Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 63
Текст из файла (страница 63)
функция [/(х)]„ограничена и иэнерииа (легко доказать), а потому существует интеграл 1[Дх)] <гх, (67) который не убывает прн возрастании т. Если «тот интеграл имеет конечный предел нри т-ь+оо, «ю величину указанного предала <Ця<нпмают за величину интаарала от Дх) но Е: ') У(х) Ых = Нш ')[У(х)] <гх л т +аоз (68) «говор«т, что г(х) суммяруема но Е. Отметим, что закон беспредельного возрастания т — несушествегс Если У(х)-ограниченная функция, то это определение интеграла совпадает с прежнин, ибо [у"(х)]„, ~~(х) при всех достаточно больших «ь Если интегралы (67) беспредельно возрастают при т-ь+ оо, то говорят, что интеграл от у(х) по Е равен (+ оо) Отметим, что если У(х) суммяруема на Е, то мара мнохсес«<аа Еа Е [1(х) + оо] Равна нулю т. е.
/(х) принимает на Е почти везде конечные значения Йействнтельно, очевидно, что прн любон т) 0 нивен [Д ла Поскольку т(Е.)-~-0 прн н-<-оо, сушествует такое М)0, что т(Ел)~в пРи нЗн<ч', и таким обРаэои, ~ (Дх) -У„(х) ! «х ~ [2ь+ т(Е)] в при я )М, 328 гл. 1и. кРлтиые и кРиволи!1гпные интегРллы 1!ат на Еа и для неотрицательные огрзниченныя функций г(х) имеем —,1 [~(х)]„ах) )[/(х)],„йх ° т т(ЕР). ~Ф Если т(ЕР))0, то правая часть и тем более интеграл, стоя1цнй в левой части, стремятся к (+ оо) при т-ь+оо, т. е. 7(х) не сум* мируема на Е. Положим теперь, что у(х) — неограниченная функция, принимающая вначения разных знаков. Определим положительную и отрицательную части у(х): ( у(х), если /(х) ~ О, ( О, если /(х)) 0 ,/+(х)=*~ ! О, если Г(х)н О, $ — у(х)„если /(х)~0.
Обе зти функции неотрицательны и измеримы на Е: ,г(х) у+(х)- г-(х) (69) [у(х)] =у+(х)+~'-(х). (70) Если ~+(х) и г-(х) суммпруемы на Е, то гоаорят, что и функция /(х) суммируема на Е п еешчнна интеграла от у(х) ио Е определяется формулой ~У(х)йх-~У+(х)й -~У-(х)йх. (71) е Если умеиьшаемое правой части равно (+ оо), а вычитаемое конечно, т. е. У' (х) суммнруема по Е, то говорят, что интеграл от /(х) по Е равен (+ оо). Совершенно аналогично, если у+(х) суммируема по Е, а вычитаемое правой части (71) равно (+ со), то говорят, что интеграл от У(х) по Е равен ( — оо).
Из определения неотрицательных функций у+(х) и /-(х) следует, что если в некоторой точке /+(х,) О, то г-(ха) О, в если /-(х,)) О, то у+(х ) = О, и, пользугсь (69) и (70), получаем [[г(х)]] = [/+(х)] +[У-(х)], [г+(х)] ~[[/(х)[], [г (х)]мю.[[~(х)[],„ прн т О. Отсюда легко вытекает, что суммируемость у(х) равно. сильна суимнруемости [,у(х)[, т. е.
суммируемость есть абсолютная суммнруемость [ср. 89]. Отметим еще, что суммируемая иа Е функция имеет почти везде на Е конечные значения. Это непосредственно следует нз того, что у неотрицательной суммируемой функции мера множества Е =Е[[г[ + оо] равна нулю. Укажем теперь остальные свойства интеграла от суммнруемости функции по множеству конечной меры. Будем считать, что !Г(х) ~ О.
323 а з. меРА и теОРия интегРиРОЕАния ~/(х) бх ~ ) /(х) бх. (72) Докажем абсолютную непрерывность интеграла. 3. Если /(х) суммируема на Е, гно нри любом заданном а >О сугцестеуст такое т)~0, что ) /(х) й «ь сели ес. Е и т(с)ю,ч Суптествует такое т) О, что ~ ] /(х) — ]/(х)],„) бх еб -2-.
