Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Теперь мы рассыотрнм один частный случай таких координзт, а именно тот, когда элементарный объем, который, кзк мы упоминали в [63[, представляется в виде пзраллелспнпеда, будет прямоугольным параллелепипедом. Этот случай ортогональных криволинейных координат представляется наиболее важным и чаше всего встречается в приложении. Пусть вместо декартовых координат х, у, л вводятся три новые переменные ф(х,у, а), ~уз — — ш(х,у, ).
нлн в форме, решенной относительно х, у, я, х='Рг(ДП '7ь '7з) У=фа(!7н '7ж !7э) а='Рз(рн Чш Оз) (98) Мы считаем, что все указанные функции непрерывны и имеют непреРывные частные проиЗводные первого порядка, откуда окончательно дгЕ й дЕ сз — + — — — (ЬŠ— йгаб йч Е). дд е д! ер (93) Совершенно такое же уравнение получается и для вектора Н. Прн отсутствии электрических зарядов, т.
е. в случае йч Е=О, уравнение (93) перепишется в виде дзЕ й дЕ сз — — + — — = — ЬЕ. др в д! ер Это уравнение называется обычно телеграфным Ррагнгнием, так как оно было получено впервые при изучении распространения тока по кабелю. На. конец, если мы имеем дело с совершенным диэлектриком, т. е. непроводяшей средой, то )г=б, и уравнение (94) будет; дзЕ ! с — =а' ЬЕ ~а==~. д! ~ )гар ) (95) С уравнением такого вида мы уже встречались в (!28). Если процесс стациоиарен, т. е.
векторы Е и Н не зависят от г, то уравнение (9!з) дает го1 Е=О, т. е. Е есть потенциальный вектор: Е=йгаб ф, и первое нз уравнений (92) дает йчйгаб<р= — или бф Р Р (9б) з а' 378 ГЛ. СЧ, ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ [сас ПРидзваи новым пеРемеиным ус, дя и с)з постоанные значениЯ А, В, С, получим три семейства координатных позер хностей. Уравнения этих новых координатных поверхностей в координатах х, у, г буду г: ср(х, у, «)=А(1), ф(х, у, г)=В(1!), в(х, у, г)=С(Ш).
(99) Возьмем две какие-либо координатные поверхности из разных семейсгв, например, из семейств (В) и (1В). Они пересекаются вдоль некоторой линии, уравненссе которой будет ф(х, у, г)=В, в(х, у, г)=С, где В и С вЂ” определенные ссостоянньсз. Вдоль эгой линии меняется только переменная с)„и эту линию можно назвать ноордсснатнос! Лсснссеа с)с.
Аналогичным образом получаются координатные линии с) и с[. Вычислим квадрат элемента длины в новых координатах: + У+ д фс+д 9я+д ча) + [ дгс с дес и дяа а + ~ -'- с[9 + — с)фя+ — 'с[9 ~ +,— с)9с+ — с)йз+-- сура!! . (!00) ! дфс дфс дф, 1я с'двс двс дв, 1а ~ дяс дс[с дс[с с ',дс[с с дяс з доз в ) ° Раскрывая скобки, получим однородный полипом второй степени относительно с[с)с, ссс)я, всда. Выясним условия, при которых этот полипом не будет содержать членов с произведениями различных дифференпиалов асс[. Р Рассмотрим, например, в выражении (100) слагаемое, содержащее произведение с[с)с с[с)э Коэффипиент при этом произве— денни будет ;Ф 6,[чд-- 2 (1тсгс дтс + дф, дфс + дв, дс~Ь~ (1О1) Рсд[сс д вудс[с дс[ дс[с дяс дс[с дяс/ Элемент объема в новых координатзх (рис.
