Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Напомним еше об одном понятии [91[. Мы рассматриваем в основном множества точек на некоторой плоскости. Совершенно аналогично можно рассматривать точки на прямой или в трехмерном пространстве. Множеством дополнительным для Е (см. [91]) на плоскости называется множество всех точек этой плоскости, не принадлежап!их Е (аналогично для прямой или трехмерного пространс«ва). «««» ы г„ 290 Гл. юн.
кРАтиыт н кРиволиююеиные иитггРллы 1зз :-)со маожсство обозначается обычно символом С!:; Очсвилио, что С(СЕ) = Е Если Г и Š— двз множества и Е~ Е, то СЕС СЕ. !! дзльисишсм рзвсиство Л =!! лля лиух множеств Л и // озиа ысг, чсо эси множества состоит из олиих и тех жс точек, т.с.
если Л!СЛ, то Л1~/?, и изоборси, сели Л!~!!, то Л!~Л. Пля доиотюиюсльиых миожссюв юсмсшг месю слсдуюоишс формулы: СЕ, — С!„= — !„— ! и С] ~!/„=~С!.:„, С~Е,=И С!/ы СХСЕа=п !/Ф (4) ('ю) (7) Докажсы, иаиримср, иервуюо иэ иих. Пусть Л! прииаллежит множеству, стояюисму в левой части (4), т. е. М~СЕю и М(:-СЕ,. Покажем, что оиз ирииадлсжит множеству, стояюиему и правой части (4) !1з М(:СГюю следует, что МСЕь и из Мч-СЕю следует, что М(-!сс. !!о раз М~Ес и Мт-Ею, то М ирииадлежит ирзвой части (4). Совсршсиио аналогично локазывастся, что если точка Л! ирииаллежит праной части (4), то оиа приизллсжит и левой чзсги (4). Формулз (7) непосредственно следует из (5), з (б) из (7). Осиовиукю роль в лзльисишсм будуг играть открытые и замкиутыс миожества.
Сформулируем рял теорем, касакицихся эюих мюкюжсств. Теорема 1. Если Š— открытое люножесюююво, то СŠ— замкнутое, а егли Š— замкнуюлое, июо СŠ— отьрыиюпс. '1' со р е м а 2. Сумлса конечного или гчсюинпса числа оюююк/ююиюююыл мнпжсств — оюллрыиюе лснплгсгтво. !/рююпзвсдсние ксюнсчногсю числа оюююк/юыюиюых люнп.чгсгтв — птл)юынюпс люнпжегтвп. Теорема !.
///нююкыгдсиис кпнсчноеы плюю с'сстносп числа замюгнутых люнп ъксгти — зюсюсюл иуюипс сюнп яс сгтип. Г)ум.сюп югпнгчнпгп чююгла зпл/кнуюиых мнпюя сгюив — ююа.ил нуюипс .ынпюис с тип. Теорема 4. /югли !, — мил/сытою и !ч — зп.ялнупюе лсипжсгтвп, тп //=!, — !,— отл/сыинсс .янс,асс июап, ! с.ию .мс !юю— за,илнуиюаг, а !, — оиюлрытос мнпжетиво, то !( — за.ыкнутос лснсс.ггггтип, Оюмсюим, что иусгос миоюкссисо считаем как замкнут ыч, тзк и отсс!юсюссютс. /(оюгазатсльссюсо всех этих тсорсч очень ыросию. Птя примерз докажем теорему 2.
Пусть Еа — откры гыс виол сею из ы точка Л! С ), юле Я вЂ” сучча Е„. При этом М ирииздлсжиг какому-тсбо слы вскочу !юю ио поскольку это слагаемое оюкрысос мыпюкссювп, ему ыриызтлс.тсг вского!юзи «-ок)юсстююосюь М, з огхиодз слс/юУсгс сюо всю осс)юссюссосю~ а 9, мгРл и ТГОРня ннтегРнРОВ»нни иринздлсжит и Я. Таким образом, если Л1~8, то н Ь' пходит и некоторая а-окрестност Л!, то ес1ь Ь' — гнкрытое множество. ! 1оложим тенергь гго нроизис;юиие (3) конечно (/1= 1, 2, ..., ич), и исс /»вЂ” открытые множсс1нз. 1'.слн Л1(:7; то онз нхолиг но все Г», причем Е» ирннздлежит и некоторая а„-окрссгносгь ЛЕ !!усть я )О нзнмспьнжс иэ ноложи1сльных чисел»» (/с =- 1, 2, ..., лч).! 1рн этом а'-окрссг1Н1ст1 .11 нходит но нсс /г», слсло1ю1сльно и и Т, т.е.
