Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 65
Текст из файла (страница 65)
В настоящее время имеется большое число специальных курсов векторного анализа, и мы, не вдаваясь в подробности, выясним лишь основвше понятия н факты, непосредственно связанные с предшествующим материалом и необходимые нам для изложения основ математической физики. При рассмотрении физических явлений мы встречаемся с велнчияани двух родов — скалярными н векторнымн. Скалярной аеличпной или просто скаллром называется величина, которая кри определенном выборе единицы меры вполне характери.
вуется числом, ее измеряющим. Так например, если в пространстве имеется нагретое тело, то температура в каждой точке этого тела характеризуется определеннми числом, н иы можем сказать поэтому, что температура есть велнчима скалярная. Плотность, энергия, потенциал представляют собою также скалярные величины. В качестве примера векторной величины рассмотрим скорость. Чтобы вполне охарактеризовать скорость, недостаточно знать число, нвиеряющее величину скорости, но необходимо указать и ее напра- в"ение. Мы можем охарактеризовать скорость, строя вектор — отревок имеющий в данном масштабе длину, Равную величине скорости и направление, совпадающее с направлением скорости. Таким об~~вон аемшор вполне определяется своей длиной н направлением.
ла ускорение, импульс представляют собой также векторные величины. Вернемся к примеру нагретого тела. Температура и в каждой этого тела характеризуется определенным числом или, как гово я прост а орят есть функция точки в пространстве, занятом телом. Относя странство к системе прямоугольных координат ХУЛ, мы можем З40 Гл. 17. эектОРиып яиализ и теОРия пОля 1иа сказать, что скадар и есть функция независимых переменных (к,у, г) определенная в той области пространства, которая ванята нагретым телом. Здесь мы имеем пример так называемого поля скалярной величины, или скалярного поля. Если же в каждой точке некоторой Области определен вектор, то мы имеем векторное поле. Таков пример электромагнитного поля, я каждой точке которого имеется определенная электрическая н магнитная сила. В некоторых случаях бывает важно знать точку приложения вектора, т. е.
ту точку пространства, с которой совпадает начало вектора. В атом случае мы имеем дело со связанными векторами. Однако в дальнейшем иы будем иметь дело преимущественно со свободными векторами, т. е. Такими, для которых точка приложения может лежать где угодно. Поэтому мы будем считать равными два вектора, если онн равны по величине (длине) и имеют одинаковое направление. Векторы в дальнейшем мы будем обозначать полужирным шрифтом й ь" Ф м А, В,..., нх величины (длнны) — со,,э ответстиенно символами 1А й ~ В ),..., „.Ь й скаляры же — обычными буквами лая тинского алфавита. Пусть имеются несколько векторов А, В, С.
Из некоторой точки О построим вектор А, из его конца построим вектор В, из конца этого вектора — вектор С. Вектор 5, который имеет начало в начале первого вектора, а конец в конце последнего вектора, называется суммой данных вектороа: В=А+В+С. Сумма векторов обладает основными свойствами обыкновенной суммы, а именно — свойствами переместительным и сочетательным, выражающимися формулами (рис.
80) А+В=В+А, А+ (В+С)=(А+В)+С. Если из конца вектора А построим вектор С, по величине рав. иый, а по направлению протнвоположныи вектору В, то вектор М имеющий начало в начале вектора А, а конец в конце вектора С~ называется разностью еекторое А и В (рис. 81) М= А — В. Нетрудно видеть, что втот вектор вполне определяется соотно шепнем В+М=А.
а м. основы ввктовноп ллгеввы рбоаначим, вообще, чеРез ( — й) вектор, по величине равныа, по направлению противоположный вектору Й. Тогда разность , ~р * В РС~ сумму А н ( — В), т, е. А+( — В) = А — В. Р Н РУ~ ° " И Ф ч ° ° т а ° в / векторов подчиняются тем же правилам, что и обыкновенные алгебракческне сумма Ф и разность, на чем мы останавливаться не Ф Ф будем. Правило сложения векторов имеет Рис.