93) будет ограничен тремя парами координатных поверхностей. Из его основной вершины А, которой соответствУют зпачениЯ сус, с[я, д, новых кооРдинат, бУдУТ выходить три ребра: АВ, АС и АВ. Вдоль ребра АВ меняется только с)„ вдоль АС вЂ” только с[я и вдоль А — только с)а. Рассмотрим первое и второе ребра. На первом ребре функции (94) суть функции только с[с, и пзправляющие косинусы касательной к этому ребру пропорпиональиы 11, 160] дсгс дфс двс дяс' дя,' дес' Совершенно так же направляющие косинусы касательной ко второму ребру пропорпиональны д~рс дфс дв„ дяс' дат' дат' 379 $ и тсогня пОля 130 Равенство нулю выражения (101), таким образом, равносильно требованию перпендикулярности рассматриваемых двух ребер.
Если потребовать, чтобы в выражении (100) обратились в нуль и коэфд!иниенты при «Ч! «Ч, и «Ча «Ча, то это будет равносильно требованию, чтобы все три ребра элементарного объема в новых координатах были взаимно перпендикулярны. Таким образом необкодилгы и и достаточнылс условием ортогональности системы криволинейных координат является то, чтобы выражение «вч содержало только члены с квадратами дифференциалов, т. е.
члены с «Ч'„ «Чг " «Ча Будем считать в дальнейшем, что криволинейные координаты ортогональны. При этом получим для «вч выражение вида: «в =Н! «Ч! + Н1 «Ч1+ Н1 «ЧР (102) где (103) Принимая во внимание, что вдоль каждого из ребер элементарного объема меняется только одна из переменных, мы получим, согласно формуле (102), длины этих ребер «в!= Н1«Ч1 «ач=Н1«Чы «за=На«Ч1 (104) и элемент объема в новых координатах будет выражаться формулой «о=«в1«ва«за= Н1Н1Н1«Ч1 «Ча «Ча. (105) Положим теперь, что в пространстве имеется векторное поле А.
Рзсходимость этого поля в некоторой точке М определяется, как известно [1211, по формуле )) Аа«З «1чА= йш !з'! кч! м о1 где (81) — поверхность, ограничивающая некоторый объем(о1), содержащий точку М и беспредельно сжимающийся к этой точке, н э! — величина этого объема. Применим это к случаю элементарного объема в криволинейных координатах Ч„ Ч„ Ч, и определим поток поля через поверхность этого элементарного объема. Начнем с определения потока через правую и левую грани. В основной вершине А кРиволинейные кооРдинаты имеют значениЯ Чи Ч„ Ч„ а на пРавой ~рани надо будет заменить Ч, на (Ч, + «Ч,).
Кроме того на правой грани направление внешней нормали совпадает с направлением 380 ГЛ. Щ, ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ ссз! координатной линии с)с, а на левой эти направления противоположны. Таким образом ца правой грани слагающая А„по внешней нормали (и) будет Ад„а на левой грани это будет ( — Ад,), где Ад,— проекция вектора А па касательную к координатной линии с)с или, как говорят обычно, сса координатную линию с)с. Ввиду малости граней заменяем поверхностный интеграл по нии ~ ~ А„с(О просто произведением подынгегральной функции на площадь соответствующей грани и такич образом получим для потока через правую и левую грани выражение Ад, сад сЬз !д,+ддс и — Ад,сЬ„асзс !д„ а поток через обе грани будет Ад, с(з~ сЬз !д, + ад, — Ад, сЬз сЬз !д, или, согласно формулам ((04), Ад НсНс сстд ссс)з !дс+ддс — Адц НзНз с)с(д с(с)з )д1 = =(НзНААд !д +ад НсНзАЙ ~д,)с(с)дсУс)ь Заменяя приращение функции ее дифференциалом, получим окончательно выражение потока через правую и левую грани: д(НдНз"д,) д с)с Совершенно тзк же поток через заднюсо и переднюю грани будет д(~~з~~сдд ) с)с !)с с)а дд, и поток через верхнюю и нижнюю грзни д(НсНдА ) асс? с дс?д стс?з.
дд, Складывая полученные три выражения и деля на величину элементзрного объема, получаемую из формулы (!Об), придем к выражению расходимости поля в ортогональных криволинейных координатах с д(НдНздд ) д(ЦГ)сАд ) д)(ЦНдА ) с Положим теперь, что поле А есть потенцизльное поле, т. е. поле градиента некоторой функции (с'(М), то есть А=ягад У. В этом случае составляющая поли Ад, есть производная функции У по направлению с)с: а(С ! дсс' Ад, — йпь — = — —, ьм ц аас Н ддс' 891 $11.
