Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Подставляя все это в (22), получим формулу (18). По поводу косинусов, входяп(их в формулу (22), делаются те же предположения, что и при выводе формулы Остроградского 166). формула (21) выведена иаыи в предположении, что прямые, параллельные оси 02 пересекают (8) только в одной точке. Если это не так, то разбиваем (Ю) на части вспомогательными линиями так, чтвбы каждая часть удовлетворяла указанному выше условию, так что к каждой части формула (2!) применима. Складывая полученные таким образом для всех частей формулы, будем иметь слева интеграл по контуру Я, так как интегралы по вспбыогательным контураи будут браться два раза в противоположных напраэлениях и сократятся. Справа получим двойной интеграл по всей поверхности (о), т. е. формула (21) окажется справедливой в обшем случае.
То же самое замечание справедливо и для обшей формулы (22). При атом только нужно соблюдать следующее условие для обхода (Е) я направления нормали (л): наблюдатель, обходящий (Е) и направленный ло нормали (л), должен иметь поверхность (Ю) слева. Это правило связано с выбором координатной системы, указанной на рис. 61. В втой системе наблюдатель. направленный по ОЛ, видит ОХ переходяшей в О)г при врашенив на угол — против часовой стрелки. 2 Если бы вто врашение было по часовой стрелке, то в предыдушем правиле слово «слева» надо было бы заменить словом «справа». 227 З 1.
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Если воспользоватьсл обозначеннем интеграла но поверхности, указан,ын в )67), то формулу (22) можно переписать а алле: ')'Р +ану+Р .= (» ~ ~ ~ ~~- — — ) (Гу а>л + (7- — й-) (Гл Нх+ ~ — — й-) Нл ((>ь (23) (з) Ояреяеление стороны поверхности (3) н направления (н) производится пе вышеуказанному правилу. Рнс. (>2. 74. Независимость криволинейного интеграла от пути на ндоскостн. Примеры криволинейных интегралов, разобранные в (70), показывалн, что в некоторых случаях величина криволинейного интеграла не навесит от пути интегрирования, но Р) лишь от начальной и конечной точек Ю интегрирования, а в других случаях внд самого пути влияет на величину интеграла. П) Теперь, пользуясь форыуламн Грина н Стокса, мы выясним те условия, прн которых величина интеграла не зависит от пути интегрирования.
Мы начнем со случая плоской кривой и выясним условия независимости криволинейного интеграла (в> ~ Р ()х+ Я (2у (А> от пути. Все дальнейшие рзссуждення будут относиться к внутренней части некоторой конечной области (()), ограниченной одним контуром. Функции Р и (",> вместе с указанными ниже частными производнымн считаются непрерывными внутри (О) Соединяя точки (А) и (В) кривыми (1) и (2) (рис 62), мы должны иметь (в> (в> (1) ~ Р()х+ Я(ту=(2) ~ Р()х+ Я((у, (24) (А> (А> нли, пользуясь свойством !! !69], (в> (л> (1) $ Р()х+ (~(ту — (2) ~ Р()х+ Г)(7у =О, са> (А> (в> (А> (!) ~ Р()х+ (>((у+(2) ~ Р(2х+(>((у= ~ Р((х+ Я((у=О, (25) (А> (и> >й йе 228 Гл.
и<. кРАтные и кРиволинейные интеГРАлы <7! где (<) — замкнутый контур, составленный из кривой (1) с направле- нием от (А) к (В) и кривой (2) с направлением от (В) к (А). Такпч образом, ввиду произвольности точек А и В, мы видим, что интеграл по любому замкнутому контуру (/) должен равняться нулю. Наоборот, ес.чн интегрзл по замкнутому контуру (<) равен нулю, то интегра.т по (1) равен интегралу по (2), так как из равенства (25), наоборот, вытекает равенство (24). Если кривые (1) и (2), соедиияюи<ие точки А и В, пересекаются, то, соединив А с В кривой (3), которая не пересекается ни с кривой (1), ни с (2), нз равенств <л! ~л! (1) $ Рбх+Ябу=(3) 5 Рбх —' ,()~Ху, <л! <л! <и! <а! (2) $ Р<(х+(г<(у=(3) $ Рс(к+Я<ту т! <л! будем иметь <л! (1) 1 Р Дх+ Я ау = (2) 1 Р <(х+ Му.
<л! <А! Итак, условие независимости лнтеграла от пути совпадает с условием, что интеграл по любому замкнуто.иу контуру (у) равен нулю. Если последнее условие выполнено, то из формулы (18) мы по. лучим ~ ~ ~~ — '~ — ~~) ба = О, <ю! (26) п<олсдественно, т. е. Лри всех значенпях х и у из (Й). В самом деле, пусть в некоторой точке С(а, Ь) разность д<г дР з- — — — — у(х, у) к ду отлична от нуля, например положительна.
В силу непрерывности дР д9 производных — н —, что мы предполагаем, указанная разность ду дх' будет положительной в некотором малом круге (а,) с центром в С. Составим интегрзл ~ ~ 1(х, у)<(а= ~ ( — — — )с<а, м<! <аД причем область интегрирования (а) может быть взята совершенно произвольно. Покажем, что отсюда вытекает д<3 дР— — — =О дх ду 229 З Т. КРИВОЛИНЕЯНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ и применим к нему теорему о среднем (64): ~ (а д~Р) й'=1(( ~) «М а это противоречит тому, что интеграл (26) равен нулю при любом выборе области (е).
