Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 62
Текст из файла (страница 62)
((оказываем достаточность. Если 8(Ь„) — ь(Ь„) — О, то из (43) следует, что 1=!. Показываем необходямость. Пусть (=!. По определению 1 н 1, сутцсствуют такие носледовательности подразделений Ь„' и Ь что ь (Ь„') — 1(з(Ь„') ~!) и 8(Ь„) — !(8(Ь„') ~ !), Для последовательности нолраэделений Ь,=Ь„'Ь„", тем более з(Ь„) ( н 8(Ь„) !. Но 1=! и, следовательно, 8(Ь„) — е(Ь,) О.
Показанная теорема дает необходимое н достаточное условие инте. грирусмости ! (х). Отметим, что в подразделениях Ь„ частичные мно. жсстяа не должны обязательно измельчаться, т. е. наибольший иэ их диаметров не должен обязательно стремиться к нулю. Если сущеслвует последовательность подрвзделений Ь для кото- рой 8(Ь„) — е(Ь„) О, то е(Ь„) ( (! = !), 8(Ь„) (, и из (44) сле- дуег, что и а(Ь„) — ( при любом выборе точек х» иэ Е».
Если $, суть лродолженне Ь„, то все сказанное выше имеет место и для $„. Мы укзжем сейчас такую носледовательность подразделений Ь что для любой ограниченной измеримой функции, определенной на мно- жестве Е конечной меры, 8(Ь„) — е(Ь„) — О, откуда будет следовать ннтегрируемость такой функции. Пусть т и М вЂ” точные нижняя н верхняя границы значений !'(х) на Е, Разобьем пронежуток (т, М) У»СУл(у»С "(У» лСул=м (45) и определим следуюшим образом разбиение Ь множества Е на частич* и!ле множества: Ел=Е(у»~У(х)и у!), Е» — — Е!У» л(/(х)а~у»] (46) (й=2, 3, ..., я).
Отсюда следует, что у» !я-т» и у») бди, и, таким образом, н л ~Ч~~ у» лт(Е») ~ з(Ь) и;8(Ь) ч- ~ у»т(Е») » ! »-! и тем более (47) ~Ч~~ у»,т(Е»)н !~у~ ~', У»т(Е»). »-! »-! (43) Образуем разность между крайними членами этого неравенства: ~ у»т(Е») — ~ у»,т(Е») = ~ (у» — у»,) т (Е»). »-! й ! » ! Пусть р(Ь) — наибольшая яэ рааностей у» — у», (я= л, 2, ..., и). Имеем в силу того, что сумма лн(Е») равна ил(Е), » в О~ ~Ч ', у»т(Е») — ~ у»,в(Е») ~р(3)т(Е). й ! » ! Ясли мы возьмем такую последовательность подрззлелений 3»» для которых соответствуюшая велячина р(3„)- О при н оо, то разность между крайними членами неравенства (48) стремится к нулю, в, следовательно, ! =7, т. е.
7(х) ннтегрируема. Отметим, что условие р(Ь„) — О при и — оо сводится к беспредельному нзмельчению разбиениа промежутка (нл, М) изменения функпии У(х). Подрааделенне (46) множества Е называется обычно подразделением Лебега, з обе суммы, входяшие в неравенство (47), соответствуюшими суммами Лебега. Иа сказанного выше следует О с н о в н а я т е о р е м а. Всякая ограниченная, измеримая на измеримом множестве Е конечной меры функция 1(х) инвегрируема ио Е, и величина интеграла равна пределу сумм Лебега ила сумм а(Ь„) лри любом выборе х» для лодразделений Лебега нри беспредельном измельчении лромеясутка (т, л(4) изменения функции. Суммы е(Ь„) будут янеть, как мы упоминали выше, тот же пре. дел и для любых продолжений Ь„ подразделений Ь„, о которых говорилось в теореме. 322 гл. и!.
калтныя и кэиволииепные интвгаллы наа на части 323 в з. мнил н теовня интеггнговлння Пусть ограниченная функкия /(х) определена, например, на конечном замкнутом промежутке»х(а(х~й; см,,у~»1). Как показал Лебег, для су»цествоваиия интеграла Римана отг"(х) по Л необходимо и достаточно, чтобы лебегова мера точек разрыва У(х) имела меру нуль. Из этого результата легко следует, что при атом /(х) измерима на б и ее интеграл Лебега по Ь совпадает с интегралом Римана. (60) (62) у (х) Их ) $ Уз (х)»(х.
