Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Если 9 ~ О, то нсточнкк будет отрнцатеаьноп смаы (сток). рассмотрим, кроме интеграла (44), еще интеграл ) и дх + о с(у, (47) ~О величина которого назывзется обычно циркуляцией скорости вдоль контура ((). Предположим, что шсркуляция скорости по любому замкнутому контуру равна нулю, т. е. интеграл (47) не зависит от пути.
Это выражают иначе, говоря, что течение незазнхренное. Сделанное предположенне равносильно существованию функции Т(М): сл. и унн ) идя+оду, (48) Сль, Уь) ттсоя, что проекции и н о вектора скорости ч суть частные производные дч дэ дх' ду ' (49) функция 7 называется потенциалом скорости. Эслв условие независимости интеграла (48) от пути выполнено в многосвязнод области (области с дырамв), то потенциал скоростн у будет, вообще говоря, многозначной функцнея, м циклмческая постоянная интеграла (48) относительно какопнвбудь дыры будет давать напряженность вихря, соответствующего этой дыре.
Из равенства (46) вытекает [74) ив дф дф и= —. дх' ду Сравнцвая этв равенства с (49), получаем лва уравненнв, связываюгц~сх вотенциаа скорости Т и функцию тока ф: дт дф дч дф (80) дх ду ' ду дх' Этв уравнення, которые обычно называются уравнениями Коти — Рилсаиа, имеют основйое значение в теории функция компаексноя переменной, в вх гвдродннамнческое значение, установленное выше, служит основанием тех обшнрнык прнложенип, которйе теория функцн» комплексной перемен- воЯ имеет в плоскоп задаче гвлродинамнки. В случае установившегося движения в пространстве вектор скорости ч(х, у, а) имеет трн составляющие: и(х.
у, а), и(х, у, а), ю(х, у, л), а вместо мнтеграаа (48) нала рассматривать ннтеграа и дх + о Фу + ю да, > 238 ГЛ. ПС КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ гте н сели выполнены условия независимости юо дн дп дн ды — — =о, — — — =о, ду де ' дл дх то существует потенциал снорости (е, н е> и ах + и ду <ее, ун еы от пути дп дп — — — =о, дх ду вричсн имл —, О= —, ы= —. дх ' ду' дл Обобщение условна несжнмаемости (45) на случай пространства ны прп. ведем в следующей главе. 78.
Интегрирующий множитель. Если выражение Рс(х+ () ду (51) ие есть полный дифференциал, т. е. др дО ду дх — — — =„йо, то, как ны покажем, всегда можно найти такую функцию р, по умножении на которую выражение (51) обратитсн в полный дифференциал р(Р сух+ б) (у) = г((у (52) д (РР) д (РО) — — — =О, ду д (53) которое, будучи переписано в виде Р— — Π— +р.1' — — — '1=О, ди дп гдр дЯл Ну дх (ду д,) = (54) может быть рассматриваемо как уравнение для определения множн- теля р.
Фактически, вообще говоря, этим уравнением трудно пользо- ваться, так как оно является уравнением в частных производных, задача интегрирования которых еще более сложна, чем задача интег- рирования обыкновенных уравнений. Если выражение (51) есть полный дифференциал, то дифферен- циальное уравнение Р дх + () ду = О (55) назывесгсн уравнением типа полного дифференг(иана. Всякая такая функция называется гиетегрирующим множггтелем выражения (51). Для того чтобы функция р была интегрирующим множителем Выражения (51), в силу (27), необходимо и достаточно выполнение равенства 239 % т. ЕРиволинепные интеГРАлы Оно может быть сразу проинтегрировано. В самом деле, пусть У и есть та функция, лля которой аУ= Ргх+ Ойу.
Фуикцня эта при сделанно» предположении, которое равноси.чьно условию (27), может быть найдена всегда по формуле (29). урзвне* ,те (55) Равносильно РавенствУ с(У=О, т. е. У=С, (56) кзковое равенство н лает обнчий янтеграл данного дифференциального уравнения (пб). Пусть теперь выражение(5!) не есть полный дифференциал. )Аифференциальное урзанение (55) всегда имеет, в силу теоремы существования, общий интеграл, который мы запишем в виде Р(х, у)=С Функция Р(х, у) должна удовлетворять соотношению (' у) дР(х у)й О дх + ду дх где —, в силу (55), »ы должны заменить на 1 — ©-1, т. е.
должно ду I РЪ иметь место тождество дР др дх ду Р С)' Обознзчая через )ь общую величину этих двух равных отношений, мы имеем др дР дх 1 ' д р'е' у т. е. Р. есть интегрирующий множитель выражения (о1). Это рассуждение доказываен что всякое выражение Рг(х+ Я0у имеет интегрирующий множитель. Найдя интегрирующий множитель выражения (51) и по не»у функцию Р„можно написать общий интегрзл дифференциального уравнения (55): П р и м е р ы. 1. Линии тока установившегося паоского течения жидкости имеют дифференциальное уравнение дх ду — — — или — о их+ иду =О, (57) и о где и и и†проекция вектора скорости т иа координатные оси.
