Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Если помножим вектор скорости ч на величину ат малого промежутка времени, то получится вектор ч ас, который будет давать приближенно смещение точки за малый промежуток времени ад Таким образом получим векторное поле малых смещений точек твердого тела: А=чад Обращаясь к формуле (58) и считая, что переносное движение отсутствует, т. е. что точка О закреплена, получим следующую формулу для вектора смещения: А=о, хг, (50) где о,=опт есть малый вектор, направленный по оси вращения и равный малому углу поворота за промежуток времени ас.
Пусть рн дн г,— составляющие этого вектора и (х, у, г) — координаты переменной точки твердого тела. Составляющие вектора А будут А, = а,г — г,у, Аг — — г,х — р,г, Аг = р,у — а,х. Отсюда, как и выше, нетрудно выразить вектор малого поворота через вектор смсшенвя о, = — го1 А. 1 2 (51) Кроме того, последние формулы показывают, что составляющие вектора А суть линейные однородные функции координат (х, у, г). Рассмотрим теперь общий случай линейной олнородной деформации, при которой составляющие вектора смещения суть линейные однородные функции каор динах: А, = а,х+ Ь,у+ с,г, ) А, = а,х+ Ь,у+ е,г, (52) Аг = пах+ Ьву+ саг.
367 $ и. ТЕОРИЯ ПОЛЯ (тз) Коэффициенты а, Ь и с будем считать малыми и ограничимся рассмотрением малого объема (о) вблизи начала координат. Всякая точка этого объема св(сстится на вектор А и ее новые координаты после преобразования буаут! Е=х+Аю в=у+Аж Е=г+Ав, т. е. Е =(! + а,) х+ Ь у+ слг, и = а,х+ (1+ Ь,) у+ с г, Е = авх+ Ьву + (1+ с,) г. (63) Вычитая этот вектор из А, представим этот последний в виде А = А'н + А'", где вектор чистой деформации А'и имеет составляющие (64) 1 1 А(з! = а,х+ — (Ь, + ав) у + — (с, + а,)г, А( ' = —.
(Ь, + а,) х + Ь,у + — (с, + Ь,) г, (э! 1 1 А = 2 (с, + ав) х+ — (св + Ьв) У + свж (65) Нетрудно видеть, что зтот вектор будет потенциальным вектором, а именно; д~вв = — агаб [а,х'+Ь у'+ с г'+(Ь, + а,) ху+(с(+а!) ха+ (св+Ьв)уг! ~вв 2 и, очевидно, вихрь этого вектора будет нуль.
Определим теперь изменение элементарного объема в результате дефор- мации. После деформации новый объем букет выражаться интегралом о, = ~ ~ ~ аыч Л. (ч! Совершая замену переменных по формуле из [63[, должны будем заме- нить с(Е вас ((Е = [(1 + а ) [(1 + Ь ) (1 + св) — свЬв [ + Ьл [св а, — ав (1 + св)[ + +с,[авЬв — (1+Ьв)ав[) а(хс(у(тг раскрывая скобки и удерживая лишь свободный член и первые степени малых коэффициентов а, Ь и с, получим втЕ((л) ал= [1+(а, +Ьв+ с,)! авх(ву((г, Такое преобразование будет только в частных случаях сводиться к вращеящо объена (о), как твердого целого вокруг О. В общем случае оно будет связано и с деформацией этого объема, т. е. с изненениел( расстояний между сто точкал(и.
Выясним несколько подробнее это обстоятельство. Составляющие вихря вектора смещения А согласно (62) будут: Ь, — с„ ,, — ан а, — Ь,. Если бы преобразование сводилось к вращению элементарного объема, как целого, то л(ы получили бы вектор смещения А'о с составляющими ((, 1 ! и( 1 1 д„'= — (с, — а,)г — — (а,— Ь,)у, д( ( — (а Ь ) г 2 2 2 2 Ав = 2(Ьв — св)У вЂ” — (с,— а,)х. 368 ГЛ. 1Ч. ВЕКТОРНЫИ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ (!та и предыдущая формула дает о, =)г ~ ~ (! +(а, + Ь, + с )) дх буде = о+(а, + Ь, + с,) о, гы гле о — величина объема до деформации. Коэффициент кубического изменения будет о~ — о— =а, +Ьз +се о !26. Уравнение непрерывности. Пусть ч означает скорость течения жидкости. Вычислим количество жидкости, протекающей через дзнную по- верхность (3) (рис. 92).