(63) 11» 107. Свойства интеграла Лебегв. Поскольку интеграл Лебега может быть определен как предел сумм а(6„) для подразделений Лебега при Р(6,)-» О, или для нх продолжений 6„, он имеет свойства, аналогичные свойствам интеграла Римана. Мы отметим и еще некоторые важные дополнительные свойства, которых пе было у интеграла Римана. В этом номере мы считаем везде, что у(х) и ~а(х)-изме. римме ограииченпые фупкнии и Š— множество конечной меры. 1. Если С вЂ” постоянная, то С»(х =Ст(Е). 1(ля любого подразделения 6 суммы з(6) и Ю(6) имеют значение Ст(Е), откуда и следует (49).
2. ~ [у» (х)+уз(х)[»тх ~ у» (х)»тх+ ~ Дз(х)»тх Пусть б„и 6„' — последовательность подразделений, при которых а(6„) для /,(х) и о(6;) для уз(х) имеют пределом соответствующие интегралы. Для 6;, ° 6,6„' суммы о(6„") как для у',(х), так и для уз(х) имеют пределом соответствующие интегралы, и (60) получается на основе теоремы о пределе суммы. 3. »» »»» ~ Саул(х)г(х ~ Са~Дь(х)»»х. (61) л-1 Ф ! Применяем несколько раз формулу (50), а вынесение постоянного множителя за знак интеграла следует иэ возможности вынесения его ва знак сумм о(6„) 4 Если /(х))0 на Е, то ~ у (х) Фх ~ О. Все сумин о(6„) неотринательны. 6, Еслл /' (х))/ (х) на Е, то 594 ГЛ.
ПЬ КРАТНЫЕ И КРИВОЛННЕИНЫР ИНТЕГРАЛЫ 11Ф Лостаточно применить 4 к разности Л(х) — У;(х) и воспользоваться 3. 6. !')7(х)йх ~~ ~ (у(х) ! ах. (54) ат (Е) ~ ~/(х) йх == дт (Е), (55) Непосредственно следует из б и 1. 8. Если )~(х)(щ:-1., то У(х) йх 1 а= Ет (ЕЛ )!еравенство ! Г (х) ! К:. Е равносильно: — 1. (Г(х) а= Е и (59) является следствием 7. 9. Если Е =Е'+Е, где Е' и Е' измеримы и без общих точек, то ~/(х) бх = ') /(х) бх + ~ у'(х) бх, (57) Достаточно взять последовательности подразделений для Г и Е' составить для ник суммы а(д„), сложить их и перейти к пределу.
1О. Пупн» У(х) — ограниченная функция, определенная на мноисеслгее Е конечной меры. При атом для любого заданного а >О существует такое т! РО, что ~ ') у (х) йх ~ ~ а, если е( 'Е и т(е) к',ть Это свойство следует яз неравенства ~ ~у(х) йх ~ ~ Егн (е). » Оно называется абсолютной нелрерыеност»ю интеграла. 11. Если Е разбито на конечное или счетное число измеримых множеств Е» (иоларно, без общих точек), то 5У(х) йх= Х 5 У(х) йх.
л » г„ В случае конечного числа слагаемых формула следует из 9. В случае бесконечного числа Е» положим: Е=Е~+Ея+...+Е»+Я„, где (59) Для доказательства достаточно взять произведение подразделении для г (х) и !у(х) ! и написать аналогичное неравенство для сумм а(Ь„). 7. Если ам У(х)(Ь, то ° з.