Если жидкость несжииае»а, то выполняется условие: ди до й-+д — о, 240 гд. и>. киатныв и коиволинсиныв интсгоапы >та которос показывает, что выражение — о дх + и ду (бч> есть полный днфференш>ал некоторой функпии; действительно, в (уу) мы видели, что — о дх + и ду = дф, где ф есть функция токэ, и уравнение линий така будет> ф=С, что и дает общий интеграл >равнения — о их+ и ду = О. 2. В приысрс 4 )70) мы упоминали об элементарном тепловом проасссс и дали выражение бесконечно малого количества тепла, пол>чающегосн арп таком пропессе, в зависимости от бесконечно иалык изменений давления р, объема о и температуры Т.
>>апи>асы трн выражения для д() в зависимости от тога, какие иэ трек величин р, о, Т считаются независимыми переменными; > с дТ+ с, до (Т, о — независимые псрсменныс), Щ= срдТ+с,др (Т, р — независимые псремеиныс), Рдр+ Удо (р, о — независимые переменные). Величины с и ср особенно важны и называютсл тепаоемкостами всществэ при пас>пайком объеме и постоянном давлении.
Если мы в (59) будем выражать одни независимые переменные через другие, то получим ряд соотношений между коэффипиентзми. Так, в ра- венстве др сь = си+ са дТ др с, =с,—. до' (6 >) (62> Таким же путем из равенства с,дТ+с, до= Рдр+ Удо мы получим др дТ' с,=>'+Р—. др до' (66) (оч) В сл>чае идсаэьпого газа мы имеем уравнение состояния ро= У>Т, откуда следует др >т др р оТ о' до о' до )г до о дТ о дТ о' др р' др >(' дТ р до й' ардТ+с др с дТ ( еда (60) будем считать независимыми переменными Т и о.
Положим дР=УТдт+д о д др др Подставив зто выражение для ир в (60) н приравняв коэффипиенты при дТ и до, имеем 241 а т. кРНВОлинеяные интеГРАлы й!2 — = д8, причем функция 8 называется энжролией. Начало 1, в силу первой из формул (з9), дает нам д()=дг') — Рдо=с дТ+(с,— Р)до, откуда (67) Значки Т и о означают те переменные, которые считаются постоянными нри указанном дифференцировании. Точно так же начало П дает откуда дс„,' дс, ! с, Сравнивая уравнении (67) и (66), находим др с, дТ Т' Переходя опять к случаю идеального газа, мы заключаеы отсюда др )7 с, )7Т с = — =р. дТ о Т' ' о С другой стороны, уравнение (66) дает (66) (69) (70) с,=р=(ср — г ) —, т. е.
ср — с =Я. Р ь )7 ь (71) н тогда соотношения (б!) — (64) дают ср + гэ э с~ сэ сь Р г~ Р + 1 (66) Р )7 Р о' Этн равенства позволяют выразить величины сн см Р, У через основные с и ср.' с, = (ср — с,) —, с, = — (гр — с„) —, Р= ср —, У= ср —. (66) ь)т р)7 ° Выражение дО, вообще говорл, не есть полный дифференциал. Но в силу двух основных начал термодинамики можно утверждать, что; 1, разность межлу Щ н элементарной работой давления рдо есть полный дифференциал и() — рдо= ди, причем функция (7 называетса ануюренлей энергией. !1, Частное от деления Щ па абсолютную температуру Т есть полный 1 дирференимал, или, другими словами, — есть интегрирующий ыножнтель вы ажения д(): На основе зксперимснтальных данных считают, что: !Н, Величина ел в тсплоемкость идеального газа при постоянном давзе.
ннн — есть величина постоянная, в потому и с = са — )7 есть также величина постоянная. Из (7!) следует, что са ~ с и, обозначив для краткости 'е с„ где й) 1, мы без труда найдсы окончательно, в сгщу формул (бб) и (7!). о Ф с,=р, с,= — о, Р= —, (г=р— д — !' д — 1' после чего формула (59) дает следующее вырзжение для г(О, пй н бб! счттт+р бо, с г)Т вЂ” игур, о сгр+ йр Ео (72) д †! с(У= с ггт, Е5 = с — + — бо = с — + )7 —, бТ р гУТ ~УР ч т т т (74) При изотермическом процессе температура остается постоянной, т.
е. тут= 9 и пО= е, т. с. все поглощаемое тепло идет на работу давления, и полное изменение ко. лнчества поглощенного тепла при переходе от объема о, к объему о, будет 1эи ) ргто. !чр График пропссса прн постоянной температуре называется изотермоц. Лдообашическии яроисссож называется проиесс, совершающийся без притока или утери тепла. Он харахтсрпзустсн условием Ее=О . Е5=9, 5 = 1, нзя постоянством знтропнм в частипе газа илн во всем его объеме. Энтро- пию можно определить из формулы (74): Я=с !Е Т+)7!Ео+С, тзк что аднабатнческий прокосе характсризустсн условном сь !Я Т+ Я !Я о соп51, или, переходя от логарифмов к основанием Т' ОЕ= Тстп'Р 'ч=СОПа1, ! нли, возвышая в степень с,' Ту = сопа1, и так как Т= †, то окончательно ро рол = сопл!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
