Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Вычисление двойного интеграла. Установин теперь формулу, которая приводит вычисление двойного интеграла к двум квадратурам. Рассмотрим сначала случай прямоугольника ()ч) со сторонами (8) х= Ь, у = с, у= й, х и> вараллельнымн осям, Положим, что у(1ч) =/(х, у) ннтегрируема цо (Й), т. е. существует интеграл $Р(ЬГ)й =5Р(. у)йхй (9) 1Н1 1П1 ьаоложим, кроме того, что при всяком х из промежутка (а, Ь) существует интеграл Е(х)= ~г(х, у)Ыу (а~х а;Ь) (1О) 302 гл. щ. квлтные и квиволиненные интегвллы и повторный интеграл ь (11) Разобьем (Я) па части при помощи промежуточных точек деления а=хо(х1(хь(...(х 1(х Ь, с=Ус<У <Уь«."У <У =А и пусть ()С!ь) — частичный прямоугольник, ограннчеиный прямыми: х=х„х=х,+й у=ум у=ус+в Пусть, далее, лг!ь, Мы — точные нижняя и верхняя гранины значений у(х, у) в замкнутом пряиоуголь. нике (й!«); Ьхс=х,+, — х„буь=уь+! — у„.
Интегрируя неравенство т, ч У(х, у)» М,„[(х, у) из ()т!ь)] по промежутку уьч-'.уа уз+1, получим Уз+1 л!!ьбуь ~ ~ 1(х, у)1у ~ М!ьбуь (х! е-х~хг„!), УЬ причем (у„уь„) есть часть (с, !2), и написанный интеграл существует в силу существования интеграла (1О) [1, 117]. Складывая вти нера. венства, получим е — 1 а е — 1 Е гл бУО ~ г)у«(х, У)Ф» ~ ', М, Ьуь.
ь о с ь»о ИнтегРиРУем по пРомежУткУ (хн х! !)! е «!+1 а е Х лг!ьоУ«ох!~ 1 []У(х У)в!У]Ахая ~ МыЬУьбх„ Ь 1 «! с ь ! написанный интеграл существует в силу существования кнтеграла (11). Суммируем последнее неравенство по й «-1е — ! ь а О-1е-1 лг!ьбуьбх! ~~ [1«с(х, у)Ыу~ в!х»,', ~ ~ М!ьбуьбх!. оь-о О С ! ос-о )') у(х, у)в!хиу=') [)/(х, у)!ту]!1х, !Ю О 4 (12) ПРинимаЯ во внимание, что пРоизведение ЬУьбх! выРах!ает площадь (й!«), можеи УзвеРждать, что кРайние члены неРавенства пРи беспРеделыюм камель~!опии прямоугольников стремятся к интегралу (9), что и приводит к требуемой формуле: ь а зоз 5 а, меРА и теОРия интеГРиРОВлиия прост(ле интегралы Ч» РЛ Р(х) ~ ~(х, у)()у (14) э» (») и повторный интеграл а аГР»(г) $Р(х)<(х =~~ $ /(х, у)((у1<(х. (18) а » е» (») Рис.
79. Пусть (й) — прямоугольник, образованный прямыми (8), причем мы выбираем с и (( так, чтобы при всех х из (а, Ь) мы имели с<(р)(х), а <()(ра(х), т. е. (О) составляет часть (й). Определаем в (й) функнию Д(())()=у((х, у), которая равна у(Ф) в точках области (о) и равна нулю в тех точках(й), которые ие принадлежат(о).
Кривые у=(р)(х) н у *<р,(х) разбивают (й) иа три части: (о) и области (1) и (П), лежащие иод и пад (о) (рис. 79). Фупкпия у)(()() иитегрируема по (о), так как там оиа совпадает с ДИ) и иитегрируема по (!) и (П), так как во внутренних точках этих областей опа равна пулю. Следовательно, ~)(()() иптегрируема по (й), [98) и ЦЛ(М) (о- ЦУ(Ь() а . (16) (Й) (е) (о»п(о так же существуют при всяком х из промежутка (а, Ь) инте- грал л э» из Г(х)=)У)(х, у)<(у $ Дх, у)()у » ч» (») интеграл (15).
