Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Иесоэстаегпные иптегрллы то интеграл (64) также сходится. Он называется и этом случае абсолютно сходящимся, и только такие интегралы мы п рассматриваем. Нетрудно доказагь следугощсе достагочиое условие сходимости: асан для всех достаточно удаленных точек М функцггя удоалетаоряет условию 1/(Л!); =-.: -„-, аде г — расстояние оги любой А = ге гуаиясированной таили (начала) до иере.ненной точки М, А и р — постоянные и р) 2, то интеграл (64) сходигнся. Пользуясь папи- Санным нерзвенствои и вводя полярные координаты, получим ~ ~ ! /(Л!) ' бо === А ~ ~ —, бг аггр.
га'г 1«'г Совокупность областей (о') обязательно содержится в кольце, ограниченном окружностями г = г„и г =й, где 74 может быть сколь угодно большим. Интегрируя по всему кольну, получим ~~грмр,р:=» ' мр'1 — р - — ( —,— — ). ! 2лА / ! ! ) р-в р 21гр-2 цр-2 е' Принимая во внимание, что р — 2 ) О, получим искомую опенку ннтеграла по (о'): ~ ~ДМ) 1 'асг.-- — — „ 2лА ! р 2 р.»-2 ' габг что н доказывает выскзэапиое выше утверждение.
При достаточно большом г, интеграл по (о') будет сколь угодно малым. Аналогично определяется ггесобственгггяй тройной ингеграл по бесконечной области. В последней теореме для тройного ипгеграла условие р ) 2 надо заменить услоииеи у ) 3. Ззиепгм еще, что скааанное выше о несобственных двойных пптегралзх в случае, когдэ У(М) обращзется в бескопечпоспм применимо и к нссобствеппыи интегралам, распространенным по поверхности. Такие интегралы сводятся, как мы видели, к иитегралаи по плоскости (66).
гйы рассматривали только абсолюгпо сходящиеся несобственные ннтегралы. Но ггмсет место следуюигая важная теорема: если иссобстаеиный интеарал сходгнися, то он и абсо.гютио сходтигн (см. «™ фихтенгольц «Курс дифферепшшльпого и интегрального начисления», т. Ш). Опа отпосигся ко всем упомянутым иыгне несобственным интегралаи. Пля случаи двойных интегралов из сходпмости ннтеграла (60) следует сходииость интеграла (6 !) и из сходимости (6 !) следует сходимость (66). пели У(М)х О, то для несобственных интегралов неважно, каким образом («в) стягивается к точке С илп (о ) расширяется. Можгго считать, Ример, что (Лч) ссгь круг или сфера с пегггром С, радиус г! когорон сгремится к нулю, и что (а,) есть часть (о), солержащанся в круге с фиксированиыы центром, радиус которого беспредельно растет. Если же у(х, у) меняет знак, то мы должны прслнарнтельно убедиться в том, что несобственный интеграл сходится, и нельзя доказывать его сходимость при помощи специального пыбора областей (б).
Пользуясь скатанным выше, нетрудно определить понятие ранчо мерной сходимости несобственного кратного сходящегося интеграла, записан!его от параметра. 1!аиримср, инглегра 1 (60), яодынягегральная функция которого заапстян онг яаражетра сс, назоаелг равно черно гходягцнгчгя онгногингельно а, егл» нря люболг нололгигне.гьнож 6 г1тг(ген!арент талое яололгпгнельное т), не эааигян(ее огл а, что ~ $ ДЛ1)ба!(б, ! (о'> если (о') — любая чапль (а), еодерлка!г(аягя и л7(уге (гзч). Аналогично определяется равномерная схолимосгь и других несобственных интегралов.
