Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Отсюдз будет непосредственно следовать, что сумма (6) имеет пре. дел, равный интегралу (7). Упомянутая разность имеет вид а — ! т, = ~ [Р [!р (т«), ф(т«), а(т«)]— — Р Ы ') И [) ( [)и у'( «)( .. — ' ). Значения т«и т; принадлежат промежутку (т«, т«„), н в силу равномерной непрерывности непрерывной функции Р[!р(т), !р(а), и( !] для любого малого положительного а существует такое 3, что [1,32] ] Р [у(т«), ф(т«), !о(т«)] — Р[у(т«), ф(т«), со(т«)] ] «~о, если только ч«„— т«(о.
Таким образом абсолютное значение будег иметь оценку !а1](о Х ]р'('«)]( «+! — '«) р)о непрерывная в промежутке (а, Ь) функция !р'(т) будет я огр"- ниченной в этом промежутке, то есть ]у'(т)](К, где К вЂ” определен ное число [1, 36]. Отсюда имеем: а †! ]1~<«К „У, ( „,—.„)=.К(Ь вЂ” а). «-о В Т. КРИВОЛИНЕЯНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 7 к как я О, если шах(чь+< — ть) — О, то мы видим, что<) лействиио стремится к нулю, и сумма (6) имеет предел (7). Рассматривая очно так же остальные суммы (3), покажем, что при сделанных предожениях интеграл (2) может быть представлен в виде обычного определенного интеграла: ь ~ Р <1х+ () <!у+ й а<г = ~ [Ру'(т) + Яф'(с) + йм'(т)[ а<-., (8) ш а где р, Я и й надо выразить через т согласно формулам (5).
Некоторые из свойств простого интеграла, указанные в [!, 94[, непосредственно обобшаются на случай криволинейного интеграла. Так, например: !. Если кривая (!) состоит из отдельных частей (1,), (!Т), ..., (1 ), ~ Р<)х+ Я<!у+й а<а= ') Р<1х+ <,«1у+ й<(г+ <и ип + ~ Р<(х+ <е<!у+й а<я+...+ ~ Р<1х+ Я<(у+й<1г.
цн а П. Величина криволинейного интеграла определяется не только подынтегральным выражением и кривой интегрирования, но и указа« няем направления на кривой (1), причем лри изменении наяравленил кривой интегрирования интеграл лишь меняет знак. Есля кривая (1) целиком не удовлетворяет укззанным выше уело. вивм, но ее можно разбить на конечное число частей, каждая из которых имеет параметрическое уравнение (5), то формула (7) применима к каждой части, а интеграл по всей кривой можно пред: ставить как сумму интегралов по отдельным частям. Нетрудно показать, что зто равносильно пределу суммы (3) для всей кривой.
В дальнейшем мы будем рассматривать только такие кривые (!), котор<яе удовлетворяют указанному выше условию. Заметим, наконец, что если т есть длина дуги з= Ал АМ, то формула (8) переходит з формулу (4). Если кривая (!) есть плоская кривая, находящаяся на плоскости Х() г, то интеграл (2) имеет вид 1 Р!х+ОЫу, <и где Р я С) — функции от (х, у), определенные вдоль (1).
79. Работа силового поля. Примеры. К понятию криволинейного я нтвграла (2) естественно приводит задача вычисления работы. Пусть точк очка М описывает траекторию (1) под действием силы г, являюейся функцией точки вдоль (1). для вычисления работы разобьем (1) р<в ГЛ.
П!. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ на мзлые части и рассмотрим одну из этих частей М»М»+<. Ввиду малости втой части можем считать приближенно, что на втой части вектор силы Г имеет постоянное значение, хотя бы то, которое оц имеет в точке М», и можем заменить дугу .» М»М»„хордой М»М»и Таким образом на атом малом участке работа приближенно выразится произведением йЕ» <, Г» < < М»М»»< ( соз (Г», М»М»+<).
