Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Ио если, например, измерииые функпии / и и могут принимать конечные значения и значение (+ со), то сумма /+6 имеет всегда смысл и свойство измернмости ее сохраняется. З[В гл, пс калтныв н кэнволннапныв ннтагяллы [[аа Большое принципиальное значение имеет следующая теорема, котбрую мы приводим без доказательства [Ч, 44]: Т е о р е м а 8. Если У„(х) (и = 1, 2, ...) — бесконечная последовательность измеримых на Е функций, сходящихся везде плп почти везде на Е, то и предельная функция г(х) измерима на Е. Эта теорема показывает, что предельный переход в классе измеримых функций не выводит нз этого класса.
Совершенно иную картину имели мы для класса непрерывных функций. Предельный переход для последовательности непрерывных функций может приводить к разрывным функциям [1, 144~ даже при наличии пределз везде. Если ~'„(х) У(х) почти везде на Е, то на множестве меры нуль, где нет сходимостн, функция /(х) доопределяется любым образом, например нулем. При различном доопределении получаются эквива. лентпые функции. Приведем еп[е результат, касзюшнйся предельного перехода, который будет нам нужен в дальнейшем [Ч, 44).
Т е о р е м а 9. 11усть Š— измеримое множество конечной меры и г"„(х) — последовательность измеримых на Е функций, которые принимаюпь почти везде на Е конечные значения и сходя[лен почти везде на Е' к функции /(х), также принимающей почти везде на Е конечные значения.
При ятом для любого заданного ь)0 мера множества точек х, в которых выполнено неравенство [/(х) — /„(х)[)ь, стремится к нулю прп н со. 10б. Дополнительные сведения. Прежде чем переходить к понятию интеграла Лебега, приведем некоторые примеры я дополнительные теоремы. Пусть у(х) и я(х) — эквивалентные функции, непрерывные на некотором замкнутом квадрате или прямоугольнике Ь. Покажем, что их значения совпадают во всех точках Ь. Действительно, если в некоторой точке х, имеем, например, у(х ) — й(хь)) О, то, в силу непрерывности функций, это неравенство сохранится н в некоторой а-окрестности х .
Мера этой окрестности больше нуля, а вто противоречит прсдположенной эквивалентности функций. Таким образом, понятие эквивалентности функций не имеет смысла в классе непрерывных на Ь функций. Всякав непрерывная на Ь функция /(х) строго индивидуальна. Если две непрерывные функции Г(х) и и(х) отличаются в одной точке х, то они отличаются, как мы видели, и на множестве положительной меры из Ь. Совсем иное мы имеем в классе измеримых функций /(х). Изменяя произвольным образом знзчения /(х) на множестве меры нуль, мы приходим к функции, эквивалентной /(х). Легко видеть, что если г(х) эквивалентна й(х) и я(х) эквивалентна Ь (х), то г(х) вквивалентна й (х), и в классе измеримых на некотором множестве Е функций функции распределяюгся на группы эквиваленгных функций, причем в каждой такой ° Ь.
МЕРЛ И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 319 группе содержится бесчисленное множество функций таких, что значения каждых двух из них отличаются на множестве точек из Е, имеющем меру нуль. Во многих вопросах теории Лебега целесообразно отождествлять все функции одной группы. Отметим еще один дгакт. Если У(х) — функция, непрерывная на некотором замкнутом множестве Е, имеюнгем изолированные точки [91), то, меняя значение у(х) в изолированной точке, мы, не нарушая непрерывностиу(х), получаем функцию, эквивалентную /(х). Укажем примеры измеримых фупкцнгь Положим, что у (х) непрерывна на Ь.
Нетрудно показать, что множество а [угм а) при любом а замкнуто, откуда следует измеримость у(х). Можно показать, что если у(х) принимает на Ь конечные значения и множество точек разрыва ее непрерывности имеет меру нуль, то У(х) измерима на Ь. Но вто условие иэмеримости является только достаточным. Ладим пример функции у(х) одной переменной, определенной на промежутке Ь (О ~ х м 1) и измеримой на нем, причем каждая тонка х иэ Ь есть точка разрыва непрер~лвпостя У(х). Определим у(х) иа Ь вЂ” следующим образом: г(х)=0, если х— рациональное число, и г(х)= 1, если х — иррациональное число. Счетное множество рациональных точек имеет меру нуль [93), а потому множество иррациональных точек иэ Ь имеет меру — единица. Отсюда легко следует, что у(х) — измеримая функция.
