Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 54
Текст из файла (страница 54)
1'азделнм этот квадрат на четыре равных квадрата. По крапнен лгере один из них 1аь Ьб еи сЯ содержпг бесчисленное множество точек из Е. Квадрат [а„дб сь б1] опягь разделим на четыре равных квадрата, и по крз!!Нен мере один из них содержит бесчисленное множество точек из Е, и т. д. Мы имеем, таким образом, две бесконечные последовзтельности замкнутых промежутков (а, Ь), (ав Ь,), (а„дь), ..., (а„, Ь„),..., (с, б), (ег. Фг), (ев г(э) ".э (сл бл). "~ и в каждая из них следующин промежуток есть половина предыдущего. Последовательность а, есть неубывающая последовательность, а ܄— невозрастающая, н обе последовательности ограничены.
Таким образом а„и Ь„имеют предел при и оо. По разность ܄— а„=- Ь вЂ” и — — 0 при п со, и слеловзтельно, а„и Ь„имеют один и зог же предел: а„— р и Ь„р при п — оо. Совершенно анзлогичио, г„у и г)ч — д прп п оэ, и точка М с координатами (р, а) есгчч как нетрудно видеть, прелелышя точка лля 1'. Поскольку в любой а-окрестгггсги предельной точки М накопится бесконечное число Точек Е, мы можем выбрать такую бесконечную последовательность различных точек М„(р„, д„) из Е, что М„М, т. е.
р„— Р и у,— д. Итак, если Е пжеелг предельную гпочку М, то суасесгпвуегп бесконечная последавалгельногть различных точек М„из Гь стрежягцнхся к М. Бесконечное множество, состоящее яз точек М. с координатами х„= п, у„= п (и= 1, 2, ...), не имеет предельны т точек (это множество — не ограничено). Пусть Е и Е, — какие-либо множества точек. Берем всевозможны~ расстояния МЛ! любой точки М из Е и любая точки И из ЕР Полученное множество неотрицательных чисел МАГ имеет некоторую точную нижггюго границу 6)0 11, 42). Это число 3 называется расстоянггеэг % 9, ь!ГРА н тсоэня !!нтеГРИРовлпня 287 иезеду множегтаами Е и Ее Если эти множества ииеют хотя бы одну обпгу!о точку, то, очевилно, 8 = О. Но это равенство может иметь место и для множеств без общих точек. Теорема 2.
Если Е и Е,— заткнутые ограначснныс множества без общлм нгочск, иго расплояние Ь между ними лоложггглсльно. 11оказывасч! от обратного. Пусть В=О. Из определения точной ншкней гранины следует, что прн этом должна су!пествовать такая последовательносчь точек М„ нз Е и И„ из Еь что расстояния М„дг„ О прн п — со. Отч!сгиы, что среди точек М„ и среди точек Лг„ могут быть и совпзлаялппс. Возможны два случая: плп среди М„ бесчисленное множество различных точек, илп таких точек лишь конечное число, и то же возмгжпо н для Ф„. 1Тусчь для Л1„ и Л1„ имеет место первый случай. В силу ограниченности Е н теоремы 1 можно утверждзть, что множество М„ нисст по крайней мере одну прслельную точку, п мы оставим только тс отрсзкн прямых МчД!„, в которых Л1„ стремится к некоторой прслельной точке М при беспредельном воарастании знзчка.
Из этой подпоследоватсльности выделим новую так, чтобы н последовательность Лг„ стрелпьяась к некоторой предельной точке )Ч. Нумеруя полученную бесконечную последовательность опять пелыми положительнычн значками, можем считать, что в последовательности М„Л1„ и Л1„ и Л1„ стремятся к предельным точкам М н ЛГ при и оо. В силу замкнутости Е и Еи можем утверждать, что М принадлежит Е, а Л1 принадлежит Ее С другой стороны, из М,М„ — О следует, что М и Лг совпадают, а это противоречит тому, что Е и Е, не имеют общих точек.
Переходим ко второму случаю. Пусть он имеет место для М„. При втом имеется бесчисленное множество совпадающих М„. Сохраняя лишь те пары М„ и гч!гс где М„ совпадают с некоторой точкоп М, получим, сохраняя прежнюю нумерапию, последовзтельность отрезков МЛГт где М из Е и Лг, из Еь Среди точек гч'„ не может быть бесчисленного множества одинаковых, ибо ММ„ О, а Е и Е, не имеют, по условию, общих точек. Применяя то же рассуждение, что н выше, можем считать, что Л1ч стРеь!Ятсэ к некотоРой точке А' нз Еэ и нз Мал — О получаем, что М и Л! должны совпадзть, что опять приводит к противоречию. Теорема локаззнз. Из доказзинои теоремы следует, что если и!очка М не принадлежит замьнутолВ множсгтеу Е (играл!гленна.ну или неограниченному), то расгтояние лгсжду М и Е лоложпглсльно.
