Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 49
Текст из файла (страница 49)
вала такое т! >О, чтобы было ь-е 1 ~ У(х)бх~(3 л 0(. и а"(„. ь-а' Принимая во внимание известное неравенство [1, 96[ ь-" ьу'(х) с(х ~ ~ ') [у (х) ( Фх, ь-" ь-и непосредственно заключаем, что нз сходимости интеграла ь ~~У(х)[с(» аа (28) (29) Лх)1( (Ь вЂ” Р ' (30) где А и р — иоложительные постоянные, причем р(1, то несобственный интеграл (29) сходится и притом абсолютно.
Если же 1У( И> Ь вЂ” Р 1' (3!) то интеграл (29) не существует. В самом деле, мы имеем в случае (30): Ь-а" ь-" ь —" У(х)аах1( $1У(х)~с(х(А $ ( р =А ь-а' ь-а ь-" прячем правая часть будет сколь угодно малой при достаточно малмх а' н ь", так как показатель (1 — р) положителен (р( 1).
В случае же (3!) мы можем прежде всего быть уверены в тома что в соседстве с точкой х= Ь непрерывная функция г(х) вытекает сходимость интеграла ь Р( )бж О Обратное ззключенне — неправильно, т. е. Нз сходимости интеграла (29) не вытекает сходимость интеграла (28). Если интеграл (28) сходятся, то интеграл (29) называется абсолютно сходтцимся [ср. 1, 124!. Из общего признака вытекает весьма важный для приложений Признак Коши: если нодынтегральная функция у(х), непрерывная лри а(х(Ь, удовлетворяет лри х, близких к Ь, ус- ловию 262 ГЛ. Ш, КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Рм сохраняет постоянный анак, так как, в сиду (31), абсолютное значение у(х) остается больше положительного числа, и, следовательно,7(х) в пуль не обращается, а потому и не ьшжет переменить анака.
Ограничи- ваясь случаем положительной функции 7'(х), имеем ь-г' — А 13 — „при р=1, ~(х) (х~ А ~ (а — х) Ь вЂ” Р ь —" А 1 — р причем правая часть может быть сделана сколь угодно большой прп сколь угодно малых а' и а", ибо по условию 1 — р ( О. Геометрически признак Коши совершенно нагляден, так как в случае (30) кривая у=у(х) Рис.
71. Рис. 72. при х, близких к Ь, находится целиком внутри области, заключенной между двумя симметричными кривыми А н +- — (а — ху (32) (рис, 71), которые при р(1 имеют конечную плошадь, а потому н у'(х) имеет таковую. В случае же (31) кривая у=у(х) в соседстве с точкои х=б выйдет из указанной области, и так как кривые (32) при р~1 не имеют конечной площади, то и кривая у=у(х) также не будет ее иметь (рис. 72). Совершенно аналогично можно рассмотреть те случаи, когдау(х) обращается в бесконечность прн нижнем пределе х=а или в некоторои среднеи точке х=с промежутка интегрирования [1, 97).
263 а а. несОБстВенные интегралы 2, Бесконечные пределы интегрирования. Мы рас- смотрим теперь слу~ай Ь=+со, т. е. несобственный интегрзл +СО ь У(х)бх= 11ш ~у(х)йх а + оэ я 1(х) бх а (33) необходимо и досгпапгочно: при заданно«с сколь угодно малолг положительнолг числе ь суе(ествует такое положительное число Лг, что ! $ Я(х)бх/(3 при Ь' и Ь")№ В частности, совершенно так же, как и в случае 1, докажем Признак Коши: если подынтегральная функция У(х) непрерывна при х) а и [1(х)[( р и р)1, (3 4) то несобственный интеграл (33) абсолюпгно сходящийся. Если же [У(х)[) — р и р -1, (ЗЗ) то интеграл (ЗЗ) не существует.
Совершенно аналогичным путем можно рассмотреть несобственные интегралы [1, 98[ 1 у(»)бх и 1 У(х)б» Укажем практически удобный способ применения признака Коши. Оста. иоаимся сначала, ва интеграле вида (33). Условие его сходиыости (34) сводится к тому, что существует такое р)1, что произведение у(х)хр при +Со остается ограниченным. Это условие наверно выполнено, если существует конечный прелат йш у(х) «Р. «+т В предположении, что у(х) непрерывна прн х)а. Отметим, что символ Ь -ь -[- со обозначает, что Ь беспредельно возрзстзет, принимая все достаточно большие значения.