меев и теоаии иитегзивования (б!Ц ) У> (х) йх = 1 Уз (х) йх = О, у> (х) йх = ') /з (х) ах, ь" сложение которых н дзет (60). 14. Если 1(х)~0 на Е и ~ г" (х) йх = О, в то /(х) знаппалгнтна кулю. Иапо докзззттч чго мерз множества Е(у ь 0~ разия нулю. Это мнткес<по можно прсдстзвить з виде ЕУ>О~= ') Е[У= —,',1, ч > и если его мерз Г>ыла бы положительной, то положительной должна быть мерз ио крайней ысре одного из слагаемых правой исги.11ус>гч (61) тО(„) О при л — оо. Имеем л )у(х)ах ~, '1У(х)ах+ [ у(х)ах, и ь-ге, причем последнее слагаемое по абсолютной величине и.бт(Я„) и стремится к нулю при и оо, откуда и следует ° > $ У(х) йх = 'Я 1 /(х) йх. и ь >Й доказанное свойство называется полной аддатпвностью гттеграла.
12. Еслн Š— множество мери нуль, пг. е, т(Е)=0, то дли любой ограниченной на Е фуннцигг у(х)йх=О. Функция К(х) измерима на Е и для любого подразделения суммы в(з) и 8(д) рата нулю, 13. Если У>(х) и гз(х) эквивалентны на Е, то ~ /> (х) йх = ) /, (х) йх. (СО) в и Пусть Е' та часть Е, где г>(х) ~г;(х). По условию, пг(Е)=0 и иа множестве Е =Š— Е фуикиии У>(х) и 1,(х) совпада>от. Имеем равенства 326 гл. нь килтные и кинполинеиные интегиллы 1мл например, положительная мера Е=Е[/» — ].
Обозначая Е =Š— Е', имеем 5 Г(х) ь(х = $ Г(х) ах -[- ) Г (х) ах Предельная функиия Г(х) почти везде на Е удовлетворяет неравен- ству [1(х)[а-Г, Переходя к вквнваленгной функцнн, можем считать, что оно выполнено везде на Е. Нам надо доказать, что йт ~ [У(х) — /„(х)[ ах=О. л сои Из свойства 6 следует ) $ [у(х) — у, (х)[ йх ~ ч- 5 [у(х) — У„(х) [ Фх. и и ПУсть задано в ) О, и пУсть Е„= Е [ [/ — /ь [» ь[. В силУ теоРемы нз [104[ т(Е„) 0 при п оо, а в точках Š— Е„выполняется не- равенство [у' — уь [к"ь.
Кроме того, в любой точке Е [У(х) — /ь (х) [ ~ [г (х) [+ [/ь (х) [ ~ 21 (65) Иэ формулы ~ [/(х) — /„(х)[йх = ~ [г(х) — г„(х)[йх+ и «ь + 5 [У'() — Г.()[й п-п, (64) следует ~ [ /(х) — / (х) [ йх е „2йт (Е„) + ьт (Š— Е„) п тем более $[у(х)-/„(х) [йх ~ 2(т(Ел)+ ьт(Е). Первое слагаемое правой части» вЂ” «ь(Е')) О, а второе, в 'силу 1 "ь Г(х) » О, неотрииательно, откуда следует, что левая чзсть положительна, что противоречит (61).
1б, Пусть ~„(х) (п = 1, 2,, „) — оесконечнап последовательность функций, определенных на Е и равномерно по отноаснию к значку п ограниченных, т. е, [/„(х)[~ Г., где Š— положильельное число (Е не зависит от и) и 1„(х) Г(х) почти везде на п. При атом 11 ьп ~ У„(х) Фх = ~ У(х) ь(х. (62) В Оэл и 327 аз, меэл и теовня ннтагэнэовлння откуда„ввиду произвольности в) О и (64), следует (63).
)(оказанное шюйстзо дает иозножность переходить к пределу под эиакои интеграла при едннственнои предположении ограниченности ~,(х) по абсолютной величине независино от анака. Отметим, что достаточно предположить, что неравенство ]У„(х)[ ~ (. имеет место лишь почти везде на Е. )08, Интегралы от неограниченных функций. Мы определили интеграл от ограниченной функции по множеству Е конечно» меры. Положэи теперь, что /(х) — неограниченная неотрицательная изиериная фушгция на множестве Е конечной меры. Определим чурезанную (дункии юге ( г(х), если Дх)н т, [/(х)] [ [ т, если у(х)) т (66) (т)0), т. е. значения у(х), не большие т, сохраняются, а значения, больпше т, заненяются на т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