Пусть 68 — малый элемент поверхности. Частицы, занимавшие в момент а положение д5, за промежуток времени дс передвинутся на отрезок ч дс, и таким образом за этот промежуток времени через б8 протечет количество жидкости ЛО, занимающее объем цилиндра с основанием ЛЗ и образующей ч дс.
Высота этого цилиндра равна, очевидно, ондс, где о„ есть проекция ч на нормаль (и) к йоверхности, а потому дО = Рон дс дЗ, где р есть плотность жидкости. Величина д() получится отрицательной, если угол (и, о) окажетсн тупым. В случае замкнутой поверхности направРис.
92. ление (и) совпадает с направлением внешней нор. мали поверхности, и величина д() получитсн отрицательной, если жидкость втекает в объем, ограниченный этой поверх- ностью, через йлощадку д8. Общее количество жидкости, вытекающей через поверхность, отнесенное к единице времена, будет ()=((ро„д8, (5~ (66) при этом втенающая жидкость подсчитывается этой формулой со знзком минус. Количество жидкости, занимающей объем (о), ограни сивый (3), выражается интегралом )))р" и за время бг зто количество изменит свою величину на додд РЛ а потому отнесенное к единице времени приращение количества жидкости будет но нетрудно видеть, в силу (62), что сумма, стоящая справа, есть сйчд, т, е, расходимостпь поля смесцениб дает коэфФициент кубического изменения, 369 а !).
таа! а количество вытекающей жидкостн выразится тем же интегралои, но с обратныч знаком, так что для )3 получим два выражения =1 1 ""=-1112"" гл) гю или, согласно формуле (37), 3=~ ~ ~б! ф )д =-~ ~ ~дрд, )ф) )ч) причеы мы оставляем плотность р под знаком раскодимости, так как опа может быть переменной, т. е. зависеть от положения точки.
Последняя фор- мула дает нам соотношение, справедливое для любого объема внутри жид- кости: 1119+" Это соотношение, связывающее плотность и вектор скорости любой жидкост,), сжимаемой или нет, называется уравнением неарерывносл)и. Соотношение (67) может быть записано иначе, если мы учтем изменение плотности р жидкой чэстицы, причем р(ф х, у, г) есть плотность частицы, которая в момент т имела координаты (х, у, г). Плотность втой частицы зависит от т как непосредственно, так и через посредство (х, у, г), поскольку частица движется и ее координаты зависят от й Полная пройзводная от р по ! будет ар др др сгх др ду др дг Й дт дх дт ду дт дг дт' что можно записать и так: др др др др др дг дт дл " ду ' дг или др др — = — + йгаб р ° ч. Й дг Мы можем переписать равенство (67), позьзувсь (57,), в виде др — Р+йгабр ч+рб!чч=О, (68) т, с., в силу (69), ир дг -)- р ей ч ч = О, (69) о)куда ! др б!чч= — — — ° р дт' Таким образом расходимость поля скороса)ей ч дае)п отнасшиельног изменение плотности элемента жидкости, находя)цегося а данном лгестг, — изл)енение, ол)несеяное к единице времени, )ч) В (7%) мы показали, что если двойной интегртч по любой области от некоторой непрерывной функции равен нулю, то эта функции тождественно равна нулю.
То же доказательство годится и для тройного интеграла. О~сюда следует др — + б! ч (рч) = О. дт (67) 370 ГЛ. Ш. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ [122 Если жидкость несжимаема, то это изменение должно равняться нулю, и мы получим из (69) условие несжимаемости 6[н и=0. (70) Мы вывели условие непрерывности путем подсчета количества жидкости, вытекающей из объема, подсчета, произведенного двумя способами. При этом предполагается, конечно, что в объеме нет источников жалкости — ни положительной, ни отрицательной силы (сток). Если течение жидкости неаихревое или, иначе говоря, потенцнально, т.