Применяя признак Коши, как и в предыдущем случае, получим: для сугцествования (сходимостп) несобепгвенного инпгегуала 264 ГЛ.!П. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ !зз Точно так же условие расходнмостн (35) имеет место, если существует предел 11ш У(х)хя (р<1) 5х'+1 „ ха+ 4 а будет расходящимся, тзк как Вю, х = 5 (р = 1). 5х'+ 1 +,ч х'+4 Вообще интеграл от рациональной дроби с одним или двтмя бесконечными пределами будет сходиться только в том случае, если степень знаменателя по крайней мере на две единицы выше степени числителя, Кроме того, для сходимостн такого интеграла необходимо, чтобы после возможных сокращений дроби знаменатеаь не обращаяся в нуль в промежутке интегрированна.
Если этот промежуток ( — оз, + со), то знаменатель не должен иметь вещественных корней. Совершенно 'аналогично можно прийенять условия (30) н (31) сходнмости и расходнмостн интеграла в случае обращения подынтегральной функция в бесконечность. Так, например, интеграл ыпх ппх схолится прн ж ( 2, ибо произведение — хм ' = — стремятся к едихм х вице прн х-+О, н р=в — 1(1. 86, Неабсолютно сходящиеся интегралы. Признак Коши дзет лишь достаточное условие (ЗО) нли (34) сходимостн несобственного интеграла. Например, он неприменим для неабсолютно сходящихся интегралов, т.
е. таких, что ~ Г" (х) г(х или ~ у" (х) !тх Ф я сходится, а интегрзл илн ) !у(х)[ах О )'У(х)[!Тх а а +Оэ отличный от нуля (конечный или бесконечный), Так, например, интеграл нз примера 5[34) будет абсолютно сходящимся, тай как произведение е "" оп рх ° хР прн любом положительномр стремится к нулю при х + со. Действительно, множитель соз)х не превышает единицы по абсолютной величине, а произведение е '"'хл -О, кзк в атом нетрудно убедиться по правилу Лопиталя, положив, например, р = 2 [!, 65).
Интеграл вида 265 аз. несовственные ннтнгнллы не сходится. Приведем признак сходнностн, применимый н для не- абсолютно сходящихся интегралов: если интеграл к Р (х) = г) г (1) бт (а ) 0) а будет сходялгнмся нри любом р)0. Действительно, интегрируя по частям, получим и и н илк, принимая во внимание, что Р(а)=0: Прн беспредельном возрастании И первое слагаемое правой части стремится к нулю, нбо Р(Ж) по условию остается ограниченным н р)0.
Второе слагаемое представляется интегралом, сходящимся по нрнзнаку Коши, так как под интегралом числитель Р(х) по условию остается ограниченным прн х -ь + со, а в знаменателе степень х выше еднннцы. Таким образом существует предел — Ых= Иш 1 — еь(х=Р 1 —,+л Ых. — ° у(») е у (») г Р(») О --л л Примеры. 1.
Возьмем интеграл ~ — д», о (йб) РзссмотРенный нами в примере 3!84]. Заметим, что прн» 0 пояынтеграль"зя Функннл стремится к р, так что несобственный характер зтого ннтегРала происходит только от бесконечного предела. Далее очевидно ~ нп р» л» ~ю [ — — ом р» ~ л нри беспредельном еозрастаннн х остаетсн ограниченным, то интеграл +ю а 266 Гл, П1. кратные и квиволинеяные интегралы 18е откуда зш ба ба ( — ()у ) О), -В 2 а У т.
е, интеграл ~ мп !)хба прн любых о и У остается ограниченным, Сле- п доватсльно, к интегралу (36) применима доказанная теорема, и он сходится, 2. Рассмотрим еще интеграл з!п (хз) ах. (3» Совершая замену переменных х=)гТ, приведем его к виду о и совершенно так же, как и в примере 1, докажем, что он сходится. Выясним несколько подробнее причины, обусловливающие скодимость интеграла (37). Подынтегральная функция ) (х) = уу = мп(хз), график которой изображен на рис. 73, даже не стремится к нулю прв х-ь+со, признак Коши, очевидно, не применим. Разобьем прозу межуток (О, +со) на части: (О, Ргл), (Р'л, )г 2л), ',.У2л, $'Зл)...., Рис.
73. 9'нл. У(а+ !) л)..... в каждой нз которых функция у з!п(хт) сохраняет неизменный знак: в первой (+), во второй ( — ), в третьей (+) и т. д. Положим тг(а+!! и па=( — 1)" ) а1п (х*) бх. кап Вводя вместо х новую переменную 7 х-)у!-! лл, получим и„= — ~ бг=— ( — 1)" Р з!и(!+лл) 1 Р з)п! бг, 2 )гг+пл 2 ~ У!+пл откуда видно, что числа п„положительны и убывают при возрастании пелого положительного числа и. Кроме того, нз неравенства л ип (— 2 )гил 2 и о следует, что и„-т.б при и-г+оо. Из всего сказанного вытекает, что знако- 267 Ь В. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 571 переменный Ряд и, — и, + из — и, + . „-1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