й (7д) При атом, в силу (72), для любого сСЕ ~ ] /(х) — )/(х)]м» бх а-.2-, т. с ~/(х)йх~ ~)/(х)] бх-»--2., п прн т(с)ч.2~ получаем (73). 4. Есмг /(х) суммггруема на Е н мнозкестео Е разбито на конечное или счетное число множссте Е» (попарно, без обских точек), то имеет место формула (33). рассмотрим случай бесконечного числа множеств Еа. Для огранп"епной функинн ]/(х)] имеем 60 ]/(х)),„йх ~ ') ]/(х)),„ах, а! Еа Для функппп, меняюгких знак, все сводится к /'(х) и/" (х) в силу (71). гез изменения сохраняются свойства 4, 9, 12, 13 н 14, причем свойство 12 без УсловиЯ огРанпчениости /(х). Свойство 3 фоРИУлпруется так: 1. Егли /а(х)«0 (к= 1, 2, ..., р) суммируемы но Е, то и нх линейная комбинация с настоянными лоложителаны.ин коэффициентами есть сумлагруемая функция и имесггг лгесто формула (31Р Имеет место и следуюшее, просто доказываемое свойство; 2.
Если /(х) суммируема на Е, то она суммируема и на любой измеримой часнгн Е' множсстеа Е и откуда ОЭ 1(/(х)),„ах( ~ ) /(х)Фх, л й 1 да н прв т - +оо получим Р( И Х 1у()дх. л й 11» Докажем теперь противоположное неравенство. Иа г(х))0 сле. дует, что при любом т)0 и любом конечном р, ~ ~(х))„ах ) 'ь~~ 1 (у(х)),„Нх, Л й-1 Л» (74) в при т +оо получим й ~У(х)их~ 2', 3У(х)М е й 1З» откуда при р оо и следует неравенство, противоположное(74), т.
е. У(х)й(х = ~ ') /(х)Фх. » 1Ю (741) Просто доказываются и следующие два свойства: 5. Если Е разбито на счетное число измеримых множеств Ем фу«кция. ~(х) суммируема «а каждом Ей и ряд с неотрицательными ела»асмами ~ ) У(х)Ых 'лй (75) сходится, то У(х) суммируема «а Е и имеет место формула (741» б. Если 11(х))У,(х)) 0 на Е и г1(х) суммируема на Е, во и 1»(х) суммируема и ) Д1 (х) Фх ~ ) Дй(х)й(х. (76) Отметим те изменения, которые надо внести в формулировку свойств, если г (х) — неограниченная функния, меняющая анак: в свойстве 1 постоянные коэффициенты могут быть любого анака; свойство 2 сохраняется, но беэ неравенства (72) свойство 5 сакра.
и»ется, если в сумме (75) г(х) ааменнть на ф(х)~. Свойство 6 а»- меняется следующив дЗО гл,ш. квлтныи н квнволннвлныв ннтвгэйлы 11»а ° Э. МЕРА И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ у. Если Уь(х) измерима на Е, /~(х) — измерима, неотрицатсльна и суммируема на Е и [/ь(х)[~/~(х):, то /ч(х) сумми. руема на Е и !')/ч(х)с(х [ ~/,(х)йх. (77) Нетрудно ввести понятие суммируемых функпнй я определить интеграл для функпнй /(х), принимающих комплексные значения.
разделим у такой функпия вещественную н нннмую части: /(х) =/, (х)+ 1/ь(х). Функпня /(х) называется суммлруемой на Е, если суммяруемы /,(х) и'/,(х), и интеграл определяется в етом случае формулой )/(х)ах= ')/1(х)йх+8~/ь(х)ах. (79) Имеет место следующее свойство: для суммируемости /(х) необходима и достаточна суммируемость модуля [/[=УЗ~+/," Это непосредственно следует из неравенств [/~ ! ~)//",-[-/Р [/ь ! ~ 1//,'-[-/Р У7~+/ь. - [/ь [+ [/ь! 109. ПредельиыА переход под знаком интегрйлй.