Следовательно, к фушщии у)())() применима (17) т, е. если существуют двойной интеграл (9) и повторны(7 интеграл (11), то имеет место формула (12), т. е. вти интегралы равны. Заметим, что существование интеграла (11) предполагает существование интеграла (10), Если У(Х)-непрерывная фуикпия в замкнутом прямоугольнике (й), то интегралы (9) и (10), очевидно, суп(ествуют. Прн этом, как мы видели 188), формула (1О) дает непрерывную фуикпию от х и, следовательно, интеграл(11) также существует. Рассмотрим теперь область (о), ограниченную двумя кривыми у = (ра(х) н у= <р,(х) и прямыми х=а и х Ь (рис.
79). Положим, что существует двойной интеграл )),((((()с(о '))у (х, у)((х ()у, (13) (е) (а) 304 гл. и!. кРАтные и кРНВолинепные интегэллы !1 аз 41ормула (12) и, в силу (16) и (17), эта формула дает формулу пряве- дения двоиного интеграла по (а) к повторному: Гл1»1 Ц у(х, у)(х(у=$[ $ /(х, у)(у~ЫХ. 1л1 л Г,!»1 (18) При этом выводе мы предполагали существование интегралов (13), (!4) и (15). Если /(х, у) непрерывна в замкнутой области (л), то, как и выше, интегралы (13) и (!4) существуют. Кроме того, в силу [83], формула (!4) определяет непрерывную функцию от х, и следовательно, интеграл (!5) также существует.
Совершенно аналогично можно доказать и формулу приведения трехкратного и1иегралз к повторному интегралу, содержащему три квадратуры [81]. 100. л-кратные интегралы. Все сказанное в [96[ и [97[ переносится непосредственно на случай и-мерного пространства и приводит к понятию интеграла от ограниченноп функции по ограниченнон измеримой и-мерной области, к указанному выше условию интегрируемости и к обычным свопствам интегралов. Точно так же, аналогично [99[, имеет место фориула приведения и-кратного интеграла к повторному, содержащему и квадратур.
Формулу эту можно дока- вать путем индукции, изменяя и на единицу. Пределы в кратном интеграле вычисляются из тек неравенств, которыми определяется область интегрирования. Пусть г(гт)=У(хи хи ..., хл) — непрерывная функция в замкнутой квадрируемой области (Рл) и-мерного пространства, внутренние точки которой определяются условиями: точки (ХЬ Ха, ..., Хл 1) СУТЬ ВНУТРЕННИЕ ТОЧКИ НЕКОтОРОД ИЗМЕРИМОЯ области Я„ 1 из (и — 1)-мерного пространства и хл удовлетворяет неравенствам 'г1(ХР Хэ ...
р Хл-1) ~ Хл ( та (Х1' Ха..., ~ Хл-1) где у1 (хи хэ ..., хл,) и <рл(х„ха, ..., хл,) — непрерывные функции в (сл 1. При этом л-кратный интеграл выразится квадратурой по х„и (и — 1)-кратным интегралом по (Цл 1): ~~...')/(Х„Х1, ..., Хл)В1Х1 ... 1(Х» 11 »1 Тл 1»1,..., »л 11 =35...)[' 3 й Р.....)(х.[(,...
(.-, (9) 1О» — 11 Г 1»," . (20) Обобщением прямоугольника плоскости со сторонами, параллельными осям, является приаматоид (гс„) и-мерного пространства, определяемый неравенствами: аг~хг - 01, па~ха~ив .„, а„~х ~Ь,„ 305 Э Я, МЕР* И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ гь$1 Интегрирование по этому прнэматоиду приводится к повторному интегралу, все пределы которого постоянны: ) ')...
) /(хгл ..., хл) дх, ... Ых„= гпл ~ ь, ьл ~ ьл =~ дх,... ~ г(х„, )г/(хн ..., х,)Ых„, лл лл можно менять произвольно порядок интегрирования, оставляя по каждой переменной прежние пределы. Для читателя, знзкомого с понятием определители, укажем и формулу замены переменных в и-кралгном гтглеграле. Положим, что ВМЕСТО ПЕРЕМЕННЫХ (ХР Х, ..., Хл) ВВОДЯТСЯ НОВЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ (х,', х,', ..., х„'), и пусть х,= р,(х'„хь, ..., х„') (1=1, 2, ..., и) (21) формулы, выражающие старые переменные через новые. Введем в рассмотрение так называемый 4ункцггональлый определитель системы функций (21): дт, дт, дт, Г', 3:г,' "' д.г„' дт, дт, дт.
