Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Обовначим череа ь1х, и Ьхь приращения, которые получают в х„когда у получает приращение ду. Мы имеем 111,(у)=7,(у-)-Ь» — 1,(у)= «ь -~- ь«ь «ь У(х, у+Ау)Ых — ~У(х, у)Ых. (19) «ь+ь«~ «ь Заметив, что 11, 94) «ь + ь«ь «ь «ь + ь«ь «ь + ь«ь =1+ «ь т ь«ь «ь «ь «ь 254 гл. ш. каатные и кзнволннеинын ннтзгиллы мы аюжем переписать равенство (19) так: «» «1г(у)= гз У'(» у+ Ьу) — кг(х, у)] Их+ хг х,+ак, хг + акг + г) г (х, у+бу) ~(х — ~ Г(х, у+ бу) г(х. (20) Прн этих вычислениях мы предполагаем, конечно, что функция у(х, у) удовлетворяет указанным выше условиям при ач-у =.8 и при всех значениях х, которые принадлежат промежуткаи интегрирования в написанных интегралах. По теореме о среднем [1, 95] можем написать к> + акг г (х, у + Ьу) ~Кх = Ьха~(ха + 8, Ьхг, у+Ау) = Ьх, ]~(хн у)+тн], к~ ха+ аха у(х, у+ Ьу) г(х = йхау(ха+ 8» Ьх„у+ Ау) = Ьха ]у(хь у)+ти] «а (ОСег и Ва< Ц.
Если Ьу-»0, то и Ьх„йхз- О, и, в силу непрерывности г(х, у), мозгем утверждать, что при этом т1г, т1а-«0. Подставив эти выражения в формулу (20) и пользуясь формулами (15) и (16), получим, деля на Ьу: «а — Нх+(г (хэ у)+те] —— аг, (у) Г дУ(х, у) а«а ау д ду йу кг кв — Я(х„У)+т1г] — '+ ~ и(х, У, ЬУ) Ых. кг Переходя к пределу, получим, в силу (11), следующую формулу для дифференцирования интеграла (18): ка ха — ~ У(х, у)Ых= ~ ~( ' У) Ну+У(хм у) — ' — 1(хи у)~»'. (21) «1 Если х, и х, не зависят от у, то получается формула (13).
Эта последняя формула справедлива н при дифференцировании кратного интеграла по параметру, если только область интегрировзния (В) не аависит от параметра. Если, например, в двукратном интеграле по области (В) подынтегральная функция г (М, С) зависит не только от 2бб в а. несОБстВенные интеГРАлы переменной точки М интегрирования, но и от параметра 1, то Д ~ ~ у(М, 1) (о = ~ ~ ~у("1 " с(о.
'~в> ~В1 (22) 84. Примеры. 1. В [29) мы нашли частное решение уравнсния лту +Ау у(6 удовлетворяющее условиям (23) Оно имеет вид у= — у(и)аю л(г — я)ыи, 1 Нетрудно проверить вто непосредственным дифференцированием согласно правилу (21). Мы имеем с — у (и) сш л (с — и) оп + — у(и) ил л (г — и) ~ лу Г 1 сга л л г г =~у(и)сов Ф(г — а1аи, о с оту ЩЗ вЂ” — Л 1у(и) а1п Л(т — и) ГГи+у(и)спад(à — и) ! = — Лу+/(Г), 1 1а т т.
е. действительно, Гту — „+ л'у=у(т). оы Равенства же (23) получаются непосредственно иа предыдущих формул, есан положить там Г=О. При этом считается, что у(М, 1) и — '' суть непрерывные дг"(А1, т] функции при изменении М в области (В), включая контур„н при изменении 1 в некотором промежутке.
Заметим, что при доказательстве формул (13) и (22) существенно, что промежуток интегрирования конечен. В примерах мы будем применять формулу (13) и для бесконечного промежутка. В дальнейшем мы укажем условна ваконности такого применения. Из предыдущих формул вытекает также, что если у (х, у), хт(у) и хт(у) суть непрерывные функции, то и интеграл (18) есть непрерывная функция от у. 256 ГЧ.!и. КРЛТНЫЕ И КРИВОДИНЕИНЫЕ ИНТЕГРЛЛЫ 2.