6!. много пряложений в механике и физике. Вели, например, точка участвует в нескольких движениях„ то ее окон. нательная скорость получается по правилу сложения из тех скоростей, которые она имеет в отдельных движениях. По тому же правилу получается равнодепствуюшая нескольких сил. действующих на одну в ту же точку. Заметим, что если при сложении конек последнего слзгаемого вектора совпадает с началом первого, т.
е. если построенная по ука- вамному выше правилу ломаная линия будет аамкнутон, то говорят, что сумма рассматриваемых векторов равна нулю А+ В + С =О. В частности, очевидно, что А+( — А)=О. Вообще, вектор называется равным нулю, если его величина Равна нулю. В етом случае о его направлении говорить не прихо. дятся, 1!8. Умножение вектора на скаляр. Компланариасть векторов. Веля имеем вектор А н вещестьенное число а, то произведением аА Или Аа называется вектор, по величине равиыи ~а1 ° ~А~, а по на- правлению совпадаюшни с А, если а >О, или противоположныа А„ если и'С О. В случае а=О произведение аА также равно нулю.
Таким образом, если А н  — даа вектора, имеющих одинаковые вли "" противоположные направления, то между ними существует соот- ношение В=лА, кото второе можно написать в более симметричном виде иА+ дВ=О, положив и а' 842 ГЛ. РА ВЕКТОРНЫН АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ пи Наоборот, наличие написанного соотношения укааывает на то, что векторы А и В имеют одинаковые илн противоположные направления, Пусть теперь даны два каких-нибудь вектора А н В, направив. ния которых не совладают и не противоположны.
Через произволь* лую точку О (рис. 82) проведем две прямые, параллельные данным векторам. Они определят плоскость, параллельную не только век. торам А и В, но в всем векторам инда тА и ЛВ при произвольных значениях чисел т н н, а в силу правила сложения — также и их сумме С=тА+ЛВ, Обратно, всякий вектор С, параллельный построенной плоскости, ножно представить в виде тА + лВ. Для того, Рис.
82, чтобы убедиться в атом, достаточно отложить этот вектор от точки О н пред. ставить его, как диагональ параллелограмма, стороны которого параллельны А н В. Написанное выше соотношение можно переписать в более симметричном виде аА+ ЬВ+ сС= О, 114. Разложение вектора по трем некомнланариым вектораы.
Предположим теперь, что имеются три некомпланарных вектора А, В и С. Всякий вектор можно представить как диагональ параллеле- пипеда, три ребра которого параллельны векторам А, В и С. Таким обравом всякий вектор может быть выражен через три лекомпланарных вектора в виде (рис. 83у / 0=тА+ЛВ+рС. О 1 Отсюда следует, что между всякимя 1 О ! четырьмя векторами существует соотношение вида аА+ ФВ+ сС+ 00= О.
Если три первых вектора комллаиарны, то надо считать лишь Н=О. Особенно важный частный случай предыдущего рравнла равло. жения вектора по трем векторам мы имеем тогда, когда пространство д Рис. 83. и оно выражает условие комиланлрности трех яентороя, т. е. того обстоятельства, что втн три вектора параллельны одной и той же плоскости. Если А и В имеют одинаковые или противоположные направления, то векторы А н В компланарны с любым вектором С, и а предыдущем соотношении надо считать с =О.
в 1а, основьг вяктоэнон ллгввэы отнесено к прямоугольной системе координат ХУЕ, векторы же Л, В, С по длине равны единице (такие векторы мы будем нааывать вообще едипичпыми) и имеют направление осей ОХ, ОУ, 02. В этом случае они назмиаются основпылт векторами нли ортами и обозначаются буквами 1, ), )г. Всякий вектор А можно представить в виде А = т! + п) + р)ь (1) Если отложить вектор А от начала координат, то числа т, и, р дадут координаты его конца и выразят проекции вектора А на координатные оси. Эти проекции мы в дальнейшем будем обозначать через А, А, Ае и называть слагаютими или составляющими вектора А по координатным осям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