е. вектор ч есть потенцизльный вектор к=я(аду, то т называется потенциачом скорости. Подставляя в уравнение (70), получим: д'т дст д'т 6[тягай в=О, т. е. — + — + — а=О, дх' ду' дат-" т. е. аотенцаал скорости для случая несжимае.кой жидкослш должен удовлетворять уравнению Лапласа (7!). (7 [) 127. Уравнения гндродинамики идеальной жидкости. Под идеальной жидкостью мы будем подразумевать такую деформируемую сплошную среду, в которой внутренние силы — находится ли она в состоянии равновесил или движения в приводятся к нормальному давлению, так что если выделить в этой среде некоторый объем (о), ограниченный поверхностью (5), то аей- ствне на него остальной части среды приводится к силе, направленной в каж- дой точке (5) по внутренней нормали. Обозначим величину этой силы (давление), отнесенную на единицу площади, буквой р.
В каждый данный момент давление р (М) дает некоторое скалярное поле. Рзвнодействую- щая сид давления на поверхности объема (о) выразится, в силу (50), инте- гралом — '1 ) рд$= — ) ) ~ пгабр до, (з> (в> где знак ( — ) поставлен потому, что положительное давление действует в на- правлении внутренней нормали, а вектор 15 по условию направлен по внеш- ней нормали. Применяя принцип Даламбера, мы должны уравновесить силу давления внешними силами, которые мы относим к единице массы и обозначаем г, что дает в объеме (о) равнодействующую Яр" (в> и, наконец, силою инернии, которая на элемент массы будет — рдо%, тле Р— плотность, % — вектор ускорения жилкой частицы.
Йа объем (е) сида инерции будет -~~~раде. (и> Итак, согласно принципу Даламбера, мы должны иметь с с а ( т Р ~ 6 (т> откуда, в силу произвольности (о), как и выше, можно заключить, что подынтегральная функция равна нулю, и тогда получим РЧЧ = рг — ягабр, 37! $ И. ТЕОРИЯ ПОЛЯ лзз! илн ди ди ди ди ))тг — — — + — и + — о + — щ к дс дх ду дг Совершенно так же ди до до до 97 = — + — и+ — о+ — э, дс дх ду дг дэ дэ дэ дэ ут' = — + — и+ — о+ — э. дс дх ду дг Таким образом векторное уравнение (72) приведет нас к трем уравнениям: ди да ди ди ! др — -1- — и+ — о + — э = Є— — —, дС дх ду дг р дх' до до до до 1 др дс дх ду дг " р ду' — + — и+ — о+ — э = )о — — —, дэ дэ дэ дэ ! др — + и+ — тл+ — э= р — — —.
дс ох ду дг г р дг' (73) Это — так называемые уравнения гидродинамики а форме Эйлера. К этим уравнениям нядо присоединить еще уравнение непрерывности, которое мы вывели в преаыдущем номере. Пользуясь настоящими обозначениями, можем переписать уравнение (69) в виде др др др др (ди до дэ! дС дх ду дг лдх ду дг с — + — и+ — о+ — то+ Р ( — + — + — 1! = О.
(74) Характерной особенностью написанных уравнений является то обстонтельство, что при исследовании движения мы выбрали за независимые переменные координаты точки пространства (х, у, г) и время С. В некоторых случаях вместо координат точек пространства (х, у, г) за независимые перел!сивые выбирают координаты того положения жидкой частицы, которое она имела в начальный момент времени.
Прн таком выборе независимых переменных уравнения гидродинамики, конечно, будут выглядеть иначе. Уравнения (73) н (74) — четыре уравнения, содержащие пить неизвестных функций (и, о, э, Р, р). К втой системе надо добавить еще одно уравнение, Можно считать, например, что плотность постоянна или что имеется определенная зависимость л1ежду плотностью и давлением р = у(р)(уравнение состояния).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