Пусть требуетвя вычислить интеграл [1, 110] ! 1' ]н(1+ х) г'г= т — + — а — Ех, «1 Введем параметр » и рассмотрим / (») = г а'х. !' ]е(1+»х) Непосредственно ясно, что г'(0)=0 и У(1)=г'г. Формула (21), применительно к параметру а, дает 12 (] +»г) йх 01 (1+»х) (1+ха) + 1+»" Разлагая рациональную дробь на простейшие, получим: х 1 (1+»х)(1+х') 1+»* ~ и, интегрируя по х: х !е(1+»л)»агсго» ]г (! +»х) (1+х ) 2(1+аг) 1+»" Окончательно г()(») !Н(1 +»г) а асс !Р» !н (1+»т) !»(1+»г)» шс ть» 2(1+»г) !+»~ 1+» 2(1+»т) ]+»т 1 ('12(!+аг) (' »агсгн» !2.! ! й причем постоянного слагаемого ны пе пишем, так как У(0) =О. Применяем ко второму слагаемому интегрирование по частям: » а аагсге» 1 Р гт» = — агс !Е» г( ]е (1 + а') = 1+»' 2 б) = — агс ге а ° ]е (1 +»') ~ 1 и», 1 Р !Е(1+ат) 2 о 2 ~ 1+»а гг», и, следовательно, в силу (24) 11») = —.
агсге а !Е(1+ »"), 1 257 й З. НЕСОБСТВЕННЫЕ ННТЕГРЛЛМ з41 откуда при а= 1: Г 12(1+х) 1 хз дх В 162. + 3. Вычислим интеграл Вместо этого интеграла мы рассмотрим более сложный по внешнему виду 1(а, В)= е а" — дх (а)0). мп Вх к (26) Дифференпируем по В: 02 д1(а, В) ~ д ( з!пВх дВ,1 дВ1 х Рл — (е и" ) 4(х= ~ е ахссзВкдх. о о Последний интеграл вычисляется без труда (1, 201): откуда 1(а, В) ~ — +С агс (й — -(-С. сл ЕВ а'+ В' о. (26) откуда ясно, что С=О.
г!Так, мы иллеем 1 (а, В) = агс 16 — .. Интеграл, ноторый, иам надо вычислить, получается из 1(а, В) при а=О, причем а надо приближать к нулю со стороны положительных чисел, т. е. а-ь+О. Если мы будем приближать и к 0 в предыдущем равенстве, то получим разные пределы, в зависимости от того, будут ли В)0 или В(0: — при В)0, — — при В (О, 2 0 при В=О Вш агс 1й— В а +о сл 9 в.ис Остается только определить постоянную интегрирования С, не зависящую от В. Для этого мы будем приближать В к 0 в равенствах 12а) и (26): !нп 1(сл, В)=1(а, 0)=0, 1(сл, О)=агс!20+С=О, Е-о 258 ГЛ. П!. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕИНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ и потому окончательно ')! !аа — при 8) О, г /(Р) = ~ !/х = Г а)п рх х о — при Р(0, 2 0 при 8=0. Отмстив, что интеграл, стоящий слева, даст нам разрывную функцию Рнс.
70. е-ах !/ с 1 а о (а ) 0), получим — ° А1 е '" ха !/х= — ттт, а о Рассмотрим теперь интеграл / =~ е "л хв!/х (а)0). Если и есть число нечетное: и = 2А + 1, то /„ вычисляется подстановкой л'=Г: — а 1 Г 1 я! /,а+,— — л! е " х х !/х= — а е т !//= — -~ —. — ах та -«! а 2 2 а+'' а Ь Для рассмотрения случая нотного н введем в формуле (4) новую переменную интегрирования х= )/лт. Заменяя в полученном результате т опять ') Предыдущие рассуждения не строги, так как предполагают равенства: Нщ /(а, Р)=/(а, 0), 1нп /(а, 8)=/(О, 8), которые л!огут считаться оче- Р о я +о видными, если известно, что /(я, Р) есть непрерывная функция как от 8, так н от а.