где через <Г») мы обозначали длину вектора Г в точке М», через <М»М»+<( — длину отрезка М»М», и через ЬЕ» — работу на уча. стке - М»М» и Пользуясь известной нз аналитической геометрии формулой для угла между двумя направлениями, можем написать дЕ» (Г»и М»М»»< ([соз(Г», Х) с05(М»М< Р Х)+ + соз (Гм Г) соз (М»М»+н У)+ соэ (Г», Л) соз (М»М»»Р 2)), нли, раскрывая скобки и обозначая через Р, <',< и )с проекпни вектора Г на координатные оси, бЕ» Р»с<л»+ ()» бу»+ й» бз», где значок у Р, ь) и )с показывает„ что берутся значения этих функ. ний в точке М». Суммируя затем по всем участкам и переходя к пре- делу, получим точное выражение для всей работы Е = („Р (л+ а ау+ й Дз.
<и Примеры. Е Работа, производичая постоянной сн»ой тяжести прп псремсщеннн точки М массы ю из положения М,(ап йн с,) в М, (а„з„с,) по любой кривой ((), выражается интегралом сс « Р «л + <) <1у + с« Гг = ') юл <Гг = юл (с, — с,) сс (ось Ол мы направили вертикально вниз), откуда видно, что зта работа зависит только от начального н конечного положений точки, но не от п<тн, по которому точка двигалась.
Здесь мы имеем пример криволинейного нн1с. трала, величина которого зависит только от начальной и конечной то»си интегрирования, но нс от пути. з. Работа сиа ньютонова притяжения к неподвижному венгру массы ю прн перемещении точки единичной массы из положения М, в положение М,. Поместив притягивающий пснтр в начале координат н обозначая г рва<ос.
вектор точки, мы вндич, что сила Е направлена противоположно'бМ, » «о величине равна —,, где у — постоянная тяготения. Таким образом оказываем» ут /юх уму ую а Р— — —, <г= — — —, сс= — — —, г' г ' г' г ' г' г ' <о (П <О в т. кРиВОлинейные интеГРАлы 217 н еслн мм через г, м г, обозначим расстояния точек М, н М, от притягивающего центра, то Е уж( в здесь работа, т, е. соответствующий криволинейный интеграл, ззанснг только от начальной н конечной точек, но не от п)тн.
Вслн ввести потенциал точечной массы (1 ую г' тзк что д(1 д0 д0 )э= — () = — )р=— дх' ду' дз ' то работа Е будет выражаться разностью значений потенциала (1 в точках М, Я Мн т. е. Е = 0(М,) — (1(М,). В последующих примерах мы рассмотрим криволинейные интегралы по плоскнм кривым. 3.
Рассмотрим плоское устзновнвшееся течение несжимаемой жидкости постоянной плотности, которую мы примем равной единице. Прн таком двн- жеявя скорость ч частицы жндкоств,находвщейся в точке М(х,у), зависят только от (х, у). Вычислкм колнчество жидкости В протекающей в едяннцу врсменй через дан. ный контур (!) (рнс. 5б). Обоэначнм чсрез и н п проекция скорости ч на координатные осн. Выделяя влемент ~. ММ'=дз контура (1). Снятая приближенно скорости всех частиц этого элемента одннаковмтщ, мм увидим, что в течение всеконечно малого промежутка времени дг все частицы этого «авмента продвинутся на отрезок д 1ч)дг в направления вектора ч н ВФм т полажение )ч)тг.
пло адь у щ Ряс. 55. паралзеаограмма М1ЧАГМ' может быть вмражена произведением основания дз на величину проекцнн вектора ч туг на направление внешней нормали (л) к кривой (1), т. е. площадь М т)АУМ' =) ч ( соэ(ч, л) дг дз, гул (ч ) есть длина вектора ч. Обозначая через (з) направленне касательной я'контуру (1), укаэанные на рис.
56, имеем (л, Х)=(з, У), (л, ))=(э, Х) — л, где снмволом (е, Е) мы обозначаем угол, отсчитываемый от направления я до ваправлення р против часовой стрелки. Таким образом мы имеем сел(л, Х)=сот(э, У) н соа(л, У)= — сов(э, Х). о, как известно, угол между двумя направлениями выражается по Н, Формуае сгн(ч, л) =сов(ч, Х) соэ(л, Х)+ сот(ч, У) соэ(л, У), 218 ГЛ. !Н, КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ иэи, в силу (9), сов(ч, п)=сов(ч, Х)соэ(з, у) — сов(ч, у)оса(з, Х). Подставаяя в выражение площади и принимая во внимание, что )ч (сов(о, у) =о, ( у) у )ч ~ сав(о, Х)=и, дз соэ (5 Л) = Дх получим окончательно площадь МсЧРТМ = ( — о Ьх+ и Ду) д!.
