Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 57
Текст из файла (страница 57)
В первой имеем множества типа (а), а аналогичные множества иторой сетки назовем множествами типа (р). Такие области йвадрируемы при любом выборе сетки квадратов и их мера равна сунне площадей составляющих их квадратов (плошадь квадрзта— квадрат длины его стороны). Покажем, что при переходе от одной сетки к другой не пару!мается свойство квадрируемости н не меняется мерз квадряруемого множества.
Пусть Š— ограниченное нножество точек плоскости, и пусть оно квадрируемо в первой сетке. Отсюда следует, что при любом заданном а)О его гранину 1 можно 190) заключить строго внутрь некоторого множества (1.) типа (а), мера которого (а. Рзсстояние между 1 н границей 1. положятельно, и при достаточном измельчзнии второй сетки можно заключить 1 строго внутрь множества (Е,) тина (1т), содержащегося внутри (Е).
Поскольку Е,(1.(з и а)О произволыю, нежно Утверждать, что 1 имеет меру нуль и при использовании втоРой сетки, т. е. Е квадрируемо н во второй сетке. Аналогично доказывается, что если Е квадрируемо во второй сетке, то оио квадриРуемо и в первой сетке. для доказательства совпдпения меры П в указанных сетках достаточно доказать совпадение внутренних мер. 298 гл. !!!. кРлтные и кРиволинеиные интггРллы 1ат Пусть а — внутренняя мера Е в первой сетке и и,— во второй. П)<и любом задаю<ам е) О существует в первой сетке такое множество (8) типа (<), состоящее из внутренних точек Е, что 8) а — е. Расстояние между (о) и Г положительно, и нри достаточном измельчании второй сетки существует множество (о') тина (р), состоящее из внутренних точек Е и содержащее (Я).
При атом 8)а — е, откуда, ввиду произвольности е, следу< т, что а, -- а. 1<налоги н!о доказывается, что а~а<, т. е. а, = а. Если Е нс нмсст вну!рснних точек, то а = а, = О. Мы доказали следующук! теорему. Теорема 2. Прн нсиользовоннн различно направленных сеток равных квадро<нов свойство квадрнруел!оган! и вглнчнна меры не меннюн!си. 97. Случай любого числа измерений. 1<як мы укааывали, вся теория площадей переносится и на трехмерное пространство, и мы получаем, таким образом, понятия внутреннего и внешнего объема и квадрируемой трехмерной области или лн!ожсства. Роль квадратов играют кубы. Можно ностроить совершенно аналогичную теорию измерения сплав<вдень или теорию меры для любого и-мерного пространства. Точкой такого пространства назовем последовательность и вен<ественных чисел (х,, ха, ..., х„).
Расстояние между двумя точками (х<, ха, ..., х„) и (у<, у,, ..., у„) определим формулой г= (у' ~~я (у,— х,)'. 1 ! 1Варом с венгром (ан аа...., а„) и радиусом р назовем совокупность точек (х„хя, ..., х„), координаты которых удовлетворяют неравенству ч ~~ (х,— а,)варя. ° ! !1аконен, кубок с ребром г назовем совокупность точек, координаты которых удовлетвореот неравенствам а, ---х, -" Ь, (а = 1, 2, ..., л), где Ь,— а,=г. Мерой куба будем считать число г". Все эти определения дают наи возможность повторить предыдущую теорию для и-мерного пространства и установить понятия внутренней и висни!сй меры области или вообн!е множества, и нри их совпадении говорить, что область (или множество) измерима (на плот<ости — квадрирусма) Все доказанныс теоремы будут справедливы и для и-мерного орос!'- ранства.
Параллельный перенос в и-мерном пространстве выра жастся формулами преобразования: х,'=х,+а, (а=1, 2, ..., 1') а поворот вокруг начала выражается некоторым линейиыи нреобраао $ Э. МЕРЛ И ТЕОРИЯ ИНТГГРИРОПЛНИЯ 98. Интегрируемые функции.
Пусть (а) — огрзниченная кэадрируемая область или открытое множество и /(М) — ограниченная функпия, определеш!ая па (а) н ее границе. Разобьем (а) на конечное число каадрируемых областей (или открытых множсстн) (ай)(л = 1, 2,..., т), как это указано в )96). Пусть 6 — это разбиение и ай — меры мпожестэ (ай), так что а»+аз+...+а„=а, гтгй — любая точка, принадлежащая множестэу (ай) или его гранинс, ггй — диаметр (ай) н п(6)— иаиболыпсе из чисел !(й.
Функции /(Ф) называется иитегрнруе.ной по (а), сслн сущестпуст определенный прслсл сумм л а(6)= г,',г(М»)ай й- ! прп стремлении р(6) к нул!о )ср. 1, 119). Эгот предел называется ииигегрллож от функпип у(л!) по (а): н ЯУ(М) !(а =1!(щ ~', ~(1ч») ай. <н! й=! Пусть тй и Мй — точная нижняя и точнзя нсрхннн гранины значс- """ У(Ы) на (ай) (эклнзчая гранину).
Составим суммы а(6) = ~ и!»ам 8(6) = г„г»1»а», й-! яаппсм, при котором расстояние точки до начала остается неизменным. ВОлсс подробно об этих преобрззонаниях мы будем говорить в томе ШР При определении сэязной области мы пользовались понятием ло. манон линии, т.
е. линии, состонпюй нз конечного числа отрсзкон прямых. В и-мерном пространство прямой мы назовем линию (т. е. Мпожестно точек), имею!ИУю пзРаметРическос УРаннсние х, = грн (Г), где гр,(г) — многочлсны первой степени. примсрамн областей и и-мерном пространстве нилщотся множсстэа внутренних точек шара илн куба. Обычно область и-мерного пространства определястся нскоторнии нераэснстиами, которым должны удовлетворять координаты точек этой области. Заметим, что при л= 1, т.