Лагко доказать и следующее утверждение: егли Е и Е, — ограниченные за.якнутне множеснгва, гло гущестауегп ло крайней мере одна такая пара точек М пз Е и Л1 из Е!, что МЛГ=З. Отметим, что расстояние между двумя неограниченными замкнутыми множествами, не имеющими общих точек, может равняться нулю, так "ак эти множества могут безгранично сближаться при удалении на бесконечность. Этого не может быть, если одно иэ них ограничено. 288 гл. !и. кватныв и кэнволннепные интигяалы !ьа Введем еще одно понятие. Возьмем всевозможные рзсстояния М'М, где М' и М" принадлея<ат некоторому множеству Е.
Множество неотрицательных чисел М'М" имеет 11, 42] точную верхнюю границу в(, которая может равняться и +со. Число Ф называется диаметрол! л!ножества Е. ь(ля ограниченных множеств ь( не равно +со, а для неограниченных б=+ со. Все сказанное выше имеет место для прямой и трехмерного про. страпства. Точки прямой определяются одним вещественным числом х, е-окрестность л!очьи х=с определяется неравенством с — е(х( (х+в, ограниченная область есть некоторый открытый промежуток а(х(Ь, а граница состоит из двух точек х=а и х=Ь.
Нетрудно показать, что открытое множество Е есть множество точек конечного или бесконечного числа открытых промежутков, без общих точек, причем в последнем случае складываемые промежутки можно пронумеровать: а„(х ( Ь„(л = 1, 2, ...). В трехмерном случае точка определяется тройкой чисел (х„у, в), а е-окрестность точи! (а, Ь, с) неравенством (х — а)'+ (у — Ь)'+ (в — с)' ( ва и внутренность куба неравенствами а ( х ( Ь, с (у ( г(, е ( е (У (Ь вЂ” а = !( — с = г — е). 93.
Счетные множества. Действия нвд точечными множествзыи, Введем новый термин. Пусть имеется некоторое множество, содержащее бесконечное число элементов. Оно называется счетным множеством, если все содержащиеся в нем элеиенты можно пронумеровать целыми положительными числами. Мы будем часто говорить в этом случае, что мнозкество содержит счетное число элементов. Пусть мы имеем не одно счетное множество, а счетное число счетных множеств. Их элементы можно обозначить буквой с двумя значками пр я (р, д = 1, 2, ...): первый указывает номер множества, а второй— номер элемента в этом множестве. Все эти элементы также можно пронумеровать по возрастанию суммы значков и первого из них при одинаковой сумме: а!,! 1,! аа,ь а1,3 !!ка аз,! т. е.
ооьединение счетного числа счетных множесл!в есть также счетное лгножество. То же будет и при объединении конечного числа счетных множеств, а также и в том случае, когда среди объединяемых множеств кроме счетных есть и конечные множества. рассмотрим еще множество рациональных чисел из промежутка 0(х(1. Их можно пронумеровать по возрастанию суммы числителя и знаменателя и по возрастанию числителя при одинаковой сумме. При этом дроби берутся 289 $9. МЕРА И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ в несократимой форме: О 1 1 1 1 2 1 1 2 3 1' 1' 2' 3' 4' 3' 5' 3' '5' 4' Так же можно пронумеровать дроби из любого промежутка или нз всей числовой оси. Введем обозначения, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем. Если точка М принадлежит множеству Е, то будем писать: М ее Е.
Если же М не принадлежит Е, то будем писать М е= Е. Если все точки множества Е принадлежат множеству Е, то будем писаюсь Е ~ Е. Определим действия над точечными множествами. Сумлгой конечного али счетного числа множеств 8=~~ Ед называется множество, состоящее из точек, принадлежащих хотя бы одному из Е». Разностью множеств Ед и Е».' 1Т = Е, — Еа (2) называется множество, состоящее из точек Е» не принадлежащих Ек Про!!введением конечного или счетного числа множеств т=ПЕ» (3) называется множество, состоящее из точек, принадлежащих всем Еы Отметим, что если Е, ~ Ед, то из (2) следует Е, = Е»+ )с.
Если Едс:.Е,, то )с, определяемое формулой (2), пе содержит пи одной точки. Такое лшожество называется пус«пь«лг л«ноэкетнвом.' Множество Е, определяемое формулой (3), будет пустым, если пет точек, принадлежащих всем Е». Указанные выше определения имеют, очевидно, смысл и для множеств, состоящих из любых элементов. Отметим при этом, что указанный выше результат (объединение счетного числа счетных множеств есть счетное множество) надо формулировать так: сумма счетного числа счетных множеств есть счетное множество.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