Приведем простме по форме н важные для приложений теоремы о предельном переходе под анаком интеграла. Теорема 1. Пусть /„(х) (л=1, 2, „.) — бесконечная иоследовангельность функций, суммирусмых на Е, лричем для всякого л имеется лочти везде на Е оценка [/ (х)! ь Р(х) на Е (60) Рде Р(х) суммируема на Е, и /„(х) — /(х) ночти везде на Е. При вто.к /(х) суммируема на Е и йт ') /„(х) йх $/(х) ах. (81) ю Оэе Доказательство втой теоремы аналогично доказательству свонства 16 яз [107[. Суимнруемость /(х) следует из того, что [/(х)[~Р(х) почти везде на Е. Как и в [107[, вводятся множества Е причем т(Е ) — 0 при я — со.
Вместо (66) ямеем [/(х) — /„(х) ! ай 2Р(х) ~ [/(к) — /„(х) [йх ~ 2 ') Р(х) йх+ $ [/(х) — /„(х) ! йх. еь ь 332 гл. ш. келтные н кпнволннеиные ннтегвллы пвв В силу абсолютной непрерывности интеграла от Р(х) существует такое дг, что Р(х)г(ха в прн пр~М $ [У(х) — У, (х) ! йх ~ [2+ т (Е)) в при п ) Л, л откуда, ввиду произвольности в, и следует (81).
Теорема 2, Пусть /„(х) (п=1, 2...) неотрацателвны и сум.ннруемы ка Е, У„(х) — г(х) почти везде на Е и ) /„(х) ах ~ А, где А — яекоторое чигло (не зависит опв и). При атом /(х) суммируема на Е и ~ /(х) Их ~ А. (83) Отметим сначала, что если в некоторои точке у„(хв) — г (хв), то [г (хв)[ — [У(хв)! . В атом легко убедитьсв, разбирая отдельно слУчзн г(хв)ч и! и г(хв))т. ТаКим обРазом, [У"„(х)[,„— [~(х)),„ почти везде на Е при любон т. Очевидное неравенство [У„(х)[„н У„(х) и (82) дает ~ [У„(х))„ах ч А и, в силу своиства 13 из [107) причем роль Е играет т, имеем Ню '1[у„(х)! ах=~[у(х)),„Фх.
в ~мд Перехода в (84) к пределу при и -оо, получаем ~ [У(х) ),„йх ж А, (84) откуда следует суммируемость г(х) на Е, и при т — оо неравенство (83). Те о р ем а 3. Пусть 1„(х) (и = 1, 2, ...) — неуоыеаюгцая последовательность суммируеммх на Е функций. При етом у предельной функции г(х) интеграл по Е равен конечной величине или (+ оо) и ггмеет место формула (81).
Суммируемые функпин 1„(х) почти везде на Е конечны, н ие. убывающее последовательность в каждан точке имеет предел, которып может быть и бесконечным. длв простоты будем считать, что 888 ° к меРл и теОРия интеГРиРОалиия все вначения всех уо(х) конечны, Но аначення у'(х) могут, очевидно, равняться н (+ ОО) Рассмотрим неубываюшую последовательность неотрицательнык Функций О ~уо(х) — у1(х). Мы имеем О ~Уо(х) — Д~ (х) ~у (х) — 1~ (х) Если /(х) — Л (х) — суммируема на Е, то н ~(х) — суммируема. Раз- ность У(х) — у1(х) может играть роль гч(х) теоремы 1, и применяя вту теорему, получим Иш ~ 1У„(х) — Д (х)]ЫХ= [(Г(х) — ~, (х)] Ых, о юл и откуда следует (81).
Положим теперь, что интеграл от у(х) — у,(х) равен (+ ). Поскольку Д(х) — суммируема, отсюда следует, что г" (х) сум- ммруема, а интеграл от ~'(х) равен (+ ОО), т. е. интеграл от /(х) равен (+ ОО). В силу свойства 16 иа [107], имеем Иш ) (У„(х) — Д(х)] Их= ~ ]~(х) — ~, (х)]„ФХ. (88) о ооа л Пусть К вЂ” любое ваданное положительное число. Ввиду того, что интеграл от (г(х) — у1(х)] равен (+со), сушествует таное Фиксированное лг, что правая часть (85) больше К, и, в силу (85), для всех достаточно больших л ~]У„(х) — /,(х)] Их)К н тем более ~ (у'„(х) — у, (х)] дх ~ К. Отсюда, ввиду проиааольности К, следует Иш [)У'„(х) Ых — ~Д,(х) ФХ1 =+ ОО, о аи Ив ')/„(х)с(х=+ОО, о <од " Формула (81) докааана и в том случае, когда интеграл от г(х) равен (+ ОО).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