При атом, если угол (ч, и) т)поя, то соз(ч, и) будет отрипательнмч, и площадь поаучится со знаком ( — ). Полное количество жидкости, протекающей за врек!я д! через контур (г, будет д! ~ ( — о эх+ и ду) = д! 1 — о дх + и ду, А а за единипу времени: 4 = ~ — о ах + и ду. (10] ~й Замстикц что контур (» может быть замкнутым и при этом (» надо обзоднть против часовой стрелки. Количество жидкости д подсчитывается по формуле (10) со знаком (-; ), если жидкость течет в ту сторону, куда направлена норыаль (я), и со знаком ( †), если в обратную сторону. Направление (и) указано нами выше. Оно связана с направлением интегрирования по р» и ориентировкой осей х, у согласно формулам (9). Есэн (» — эамкиутыд контур и интегрирование совершается против часовой стрелки (рнс. 56), то величина 4 лает разность между вытекающей в едпнипу времени в область, ограниченную линией (», жидкостью и втекающса.
Уменьшасмое или вычитаемое могут и отсутствовать. Если внутри (» нс имеется ни источников, откуда жидкость вытекает (положительный источник), ни точек поглощения, куда она втекает (ангра цательный источник), то 4 должно равнятьсн нулю, так как в противник случае количещво жидкости, налодкщепся внутри (!), увеличилось бы птн уменьшилось, что противоречит свойству нескснмаеностн и отсутств!на источников. Таким образом установившееся плоское течение несжимаемой жидкости ларанглериэуется раеенюяеом — одх+ иду =О, ш которое должно еыяалнаться для всякого замкнутого хонспура (!), не инеюиеега енутри источниноа.
4. В термодинамике состояние всякого тела определяетсч тремя фия'. ческимн величинами: давлением р, объемом о и температурой (абсолютной) П Эти величины связаны одним соотношением У(о, р, Т)=О; например, в случае идеального газа — формулой Клапейрона ро — йу= О. Таким образом состояние тела определяется двумя величинами из тРех, например: р н о, т. е. точкой М (р, о) плоскости рОо. 219 $ т, криполинслнып интггихлы та) рели состояние меняется, то определяющая его точка Ь» описывает крцвую в плоскости рдо, которая называется диаграммой рассматриваемого „роцесса; если тело возвращается к первоначальному состоянию, процесс цазывается круговым процессом или циклом, и анаграмма его будет замкнутая кривая (б. для определения количества тепла (), поглощенного телам во время процесса, разобьем его иа бесконечно малые элементарные процессы, саотщтстаующие бесконечна ма.тым изменениям величин р, о, Т на Ьр, Ьо, ЬТ.
Если бы менялась только одна из этих величин, то количество поглощенцого тепла было бы приближенно пропорциональна приращению соответствующей переменной; если же меняются сразу все трн переменные, то по принципу наложения лгалых действий [1, 68) полное приращение Ь»7 будет равно сумме этих частных приращений. Другими словами, ыы имеем приближенное равенство вида Ь() = ЬЬР+ Ела+ СЬТ н охоичательно получим 0= 'Я Ь()=() д бр+ д да+С дТ.
(12) Выразив, в силу уравнения состояния, Т через о и р, мы получим Т ф(о, р); ЙТ= — бр+ — дс ° дф дф др до подставив эти выражения вместо Т и дТ в правую часть (12), найдем окончательно »7 = ~ Р др+ )г д, <б где Р и )г суть известные функции от.о н р.
6. Пусть изучаемый процесс есть расширение иля сжатие газа нли цара в рабочем цилиндре газового нли простого двигателя. Изменеяие обмыв Ьо будет тогда пропорционально смещению поршня в цилиндре под действием давления р, а потому работа ЬЕ, которая будет произведена давлеивеи р, при этом изменении объема, будет выражаться при надлежащем выборе единиц произведением рбо, а полная рабюта, произведенная в тече. лие всего кругового процесса Е= )рдо.
к) 71. Плошадь и криволинейный ццтегрцл, Вычислилг площадь о области (о), находящейся в плоскости АОУ и ограниченной замкнутой кривой ((). допустим для простоты (Рис. 67), что кривая (() пересекаешься "Рямыми, параллельными оси О )', це более чем в двух точках. Обозна- Рис. 57.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