Т вЂ” открытое множсстно. 7'еоремз 3 следует из георсн 1 и 2 нри помон!и нсрсходз к дополнительным множсс1нзч с использованием формул (5) и (6). ОЛ. Мера Жорлана. Здесь »нл считаем, что нсс множссгнз, о когорых мы б!лом гоио1щ1ь, ограничены, и нс буде»1 этого огонзрииз11. особо. Зз основу меры мы нриисм, что мерз (площадь) квадрата со сторонами, иарзллельиычн осям, т. е. квадрата: а - х ,,/г, с ~у=--4 где Ь вЂ” а= г/ — с, рщнп (/1 — а)'.
1!роноля прямые л=р+Аг, у=1/+/г (Й, /=О, -1-1, -1-2, ...), где г)0, мы покрыв«си плоскосп сеп<ои кизлратон со сторонами, нзраллельными осям, и г — ллинз сгорон этих кнадрзгов. 11ззонсм множеством зина («) множссни1, состоя1цсе из конечного числа замкнутых кзздратон ссзки. //лон1аг)»ю тзко1о мнох<ссжю нззонем сумму нлогнзден, состзнлщощих е1о кнзлрз1ои. ':)го онрелсление площзди нуждзетси н онранлщеи.
11ронодя ирямые, нзрзллельныс осям, всякое множество типа («) можно нолразлслить нз квадраты н нсзрудно показ;пь, что сумма нлощзлсй эгнх кизлрщон ирн этом остается неизменной, н таким об. разом всякое множсстпо типа (а) имссг онределенну1о нло1цаль. Всякое лшожс. стао тина(а) будем обозначать болщно1о ' " !) букиою н скобках, а его площадь той же буквой, но без скобок.
Если мно1кество ((/) типа («) н1тход1пся строго нну- — — — (ю)- три миожестна (У) тина (*), то (/( К Пусть Š— кзкос-либо ограни кииюе множестно точек, 11окросм нлоскос1ь сеткою раиных казлрзтои, и нусть (Я)— совокупность тех киалрзтои, нсе точки Х которых, нкл1очая н 1очкн нх грзнни, суть внутрсннис точки /:, а Ь вЂ” сопо- Рис. 77. куниость тех кнадрзтон, которые имеют общие точки с грзнинсн / множсстзз »7. !(иадрзты из (Ю') не нхолят н (ь).
Отметим, что сели (8) не солсржит ни олного квадрата (нустое множестно точек), то надо счнтиль Ь'=О (рис. 77). 10' 202 гл. 00 кнлтиын и книволи»гпиь>г. иитггслл>а с>и Беря вес вознож ны>' ест к и ран и ы х к над рзж>н, получим бсскоис чи ос множество иео т риизтсл ьиы х чисел Ь'. Вес этн числа ис боль>ис илощадн квадрата, которому принадлежит огрзиичсшшс миожсстно 1. Точизя верхняя гранина мио;ксстнз чисел Я иазывас>сн вншнренией мерой мнолгегслва Е.
Обозначим сс через а. Точная иижнян гранина м>н>. жсства положительных чисел 8+8' назынашся вншнней мерой .ниозкегсссва Е Обозначим сс Л. Пуси г — длина сторон кналрз>он сетки. '1'соре ма. 1."г.>сс г-~!>, лш Я вЂ” ьа и Я+Я'-ьЛ, т. е. нрн йегнрт>»льном кмельчпнни >явил'и Ь' >лдшлттгн к вн>'лсреииеи и Ь'+Я' к внешней .вере 1Ь По оирслслсшш ышиой шгкисй гранки>л, ири лабо>! сетке кналрз>он 8+Я'.:>Л. Пам надо локззгаь, что ири лн4оь> залая>иж>»>0 суниствует такое т))0, что 8+8'(А+», сели г(гр По определенна> точной нижней гранины, сун>ес>вуст такая сетка, что соотнстстнукинан сй сумма 8+Я', которую мы обозначим через Я,+Я;„ меньше А + е.
Пусть г„- длина сторон квалратов этой сетки. Окаймин (8„+Я„') кнзлратзми со стороной -"., глс сс — ислое иола китсльиое число, так, чтобы получилось множество (8,) тниа (а), когорос образовано квадратами со стороной -гч н содержит (8а+8„) строго л ниу>ри себя. Если мы возьмем л достаточно больно>ь>, то 8, будет сколь угодно мало огличятьсн от Яя+Я„, и мы можем счи>з>ь 8, < Л+е. Пусп )>> — гранина (Ь',).