е. Иа прямой, сннзнзн область ссть обнззтельно множество внутренних точек некоторого промежутка. То, что мы говорили о проспал крипь!х, можно обобщить иа и-мерное пространство. В частности, если н трехмерном пространстве имеется поверхность с янным уравнением л =гр(х, у), где гр(х, у) — непрерывная функпня в некоторой ограниченной замкнутой области плоскости Л'О 'г', то такая понсрхность есть измеримое множестно, и ее мера раппа нулю. )»злее легко, как и в )96), посчроить понятие простой поверхности, и всякая область, ограниченная простой поэерхностыо, будет нзиеримой. ЗОО гл.
!и. квлтиыв и квиволш»ги»иле иитггвллы 1ьз которые ззвисят только от рззбиеиия 6. Имеет место очевидное ие. рзвеиство в (6) ( а (6) ~ 8 (6). Пусть ! — точная верхняя грзиицз зизчеиий з(6) и ! — точная нижняя граница зизчеиий 8(6) ири всевозможных рззбишишх 6. Имеем(1, 116) в(6) ==!с !»=8(6). Как и в (1, 116] можно показать, что неопмодп.иог и доев!оп!очное условие интегрируемоснт огран»»ченний фунзтр»п ! (7т) заключаетсн в лго.и, что разностнь Ю(6)-в(6) = ~~~ (Мь — т„)аь ь ! со!Ее.пил!си н нулю, если р(6) сгпрсмпнгсл к нулю. Если это условие выполнено, то ! ! и исличииз иитсгрзлз рзвиз !.
Можно показать, чго з(6)-~! и 8(6)-~! ири )ь(6)-» О лля любой огрзиичеииой функции /(6!), и отсюла следует, что равенство 1= ! является ис только иеобходимым, ио и лостзточиым условием сущссмювзиия интеграла от /(6!). Если /(!»!) вм 1„то суммз о(6) равна илощзди (мере) (и): г)г) »(о = пг(о). »а! Используя укзззииос выше условие иигсгрирусмосы», можио указать некоторые классы и»ысгрирусмых функций: 1. Если /(!»!) непрерывна на зплгынании (о) ограниченного огльрьгтого лгнолсеснгва (о), то она интегрпруеми.
Эго локззывзстся совсриюиио тзк же, кзк и в (1, 116). 2. Е»лп мнолгеспгво (й) точен разрыва огрпнпченной функйли /(7т!) имеет меру нуль, то /(7!!) ингиегрпруема, 1)удсм лля простоты считать, что (й) лежит строго внутри (о). Пусть задано е)0. Из того, что т(й)=О, слелует, ыо (й) можио заключить строго виу»рь множества (Т) тина (а), лсжзщсго виутри (о), ысра которого мсиьии. в, 1!усть 7-грзиицз (Т). Мера 7, очевидио, рзвиз пулю, и мы мо»кем ззкл»очить 7 внутрь миожссп»а (7',) типа(а), лсжащсго внутри (о), площадь которого тзк же, кзк и у (7'), меньше в. 11усть»(! — расстояние ог ! до границы (Т,).
Отметим, что если (о) разбитз иа части, и диаметр каждой из частей мсиьигс»(ь, то сумма илов!злей тех из чзстей, которые имеют общие точки с 7, меньше в Если мы выделим из (о) виутреииюю часть (Т), то иа оставшемся взмкиутом множестве (о,) функция /(л!) рзвиомсрио иеирерывиз, и, следовзтельио, сУщестиУст такое»(з) О, что колсбзииЕ/(М) иа всЯком миожестве, принадлежащем (а,), дизиетр которого мсиьше г(я, меиьше в.
8О1 % з. меРА и теоРия интегРНРОВАиня Применяя рассуждения, аналогичные тем, которые мы применилн в Р, 119), можно показать, что если 1ь(8) меньше Ы1 и аь то ~~ (Мь — гпь)еь~(в+(М вЂ” л1)!а, Ь-1 гда в — мерз (о), з т я М вЂ” точные нижняя и верхняя граните значений у(1ч) иа (е), включая границу. Ввиду произвольности а отсюда слздует, что у(лг) ннтегрируеиа на (е). Как н в !1, !17), можно доказать основные свойства интегрируе.
ныд функций; 1, Если г (>»') ингпегрпруема на (а) п мы изменим значения /(>») на множеслгве (Я) меры куль, сохранян ограниченность функции, то и нован функция пнтегрируелга и величина интеграла при влнгм не изменптсн. 2. Если У(ДГ) пнтегрируемо на (а) и (е) разбита на конечное число квадрпруемых областей илп открытых множеств (еь) (Ьим1, 2, .„, гп), то /(1ч) пнтегрлруема по каждой (аь) и инте.
араЛ по (о) равен сумме интегралов по (ч ). Отметим е1це, что из интегрируемостн по всем (аь) следует и внтегрируемость по (а). Остаются справедливыми и остальные свойства ннтегрируемых функций, указанные в !1, 1!7): вынесение постоянного множителя зз знак интеграла, ннтегрируемость суммы, произ. ведения и частного интегрируемых функций, иитегрируемость абсолютного значения интегрируемой функции и теорема о среднем, Отметим еще, что, поскольку граница! квадрируемой области илн открытого множества имеет меру пуль, значения ограннчешюи функции /(1ч) на ! Ие влияют на величину интеграла. 99.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