Итак, условие (27) необходимо для независимости интеграла от пути. Нетрудно видеть, что оно и достаточно, ибо из него, в силу (!8), вытекает, что ин- теграл ~ РГ(х+ (гйу по любой замкнутой !и кривой равен нулю, что и равносильно зюзавнсимости интегрзла от пути. Итак, условие (27) необходимо и достал!очно для того, чтобы интеграл в, ~ Рйх+ () !)у (28) ьп ,1 Рис. 63. ив зависел от пути интегрирования и бмл только функцией координат точек А и В. Если это условие выполнено, н мы закрепим точку А (х,, у„), а будем считать переменной только точку В(х, у), то интеграл (28) будет функцией (х, у), или, как говорят, функцией точки В: ие И Р сух + Я ГГу = В (х, у).
(29) !хь Уч! Исследуем свойства этой функции. Оставив без изменения у. дадим приращение Ьх только переменной х. Мы получим !е+Ат у! $ж у! (У(х+ьх, у) — 0(х, у)= 1 Рйх + Яг(у — ~ Рйх+ ()Г(у. сче, уя! <т уя! Ввиду независимости интеграла от пути интегрирования, мы можем считать, что путь интегрирования в первом интеграле состоит из "Ризой АВ (рис.
63), соединяющей А с В, той же самой, что и для второго интеграла, и отрезка прямой ВВ'. Интеграл по АВ где ($, и) — некоторая точка из (аз), н потому У($, е))0, откуда вытекает, что !к+ Ак. К! кк-ак и(х+Ьх, з) — У(х. з)= ~ Ра~+дт(у= ~ Р(,)д !к. Р> к ибо на пряыой ВВ' у не меняется, и Г(у=О. Применяя теорему о среднем [1, 96], мы находим У(х+ Ьх, у) — и(х, у) = ЬхР (х+ 3Лх, у) (О ( 9 ~ 1). Рззделив на Лх и приближая Лх к О, получим Отя Р(х+ОА!х, у)=Р(х, у).
л -о (30) Таким же точно образом мы найдем д(! д,т — =()(х, у). Соотношения (30) я (31) дают нам [1, 68[ й и = — !(х+ — Ыу = Р !(х+ !',~ !(у. д(! дУ д д! (31) Такич образом оказывается, что при выполнении условия (27) подынтегральное выражение Р !(х+ Я !(у (32) является полным дифференпиалом функпии У(х, у), определяемой по формуле (29).
Нетрудно показать, что самое об!пее выражение функнии Ут(х, у), от которой полный дифференциал равен (32), дается формулой и,(», у)= и(х, у)+с, (33) где С вЂ” произвольная постоянная. В самом деле, мы должны иметь Д и Р а ~ х + Я а ! у ди,=Рд. +агу, откуда д(и, — и) = о. Но если дифференпиал некоторой фуикпии рзвен тождественно нулю, то частные производные этой функпии по всем незавнсииык! переменным равны нулю, и, следовательно, сэма функаия есть постоянная, т. е. и,— и=с, что и требовалось доказать. 230 Гл и! ЕРАтпые и кРиволинеиные интеГРАлы р! сократится и останется 23) а т. кянволиненные интегяллы та) Отметим очевидное равенство, которое будет иметь место при соблюдении условия (27): )в) ои ~ Рй"+Яду= ~ Йи)=и)(в) — и,(,4). А) )А) (34) Обратно, пусть существует такая функция иь что йи! — — Рйх+ Яду.
(Зо) Покажем, что необходимо должно быть д)) дР— — — =О, дк ду и что функция и, определяется по формуле и,(х, у)= ~ Рйх+()йу+С. )»у УЛ) йи=Рйх+ С)бУ йии откуда следует и,=и+с, что в требовалось доказать. Итак, необходимое а достаточное условие для того, чтобы выражение Рйх+ (гйу было полным дс'фференциалом некоторой функции и„аак*ючается е толс, В самом деле, соотношение (35) можно переписать в виде Р йх+ ь) йу = — ' ах+ — ' бу.
дУ, дУ, дк ду и так как величины ах и ссу, как дифференциалы независимых пере- менных, совершенно произвольны [1, бй[, то это равенство может иметь место только при условии, что равны коэффициента при йх и Ыу в обевх частях равенства, т. е.
дУ, дУ, — ()= —, дк' ду ' откуда уже ясно, что дР дУУ, дУУ, дг) Итак, при атом выполнено условие (27), а тогда, в силу преды- дугцих рассуждений, интеграл )» У) и(х, У)= $ Рг)х+ Яя)у ° )»и УУ) вависнт только от (х, у) и обладает свойством 282 гл. щ. кзлтныв и кяиволинвиныв ннтегвалы 1тз чтобы существовало тождество д д() дх' прн выполнении которого функция Ут определяется по формуле ос Ю Ц(х, у)= ~ Рг(х+Яг7у+С. 1т дв 76. Случай многосвязной облаетн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