ТЕОРИЯ ПОЛЯ 1ЗП совершенно аналогично 1Ю 1ди Подставляя эти выражения в формулу (106), получим выражение оператора Лапласа в криволинейных ортогональных координатах Уравнение Лапласа АУ=О будет выглядеть в координатах о„ В„д следуюшпч образом: !. Сферические координаты. В случае сферических координат формулы (08) имеют вид [621 х=г з!п 9 соз р, у=г з!п 9 з1п у, а=г соз 6, причем п1=г, да — — 9 и 91=э. Вычисляем Ыз41 дз'=(з!п В соарес(г+г сов 6 соз 16Ы — г з!п В з!п эЫ~)+(з!ПВз1прЫг+ +г соз 6 з!и рт(9+ г з!п 9 соз рду)1+ (соз 9 <Юг — г з!п 9 06)Я, вли, открывая скобки, для= дгя+ г' Ы!р+ гя з1п'8 Ыуя, (109) т. е.
Н,=1, Н,=г, Н;=г з!п 8, причем 0(6 =я, так что Н1)0. Подставляя в (108), получим уравнение Лапласа в сферических координатах или д д!! 1 д . д!Г 1 дт0 д- ~г д ) + . , „ ~з!п 6 дз ) + 11" а д „ = О. (1 10) Найдем решения этого уравнения, зависяшие только от радиуса- д~У д1! ектора. При этом надо считать — = =О, и, следовательно, да от оп<1да 1 д!! дО С, г' — = — С дг или дг г'' и, ин1егрируя, получии (111) (г'= — '+ Ст, г 882 ГЛ. 1Ч. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ 1гаг где С, и Ся — произвольные постоянные.
Напомним, что г есть рассгоянне переменной точки М до любой фиксированной точки М„ которую мы можем выбрать за начало. В частности, при Ст = 1 1 и С,=О мы имеем решение —, о котором мы уже говорили в [90). Г 2. Б и л и н д р и ч е с к и е к о о р д и н а т ы. В этом случзе х = р соз ф, у = р з(п ф, г = г, так что дг =р, дя=ф, да=к. Для г(зя имеем: 1~за 1(ря + р211гря + г(за откуда Б, = 1, О, = р и Оа — — 1, и уравнение Лапласа в нилиндри- ческнх координатах будет, согласно (108), или д ( дУ~ ! дг!/ дг!I др г др1 р д1аг дг' — (р — 1+ — — + р — = 0.
(112) Положим, что значения У не зависят от з, т. е. что У имеет одинаковые значения в соответствующих точках всех плоскостей, параллельных плоскости ХО!'. Прн этом достаточно рассматривать значения У на одной плоскости ХО'г' (плоский случай).
В прямолинейных прямоугольных координатах уравнение Лапласа в этом случае будет Юи дги — + — =О.. для дуя Относя плоскость к полярным координатам (р, гр), получим, в силу (112), уравнение Из в1,1ра>кения (1!3) видно, что в плоском случае 1е р будет давать решение уравнения Лапласа, где р — расстояние переменной точки плоскости до какой-либо фиксированной точки. Вместо 1е р 1 можно, конечно, брать решение 19 — = — !ар. Таким образом в трех- Р мерном пространстве основным решением уравнения Лапласа является величина, обратная расстоянию переменной точки до некоторой постоянной точки, а в плоском случзе основным решением будет логарифм этого обратного расстояния или самого расстояния.
Нетрудно показать, как и выше, что решение этого уравнения, зависящее только от расстояния р точки до Ок., будет О=С,)ар+С,. (113) 383 Ф И. ТЕОРИЯ ПОЛЯ тээ) или дА дА — = — + (ч пгаб) А 1й дг Э где символ (когад) имеет следующее значение: д д д ("йгз') =о-д-+о Г~+" д— ' (1!5) В формулах (114) и (115) первое слагаемое, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