Ззметим, кроме того, что если бы мы не ввели под знаком интеграла множитель е "", то получили бы после лифференцироваиия по 8 интеграл ~ соарх!/х, не имеющий смысла. Строгое доказательство непрерывности /(а, Р) будет дано в (88). /(8) от Р. График зтай разрывной функции, состоящий нз двух полупрямых и точки, изображен на рис. 70. 4. Дифференцирув А раз по а очевидное равенство % 3.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 259 на х, будем иметь формулу «х«1 -« ' к 2 т' а' о дифференцируа ее й раз по а, находим — =( — 1)» ~ е х'»Ех, «~1«1 — «х« х,»вЂ” 6 откуда х» 11 „1 „1 )' 1.Я„.(2» 1) ,»=( 1)» 2» ° а б. В интеграле 1(Р)=) е «х с<ярк Ех (а О), о зависящем от двух параметров а и Р, будем рассматривать а настоянным. Дифференцируем по Р: «1(Р) — «Ы ° .
1 — «к« — — е " в!п Рх ° х«(хаа — мп Рх ~1е аЗ 0 2а б) о Интегрируем по частям: — = — е а(п рх~ — — 0» е соз охах = — — В СОЗРх«(х, а«1(р) 1 «1« ««р [' — «х« «Р 2а ~х о 2«,~ 2«~ о т. е. — = — — а 1(Р). 1(Р) «го 2« В атом дифференциальном уравнении переменные разделяются: — = — — и) е1(Р) 1 (Р) 2« откуда, интегрируя, получим следовательно С = — 11 — и 2 ~У а в (27)> ~ е — «х«„, о окончзтельно, подставляя зто выражение С з« Рхсгх = — 1 — е з« 1 (Р) = Се (27) где постоянная С уже не зависит от Р.
Подставляя о =О, будем иметь 1(О)= ~ е а'х= — 1тг — «хя 1 ° 2 г' а' о С другой стороны, в силу (27), 1(0) = С, 260 ГЛ. Н!. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНГННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1ьз Заменяя и нк и', получим результат, которым мы затем воспользуемся пря исследовании уравнения распространения тепла; ии а' -а'х' р Л йаи е "" сок Ьхах — е 2и 85. Несобственные интегралы. Мы неоднократно встречали интегралы, у' которых либо подынтегральнач функция, либо пределы интегрирования обращаются в бесконечность.
В [1, 97, 98] мы условились приписывать таким интегралам определенный смысл, если выполнены некоторые условия. Теперь иы остановимся на этих интегралах подробнее. 1. Подынтегральная функция обращается в бес ° к о н е ч н о с т ь. Пусть в интеграле ь $ Д(х) бх и (Ь) а) функция У(х) непрерывна при а(хСЬ, но обращается в бесконечность прн х = о, или, точнее говоря, пусть Дх) становится неограниченной при стремлении х к Ь от меньших значений. Мы принимаем тогда по определению [1, 97] ь Ь-е ~у(х) бх= 11ш ') У'(х) бх, и +е и если только предел, написанный в правой части равенства, существует.
Выясниы условия его существования. Согласно основному признаку Коши [1, 31], необходимым и достаточным условием существования предела переменной является то, чтобы разность каких- либо двух значений этой переменной, начиная с некоторого ее значения, для всех последующих была по абсолютному значению меньше любого наперед заданного положительного числа. В рассматриваемом случае эта разность будет ь — н' Ь вЂ” е' у(х) бх — ~ у'(х) с(х = ~ у'(х) ах и и Ь-и' (е" <е'), и мы получим таким образом следующее общее условие: для су!цествовання (сходнмостн) несобственного интеграла ') у (х) а!х, и у но!порога подынтегральная функция у(х) обраньается в беснонечноппь при х = Ь вЂ” О, необходимо и достагпочно, чпгобы при 281 5 К НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ заданном сколь угодно малом положительном числе 3 существо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