Она эквивалентна функции, тождественно равной единице. Но нетрудно видеть, что всякая точка х, из Ь есть точка разрыва непрерывности. Действительно, в любой а-окрестности х= х, находятся как рационалю ные, так и нррациональные значения х, т. е. в любой а-окрестности х, функция /(х) принимает как значение О, так и значение 1, откуда следует, что всякая точка х, иэ Ь есть точка разрыва непрерывности, Приведем результат Н. )1. Лузяна (1913), вскрывающий связь между измеримыми и непрерывными функциями.
Теорема. Пусть /(х) определена ка измеримом множестве Е конечной меры и принимает почти везде на Е конечные значения. При этом для измеримогти у(х) необходимо и достаточно следующее: лри любом заданном а)0 существует такое замкнутое множегтао Е, принадлежащее Е, что т(Š— Е)(а и Г(х) неглрерыена иа Е.
Отмегпггм, что т(Š— Р) =т(Е) — т(Р), а силу Ес: 13 СФормулируем еще результат )А. Ф. Егорова (1911), устанавливающий связь лежду сходимостью измеримых функций и их равномерной сходимостью. Теорема. Пусть Г„(х) — поеледоэательносгнь фуикйггй, принимающих на измеримом множестве Е конечной меры почти везде конечные значения и сходящаяся почти везде на Ек функпгт г(х), также принггмаюгией на е почти везде конечные значения.
При этом для любого заданного ь существует глакое лалгкпуглое мпожесл>во Р, принадлежа>нее Е, что т(Е-Г~~а и сходимос>пь /„(х)-Р/(х) на с' равномерная. 106, Интеграл Лебегп. Перехпдим к определению интеграла Лебега. Пусть па измеримом множестве конечной меры Е задана огра. ничснная измеримая функция. Из ограниченности /(х) следует сушсстзозание такого числа Е > О, что [у(х)[о.- Е при х ее Е.
Разбппаем Е на >гонсчнос число измеримых подмпожестз попарно без общих точек.' Е ~~~ Еа, (30) а-! и пусть та и ̄— точная нижняя и зерхпяя границы знзчений на Е„. Состаялясм суммы [ср. 96[ о о з(б)= ~; тат(ЕА), 8(б)= Ц Мат(ЕА), (40) Ф ! а ! где б обозначает подразделение (30), Этн суммы, очевидно, ограничешл при любых подразделениях: [а(б)[я Ет(Е) и [8[(б)[н Ет(Е>). Пусть ! — точная зерхпяя граница а(б) и / — точная нижняя граница 8(б) при ясеаоз>южных б. Определение. Если 1=0 то говорят, что у(х) пнтегрируема по Е, и вела>ниу пня>сграла счлта>от равной! Л $ /(х) >(х = ! = Е Определенный таким образом интеграл назызается интегралом Лебега. Отметим аид у'(х) ~х подынтсгрального ныражепия и тот факт, что мы пишем один знак интеграла яо всех случаях: прямой, плоскости, и-мерного пространства. В дальнейшем мы будем придержиззться этик оГ>ознзчений.
Только я [110[, при изложении запроса о приведении кратного интеграла к последозатсльным квадратурам, мы будем записызать подынтсгральпос зыражснпе з более подробной форне и знак интеграла при кратном интсгрироизпип Г>удем писать несколько раз. Так, например, для интеграла пз плоскости можно писа>ь (41) ~~/(х>, ха)г>х>с>х! или ~~/(х, у)»х>(у.
Введем понятие произзсдспия подрвзделений [ср. 1, 116 — 1Щ. Поло. жим, что наряду с подразделением (39) мы имеем другое подразделение б': о Е (40) ! 1 зю ГЛ. Н!. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [>аа 321 аз. гяеил и тговия иитйгвивовлния Произведением иодразделений (41) и (42) называется нодразделенне й', состоящее иа всевоаножных частичных множеств Е»Е~. Этн последние не имеют попарно общих точек, но могут быть и пустыми.
Подразделение Е= ~~ я' г ! называем лродолясением нодразделення (39), если каждое Ею' нринадлежнт только одному иэ Е». Прн нереходе от некоторого подразделения Ь к его продолжению сумма е(Ь) не убывает и 8(Ь) не возрастает. Если Ь, и Ь, — два каких.либо подразделения, то з(Ь,)а 8(Ь„). откуда з(Ь,)ч ( !ч 8(Ь») и, в частности (1, 11Ц з(Ь) а" (~! ч,-,8(Ь). (43) 1(роче сумм (40), составим сумму а (Ь) = ~Ч ', ((х») т (Е ), » ! где х» СЕ». Имеем, очевидно, з(Ь) < (Ь) ~8(Ь). (44) Теорема. Для рааенстеа 1=! необходимо и достаточно, чтг бн гутествоеала такая последоеательнопль лодразделений Ь„, для которой 8(Ь„) — з(Ь„) — О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
