеграл ~ ~ дО(ха у) „ где О есть другая функция от (х, у). Предположив дая простоты, что контур (1) пересекается только в двух точках прямыми, паралдельными оси ОХ, мы получим Щг.=~~,'~~ ау=~ Ь ~$1 = (ау ! ) а «) =~ (О(хм у) — ()(х), у)]а(у, прячем вто выражение может быть тоже приведено к криволинейному интегрзлу по замкнутому контуру ц аа а = ~ Е)а Вычитая уравнение (16) из (17), мы и получим формулу Грина ~ ~(д — ~д-)да= ~, ах+Оду. (18) (а) б) Формула (18) выведена в предположении, что функции Р и О вместе с указанными частными производными непрерывны в (с) вплоть до (!) и что прямые, парал- лельные осям ОХ и Оу, пересекают (1) не более чем в двух точках. ахая областей более общего видз применимы рассуждения из 171).
Эти Р~ссуждения применимы и к тому случаю, когда область (а) огранкчена несколькими кривыми (рис. 60). При атом в прзвой части (18) надо инте- д грировать по всем граничным кри- Рис. 60. вым, причем при принятом направлении осей надо интегрировать по внешнему контуру против часовой стрелки, а по внутренним контурам — по часовой стрелке, т. е.
по всем контурам так, чтобы область (а) оставалась слева, 224 ГЛ. П(. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕИНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (тз Отметим, что формулу Грина (18) мы можем записать в другом виде. Пусть С вЂ” касательная к линии Е, имеюплая то же направленяе что я Л н л — нормаль к (', направленная вовне (а). Направление 1 получается из направления и, поворотом на прямой угол против часо. вой стрелки, и, следовательно, для углов, образованных М н л с осямп координат, мы имеем: (Е, Х)=к+(и, 1') и (г, 'г)=(л, Х) Если ((з есть элемент дуги кривой, то (г» = пв соз (1, Х) н (гу = ((з сов (Г, У), т. е. ((х= — ((з сов(л, У) я ((у=((з соз (л, Х). Полставляя это в формулу (18) и заменяя в этой формуле Р на( — Я) н О на Р, получим ~ ~ (~~+ ~~О) ((~ = ~ (Р соз (», «) .+ () соз (», 'г')) (й.
( ( (и В этом виде формула Грина представляет собой формулу Остроградского для плоскости. 73. Формула Стокса. Рассмотрим теперь случай любой незамкнутой поверхности (8) с контуром г' (рнс. 61). Предполагаем, что прямые, параллельные оси я, пересекают (8) только в одной точке, и сохраняем все обозначения из 165!. Проекция 1 на плоскость ХОУ (О дает контур (Л) области (члх). За г~ положительный обход контура (Л) О) принимаем обход против часовоп стрелки н соответственно считаем ~ а -Г(лу! положительный обход по (1). На- правление нормали л к(8)берем так, (г . ----+ чтобы оно составляло острый угол с осью Ол, так что сов (л, с ))О.
Фх ) При этомв формулах(24)[66) нато брать нижний знак, н эти формулы Гл) дают л рсоа(л, л)= — соз(л, Х), Рис. б1. (у соз (л, Е) = — соз (л, ?'), (10) а формулу (26) нз (66) можно переписать так: йч„„= (л, г)Ю (20) Пусть Р(х, у, л) — какая-либо функция, заданная вблизи поверх ности (8) и непрерывная со своими производными первого порядк~ ° 226 а т. кРиВОлинеЙные интеГРАлы Рассмотрим интеграл ~Р(х, у, )Ы ю дания (1) лежит на (Я) и, пользуясь уравнением этой поверхности: « — /(х, у), мы можем заменить под знаком интеграла «на у(х, у). Пря этом подынтегральная функция Р(х, у, у(х, у)) будет содержать только х и у. Координаты (х. у) переменной точки ().) такие же, что в в соотэетстяуюшик точкае на (г), а потому интегрирование по (1) можно заменить интегрированием по (Ц: ~ Р(х, у, г) их= 5 Р(», у, У(х, у)$ г(х.
Ц1 1П Применим к интегралу, стоящему направо, формулу Грина (18), причем в данном случае Р=Р(х, у, /(х, у)(; Я=О н Я есть (А). Прн дР вычнсленян — надо будет дифференцяроазть Р как непосредственно ду по у, так и через посредство третьего аргумента «, который заменен ва у(х, у): дР дР(х, у, г) дР(х, у, г) ду(х, у) ду ду дг ду причем а выражения Р под буквой «надо подразумевать /(х, у). Формула (18) дает ~ Р(х, у, «) дх = 1 Р (х, у, г (х, у)] дх = В1 111 ~ ~дР(х, у, г) 1 дР(х, у, г) ду(х, у) (в. Выражая лга „через вленент Ю поверхноств (5), согласно (20), дрвведем двойной интеграл к интегралу по поверхности (Ю) [66): )Р(х, у, «)д»= Г (д (х, у, *), дР(х, у, г) ду(х, у)) — ''+ '.' ' 1 у г у 1г1 й> наконец, пользуясь второй нэ формул (19), получим окончательно Р д»= ~ ~ ~ — сов(л, У) — — сов(л, Л)~68.
1' ГдР дР д Едг ' ду 1 1З1 Вслн Я(х, у, «) и )с(х, у, г) — две другие функции, заданные вблнзв (О), то, совершая круговую перестановку координат х, у и «, 6 В. И. Счиргог 226 ГЛ. и!. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ получим две аналогячные формулы ~ Цйу = ~ ~ ~ — соз (л, Е) — — соз (л, Х)~((8 и! (5! — Ь Йбе = ~ ~ ~д — сов (л, Х) — — сов(л, у)~ бЯ. г гд!«М (и (5( Складывая три полученные формулы, придем к формуле Стокса ( ! Рдх+ Обу+)('бг = ~ ~ ~~д- — д--) соз(л, Х)+ 15! +(д д ) сов(л' у)+ (д д ) соз(л, 2)~аЫ (22) др дР дО дР Формула эта связывает криволинейный янтеграл по контуру поверхности с янтегралом по самой поверхности, и в этом отношении она аналогична формуле Остроградского [66], которая связывала интеграл по поверхностя трехмерной области с интегралом по самой области. Формула Грина есть тот частный случаи формулы Стокса, когда (Ю) есть плоская область на плоскости ХОГ. При этом (!) есть замкнутая кривая на плоскости ХОГ' и бе=О, а направление (л) совпадает с осью 04 так что соз (л, Х) = соз(л, У) = 6 и соз (л, 2) = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