д»,' дх,' ''' дх„' (22) д л дте дул Р; —;" —; х,' дх„' ' ' ' дх„' формула замены переменных имеет вид ) 1... ~ / ах,... Ых„= ~ ~... 1/ ~ Р ~ эгх,' ... ~К«„', (23) Гел~ ~Рл3 где неравенства, определяющие новую область интегрирования (Р„'), получаются из неравенств. определяющих (Рл), если там ааменить х, ик выражениями (21). Условия применимости формулы (23) те же, которые были указаны для двойного интеграла в (80). Несобственные н.кратные интегралы определяются так же, как и несобственные ,двойные и тройные интегралы 189). Перейдем теперь к примерам.
101. Примеры. 1. Тетраэдр и-мерного пространства, ограниченный гипьрпаоскостямя: Х, О, х О, .„«л О, «г+ха+" +«л а (а>О)э определяется неравенствами: х,)О, «ь~о, ..., «л)О, «,+.г,+.„+хл(а. (24) зое гл, нк крлтные и кпиволиненные интегралы (зш При л —.=3 получается обычныА тетраэдр, ограниченный координатными пло снастями н плоскостью «+у+«а. Введем новые переменные, положив а («э+ "+«л) х =х1+«з+...+«, х х, +«э+...
+«л' а (хэ+ ° .. + хл) а«л «(= «л =— хэ+...+хл ' "' хл,+хл ' откуда следует х,+...+хл х,'. а(хт+...+«л) х,'«,', Старые псрсмснныс выражаются через новые по формулам: х,' (а — х~) х',«„'(а — «,') х,= ' а дэ х,'«' ... х„', (а — х„') «,'х' ... «„' «л-1 л-т э «л л-т ° дл-т э алт Иэ этих формул непосредственно вытекает, что тстраэдр (24) можно эвмеинть и-мерным кубом: 0 < х', <а, 0<«' <а, ..., 0 <х„'<а. (25) 2. Определим меру (объем) и-мерного шара с центром в начале и радиусом г, определяемого неравенством «л+х'+...+х'~ ге. (2б) Если совершить преобразование подобия с коэффициентом подобия А, то объем всякого куба умножится на дл, а радиус г умножится на А.
Отсюда непосредственно следует, что искомая мера ол, являющаяся функциеА одного г, должна иметь вид ол-слгл, (27) +г ол Слгл Сл т ) (г —, ') дхн 3 — г или. совершая подстановку хт=гсоз~р, получим следующую связь нежду Сл и Сл и и 2 Сл Сл 1~э!ил пер 2Сл-11 з)ил мер б (28) глс Сл †численн постоянная, различная для различных и. Если пересечь шар (26) плоскостью постоянного х,, то, как это видно иэ формулы (26), получится (л — 1)-мерный шар, квадрат радиуса которого равен (гэ-«',). л — ! В силу (27), мера этого шара будет Сл,(гэ — х',) х .
Часть л-мерного шара, заключенная между плоскостями «, и (х,+Их,), будет иметь мсру л — ! Сл, (гэ — х",) з дхн откуда вытекает следующее выражение для о„: а а, мевл и теояия интегеиеовлния где, как известно (1, 100), я (л — 1)(л — 3) ... 1 л Мп" т !(т =* — '" — при четном л, ь л(л — 2) ...2 2 (л — 1)(л — 3) ... 2 а!п" т !Гт = 2 3 при нс" стив" " л(л — 2) ... 3 Вамгняя в (28) л иа (л — !), получим ! Сл-1 ~ 2С -в '! а!ил ' т !Гу. а 302 Из написанных равенств вытекает при любом целом ш С„=С„,'-". (29) 4 По, как известно, С, = я и С, = . я. Применяя 0ормуау (29), получим отсюда Сл= при четном л, (2л) л(л — ) ...2 л+! л — ! 2 а и С„= .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
