Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 67
Текст из файла (страница 67)
(20) Кек следствие иа этой формулы, выведем разломсенае леня<ора В пФ баум наяраллениям: параллельному и перпендикулярному я данному веял<ору А. Положив в формуле (20) С=А, перепишем ее Ф Вй<ДЬ (А.А)В=(А В)А — А)((А )(В) В=В'+ В", (21) В'= — А В"=— Л ° В „А х (А х В) Л А ' А А что ° двет искомое разложение, тлк как очевидно, что вектор В' нлреллелен, вектор же В" перпендикулярен вектору А. 116 Скорости течек вреи<еющегоси твердого теле; момент векторе.
тпе векторного произведения имеет многочисленные применения в меняй ке нь в частности, прк исследовании движения твердого тела. В ляль нн пользуемся правовращающейся системой координат, ест <ьссиотрнн сперва твердое тело, врлщлющесся вокруг неподвижной "4 При етом всякая точка М тела будет иметь скорость ч, ио величине и остлется только определить коэффициент пропорциональности р. 1(ля етого достаточно сравнить слагающие по какой-нибудь из координатных осей векторов в левой н правой частях предыдущей формулы.
Направим ось ОХ плраллелы<о А и вычислим слагаощие но оси Ол. Заметив, что при сделлпном выборе осей Э50 гл. гч. впдтоонып днллиз и теория поля (гм равную произведению расстояния РМ точка М от оси вранюння (ряс. 66) на угловую скорость вращения ы, по направлению же перпендикулярную й) к плоскости, проходящей через ось враже. ния н точку М. Эту скорость ч геонетрнче.
скн можно предсгавнть следующим обрезом. д Выберем на оси ((.) то из двух ее направлений, по отношению к которому 4 вращение совершается против часовой стрелки, и будем считать его положительным. Отложив от произвольиоб точки А оси в указанном ч Р пу направлении отрезок, длина которого равна ы, «чр ~ мы будем иметь вектор е, который называется вектором релоеой скорости.
Обозначив далее через г вектор, определенныд отрезком яд(, а вспомнив определение векторного произведе- ния, полУчим без труда следующее выражение для скорости ш ч оХг, Рнс. 66 ибо величина векторного произведения е Х г равна )гПа)э)п(г, о) м ° (МА~ ° э)п~р м ° (МР) ~ч(, а направление совпадает с направлением ч. Как известно нз кинематики, прн любом двнженни твердого тела, имею.
щего неподвижную точку О, скорости точек тела в каждыб данный момент таковы, как будто бы тело вращалось вокруг некоторой осн, проходящей через точку О (мгновенная ось) с некоторой угловод скоростью м (мгиовсн. ная угловая скорость); положение осн врашекии н величина ы, вообще го. варн, будут меняться с течением времени. Согласно сказанному выше, е каждый данный моменгп скорость точки теердоео пыла определяется векторным произеедением вектора мгновенной цглоеой скорости на еек» тор ОМ, Рассмотрим другой пример. Пусть к точке М приложена сила, изображенная вектором Р, и пусть А есть некогорая точка нрострзиства (рнс. 66).
Моментом силы Р относите.юно пючки В называется векторное прокат. депие Г х г, где г есть вектор, имеющий начало в точке М и конек в точке А. Опустим нз точки А перпендикуляр АР иа прямую, иа которой лежит силе Р. Из прямоуголь. ного треугольника АМР получим ! АР ! ! г ! ! э(п (г, Р) ! и, следовательно, ееличина момента силы Р относи- тельно точки А будет ( г ) ! р ) з)п (г, Р) ( ~ Р ~ ~ АР ~ Р т. е. розна произтдению иэ величины силы на расстояние точки А до прямой, на которой лежит сила. Направление момента определяется по выше. Рнс, 60.
указанному првпнлу определения направления век. торного пронзвелянпя. Иэ сказанного вытекает, между прочим, что момент силы не меняетса ври пермнещеннм точки ез приложения М по прямой, на которой лежит сила. Вместо момента силы относительно точки можно, очевидно, говорить о моненте любого векторе а и, тГОРИЯ ПОЯЯ ыа( выведен выражения слагающил монснта. Пусть (а, Ь, с) — коорлннаты чкн А м (х, у, г) — коорлииаты точки М. Слагающие вектора г будут а — х, Ь вЂ” у, с — г. Пользуясь выражением слагающил вскторпого произведения, получим следующие слагающие момента: (у Ь)гл-(л-с)г'у (л — с)р» — (к-а))тл, (к Развращаясь к примеру вращения твердого тела вокруг осн, можем сказать, что скорость точки М твсрдого тела разил моменту вектора угловой скорости относительно точки М. Обозначая через (к, у, с) координаты втой точки, через (к« ув лв) — координаты начала всктора угловод скорости и через О, О„, Ог — слагающие этого вектора, получим следующие выражения слаглюйщл скорости точки М: (л "'а) Оу (у-У«) Ою (х — х,) О,-(л-с,) О» (,т — Уа) 0» — (к — х,) О Определим теперь момент вектора отиоситсльно,оси.
Пусть в пространстве ннеетсл некоторая прянал Ь, которой придано определенное направление ось). 1 мсяжам агкжора Р ожяогижсльяо оси Ь называется алгебраическая величина проекции на зту ось момента вектора Г относительно какой-либо точки А оси Ь. Чтобы доказать ааконность этого определения, выясним иезависнность укаэанной в определении проскпнн от положения точки А на оси Ь. Примем ось Ь ва ось ОЕ н пусть (О, О, с) — координаты точки А и (х, у, л)— координаты начала м вектора Г.