В частности, из оценки (62) в!атскает, что интеграл будет равномерно сходжцнмся, если числа А и р ие зависят от сс. л(ли равномерно скодюдихся интегралов нмс!ог место свойсню и признак равномерной схолнкостн, указанные и !87). Более сложными являются несобственные кратные интеграл~а, в которых нолыитегральиан функшщ стано!имен неограниченной ис в окрсс!ности некоторой точки, а в окрестности нскотороН линни ((). 11ри атом надо исключить эту линию некоторой областью (гт) н затем суживать (дг) к линии (/). Можно доказать, что если интеграл по (о) сходится, то он выражается через повторные квадратуры (формула (7) из 159!). Если /(х, у) =.О в (о) и повторные квадратуры от нес приводят к конечному числу А, то интеграл от 1(х, у) по (о) сходится и равен А.
Если для знаконеремеппой 1(т, у) повторные квадратуры ллн ~1(х, у) ~ приводят к конечному числу, то интеграл от 1(х, у) по (о) сходится (ср. 1!!01). 99. Примеры. 1. Расслготрилг интеграл (оз глс (о)-вся плоскость. Вводя полярные координаты и интегрируя по кру. гУ (кя) с центРом в начале и РадиУсом г(, получим ('кн) правая часть беспредельно то правая часть имеет коравси — В последнем н а-1' Гслн а (1, то при беспредельном возрастании (г возрастает, и интеграл расходится. Если а" 1, н вечный предел — т, е. интеграл сходнгся и а — 1' 278 Гл.
!1!. кРлтиые и кРнволинянные ннтсгрллы (яа ф В. Несобственные интегпллы 279 ,(ае сходнмость можно доказать, пользуясь достаточным условием, указанн энным в предыдущем номере. При а=) интеграл расходится. 2. Рассмотрим нитсграл ~ ~ у йх((у (е) (о) есть квадрат, ограниченный прямыми: х=б, х=1, у=б, у=1, идола стороны х=-0 подынтсгральиаи функция обращается и бесконечность. мыключаем эту сторону узенькой вертикальной полоской, т.
с. интегрируем по првмоугольиику (о,), ограниченному прямымн: х=е, х=1, у=б, у=( (а> О)1 ()уйу ~- =1 — ) е, (оП з пра а О будем иис(ь предел, равный сдннпцс, т. е. паш интеграл схо. дится н раасн сднннцс, $, Притхжгнис, окизыкоемоз мессой на точку, ригпохшкснкрю мы или анутри нее (рпс. 74), Пусгь масса притягиваемой точки С(х, у, г) сс(ь единица. Разобьем притягивающее тело (о) на элементы массы Лгн и в каждом нз них возьмем точку М(С, т), Ь). Обо- у аначнв через г расстояние СМ, мы получаем для величины притяжения точки С элементом Ьп( приближенное выражение (сосредоточив всю массу ()н) в точке М) ()т гз э прячем постоянную тяготения мы счи- (7 таем равной единице.
Так как указан- Рис. 74. ная сила притяжения имеет направление отрезка СМ, то проекции этого элементарного притиженпя на ноордн. иагиыЮ осн буд>т: Ьп( ~-Х Ьт С-х йт и — у гз г ' гз г Проекции же полного притяжении будут иметь приближенные выражении %т ~-х 'еч 11 — У 'чз Ь вЂ” х И ау — Дт, У лу — бт, г з,т — Д гз га гз Обозначив через р(Е, т), Ь) плотность массы в точке М, мы приблщкснио име(щ Ьт рйо, и окончательно, увеличивая число элементов н уменьшая беспредельно каж. дый нэ ннх: ~~~Π†, )г ~~~р"†„ йо, Я=~~~р — йо.
(66) (ю (з) ('з) Обращаем внимание на то, что в написанных интегралах перемен- интегрировання являются координаты (Е, т), ц переменной точка М 281 6 З. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ я помня, что Р(Е, Ч, () нс зависит от (х, у, л), получим оЧ) ~ ~ ~ дъ ~1) с)Ч) ~ ~ ~ дъ (1) (09) '-'-'=111 Е(-')"' 1ъ! Эти формулы справедливы только в том случае, сели точка С(х, у, л) иаходится вне притягивающих масс, т.