при таком выборе коордныатиыл осей проекция на ось ь момента вектора Г относительна точка А совпадает со еаагаклпей его по осм Ок н, в силу предыдущял формул, будет равна к)ал-уг», так как а Ь =* О. Эта разность нс зависит от с, т. с. от полоашшя точки А на осн Ь, й П. ТЕОРИЯ ПОЛЯ 119 ланфференцнрованпе вектора.
Обобщим понятие диффереппйроваиня на случай переменного вектора А (т). зависящего от пскоторого численного параметра т. Будем отклздывать вектор от некоторой определенной точки — например начала координат О (рис. 67). Прн ивмененки параметра ч конец перемен- погопектораА(с) опишет некоторую кри- Й) вую (у) Пусть ОМ, и ОМ вЂ” положения переменного вектора при значениях(с+ Ьт) и ч параметра.
Отрезку ММ, соответствует Равность А(с+Ьч) — А(т), и отношение ст «««~)-л< > дает не Рис. 87. некоторый вектор, параллельный у ММт Предельное положение этого вектора при Ьт-»0, если Збй тл.ю. вектознын анализ и теовия поля оио существует, и будет представлять собою производную !ссс юл»| „л~~гЭ вЂ” к») ат (22) Эта производная есть очеввдно вектор, направленный по касатель. ной к кривой (Е) в точке М. Он также зависит от ч, н его прои»- вид (с) водная по т дает вторую производную — „и т. д.
Разложим вектор А(т) по трем основным векторам !, ), )сс А (т) = Ак (т)! + Ак (т) ) + Ак (с) (с Определение (22) даст тогда к ( ) э )+ с дд (с) ад к (с) дЯ (с) ФАс (с) Фт дс дс ас (23) н вообще дмд(с) далк(с) д"'А ( ) и"Ч,<с) ~;(У( )А( )) = — „, А( )+г( ) —,, „—,А(т) В(т)= —, В(т)+А(т) —,, (24) (24с) у, А(т) Х В(т) = — Š— Х В(т)+А(т) Х дс, (24с) д дд (с) ей (с) гле 1(т) — скаляр, А(т) и В(с) — векторы, вависяшие от т. Лро»с рим, например, формулу (24,). Леван часть ее представляется в асса» --)А,(с)В„(с)+Аэ(т)В (т)+А,(т)В,(с)) Тот же рссультат получим, как нетрудно видеть„и для правой 'сасс» Считастс», конечно, что производные, о которых идет речь, су»сссг' вУсог.
В фоРмУлах (24), (24,), (24с) нз сУщесгаовассиз пРоизводиых т. е. дссдбференцссроеание вектора геодптгл и дифЯеренцироеанаю елагаютсьх етого еекгиора. Известное правило диффереициро»ания произведения обобщается на случай произведения скал»ра иа вектор, а также в на случая скал»рното и векторного произведении, так что имеют место формулы; ЗЕЗ э!!. теоэня поля аь сомножителей пытекпег существование производных и у проиэпедьния (ср. 1, 47!.
СопеРшепио элементаРно докаэыэаетсЯ обычное правило дифференцирования суммы векторов. Если точка М движется йо некоторой кривой (С), то радиус-вектор г втой точки есть функшгя времени и Дифференцируя радиус-вектор по г, получим вектор скорости движушейся точки: 4гг аэ !гг аг дг Яз' (25) Елина этого вектора будет равна производной от пути е по времени 1, а направление будет касательно кривой (~). Полученный вектор скорости также зависит от времени н, дифференцируя его, еч получим вектор ускорения и!= — . ег' Если мы примем за неззвисимую переменную длину криво» е, то ироязеодная от г по з будет лредгтавлятьея единичным аектоаг рвм яасательной 1= —, т. е, вектором длины едш<ица, направлен.
Р'акт+ дг' а а гэ ° а ° П, 70! — à — — -!. а т, е. отношение длины хорды к длине соответствующей дуги стремится к единице. То же справедливо, очевидно, и для криэык п проСтрвистве [1, 160). Из этого факта и определения (22) при ч = з не. посредственно вытекает, что длина упомянутого выше вектора каса. тельной действительно равна единице. !2(). Скалярное поле н его градиент.
Если некоторая фнэическдв величина имеет определенное эпзчепие в каждой точке пространстай илн части пространства, то таким путем определяется поле этой величины, Если данная величина есть скаляр (температура, давление, ° лектростлтичсский потенциал), то и поле ее называется скалярным.
Есйй же данная величина есть вектор (скорость, сила), то поле, ею определяемое, называется векторным (112). Начнем с исследования скалярного поля. )(ля задания такого поля достаточно определить функшпо точки (/(М)= у(к, у, е). Так. например, нагретое тело дает скалярное поле температуры. каждой точке М тела температура Ц(М) имеет определенное значение которос может меняться от точки к точке. Возьмем определенную точку и проведем через пее прямую, пря- Р чгж приладим этой прямой определенное направление (1) (рис.
88). и ассмотрим значение функции у(м) в самой точке м и в близкой 'пей точке М! на взятой прямой ((). Предел отношения О!М,| —,О!И| МИ! гл. 1ц втктоаныи анализ н теоаия поля йаа если ои существует, называется производной ола Яулкйгги У(М) ио направлению Я н обозначается так; В(М) „Е (МД вЂ” и(М) м,-м ММ, (26) Эта производная характеризует быстроту изменения функции Ц(М) в точке М в направлении (/).
Отметим, что число ММ, может быаь как положительным, так и отрицательным. ГГ) Если направление от М и М, совладает с направлением (1), то это число положительно. 1!ри замене направления (г) противоположным рл) (Г) число ММ, меняет знак, и производная по направлению (Г) лишь знаком отличается от производной по направлению (!). Будем гг ' л) считать, что в каждой точке М некоторой области т функция /(М) имеет производную Рис, нэ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