с.'вне (о). Прн атом вес интсгралы— собственные. Если жс С внутри (о), то двукратное дифференцирование 1гг даст, как нетрудно проверить непосредственным диффсрсипироваписм: д (11 !!(! — )ъ Ос" !, г ) Гъ (70) я к яитегрззам (69) ис будет уже применим признак гходимости нз [90), т.
е. селя С внутри (о), то вторые производные от поттптиаль О нельзя опреде- лвто, два раза ди61фсрсипируя под знаком интеграла. Складывая равенства (70), булем иметь Б(-')+.— ',: ~-.'-)+.-';-' ~-')- 3 (6 — х)'+ (ч — у)'+ (ь — с)') й г Э г '; — О, я, следовательно, складывая равенства (69), справедливыс, если С вис (о), получим урав- ИСНВЕ тс ъ а . бчбббР. ' <т> о о о (72) Но очевидно ° .» лъ 2ргом6. А!и выполним сперва интегрирование по 6: (73) Мп 646 г дЧ/ дЧ) дЧ/ Охт+дчя+д. =' Итак, потенциал объемных масс У(х, у, с) удовлетворяет уралисиию (7!) а точках С(х, у, л), яаходлотихся анс лагах масс. В даль- Рис. 75.
Всяшем ны выясним, как пздо изменить зто уравнение,сели точка Спзходится внутри масс. $. Рассмотрим слтчай однородного тара рздитса а (Р— постоянно). !!аправнм ось 02 ио прямой ОС, где Π— иситр свара (рис. 70), и введем сферические координаты (р,е, 6)с 282 гл. ш. Кратные и кРиВОлинеиные интегралы (вз Ввслси вместо 0 переменную г, причсм р н 0 считаютсв настоянными. Здесь придстся различать два случая: осли г ) р, то при постоянных р н р и при нзмспснии 0 от О до и величина г менястся от (г — р) ло (г + р).
Всгн же г(р, то г л~енястся от (р — г) до (р+ г) (рпс. ?6). Свсрх тото, в свау (78) нри постовппых р и р: а1п 0 40 дг г рг' гдг= ргзш Ода, Итак, окззывастся дг 2 — — (г >р) рг г г — Р р+г дг 2 — — (г(р) рг р а .1п 0 40 Ь Подстзвзя» зто в (72), мы должны различить два случая: 1) ?очка С находится впс сферы нли па се повсрхноспп тоглз а(г, п в промсж>ткс (О, и) всс значения р(г; в атом са>час мы имссм За а Г 2ргдр 4ла"Р е (7=>г ~ др ~ г Зг г' о о (74) тдс ш ость полная масса шара. 2) Точка С находится вп>трп сфсры (рпс. 76); здссь прочсжуток (О, и) итжпо разбить на двз: (О, г) п (г, а), и мы получим аа а ~~ 2ртдр ~ 2рдр ~, ~ г 1 г) о о г (75) д0 а= —,—. да Котла точка С нахолптсп вис шара, мы поль.
зусмсн формулой (74): тп г' ' когда жс точка С паходнтсн внутри шзра, приманкам формулу (75): г= — ч —.р . 4 3 (77) Рис. 76. Прп с=а обе формулы (57) и (58) совпадают, что доказывает нспрсрывиость нритяжсния л. формулы (74), (76), (77) показывзют, что потенциал и прншяжсянг однородного шара а еочке вне шара можно получишз, сосредолючпа гсю при г=а, т. с. когда точка находится па повсрхпостп шара, обо формулы (74) и (75) лают одинаковую величину лдп (У, что доказывзст пспрсрывпость функпии (У. Псрсходин к вычпслснню притяжснип. В силу снммстрни, оно должно быть направлено по оси Ог, так что нужно вычп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