Ззямкиутые ьшожсстна Х> н 1 ис нмсн>г обивка точек, н пусть б — рассгониис между ними (6) О). б Если мы возьмем г( —, го все квадраты сетки, иь>сии>!не обииш !>2 ' точки с Е или 1, булуг штхолигься виу>ри (8,) и, следовательно, ири г( —. булок нмсп 8+8 (8, <Л+е. Таким образом, число >1, 6 о котором мы говорили нышс, можно взять равным —, н докзззно, ч>о 8+8'-ьЛ ири г-> О.
Если Е ис имеет внутренних точек, то 8=0 лля любой сс>кн квзлрзтон. Если же ниугрсиинс точки им»к>гся, то 8) 0 ири лоси>очно малом г, и аналою>чио ирсл>алущсму можно доказать, ч>о Ь'- > ври г -ь О. Следствие 1. Прн оирсдслсиии а н Л мы ножен исходи>ь нз какой-либо фиксированной сетки квалргпон и измсльчз>ь э>у сс>ку иутсм леленин кажлого квадрата из четыре равных квадрата. При э>он мц получим неубывающук> последовательное>ь Я„н иснозрзс>аячиую иослсдонательносгьЬ;,+Ян(сс= 1, 2, ...),иричсм Ь;,-> а н 8„+8~-+ с! ири н-> со, тле л-номер сетки, которая иолучнлзсь ири л-и ш;>ге измельчения. Этим соображением удобно иользонз>ься ири доказз>сшсгвс приводимых далее у>нсрждсиий. ч э. мгел и теоеия иитеггчи овлиия 201 Следствие 2, Из Я(8+5' следует ири г — О, что а ".
Л. внутрсння>ю .<юг)>п нг балыке внгпюнгй, Если Л = О, то и и = О. юю следовзтельио, Е ис имссг виУтРсииих |очек. Д1ожюи> иокзззтть ч|о Существук>т такие ззикиутцс кривыс ю', которые ис исрс«скак>г сзш| себя я высот изрзмсгричсскос ирслси>вмэищ .< =-э(г), у=ф((),тле ~))'и )(!) — исирсрцвиыс фуикиии, и у и горых висиш а мерз идщяятелы<з. Тзкис кривыс, кзк молшо ши<ззз>юч челяк>|«э |рщивщя области, и у э.<ов облзсию и( >1.
бб. Квядрируемые множества Л)ню>жсгюююво Е иззыш|сгсв квпдрярувмым, если а=Л, т. с. если сто виу|рсиииэ и иищшшв мерц яяяяаковы. Общая в«личика этих мер иазьиис|св ири этом мерою лвчожвства Е и ог>озизчзстсэ т(Е). Отметим, 'жо с«ли л|ы будем |овори|ь о ы«рс кщ<ого-иибуль мио. |ядства, то этим саьилм утвср>клас<си, что что ми<иксство квзлрирусмо. Беля А = О, то, кзк мы видели, Š— квзлрирусмо и яю (Е) =О. Обратно, если ююю(ю)= О, то Л =--О.
Такие миожсс>вз мглы нуль будут даль|де играть болшиую роль. 11собхилимос и лосгзгочиос условие кяадрируемосги сос|<>иг, <>чсвилио, и том, >по В и В+Я' имщот оли. маковые пределы ири г — и, |. е. в том, что Ч" — 0 ири г — О. Пусть Е кзк и юилюие, грзиииз искогорого огргшичсиио|о множества Ею, Точечное мио>кссгво ю' ис ииссг виутрсииих |очек, длэ и«го (В)— яустое миожсс| во ири любой ссткс кваюцкцив и и = О. Миожсство ($') — состоит из тех квзлратов сс|ки, которые имеют общие тОчки с Е и и«обхолимое и лостз|очиое условие квздрирусмости (3' 0 при г — 0) <ч <чипсв к тому, ио Л =.- О ллэ Е т.
с. к тому, чтя т()) =-О. 1!тзк, Теорема. Длн ю«впд)>ю>1>)>с.т>гююююю Е нгч>бл'пдп.иы.|ю в догюнпточюыам условя< лю юювлт т<н ровен<то>и> ююю(l)= — О. Нетрудно иоказги|ь что в«экос ми<>э<секло |низ (х) шцлрирусмо я фго мерз рзвиз его илощзли, т. с. сумме илощзлси, со«тзвлюои<их его квадратов. 1!ус|ь иска|орос множество Е, имел ысру нуль, и ЯУеть задано а)0. В<лби>рзэ г достагочио малым, люы получим ллэ и<- лячяиы В', соотвстсгвухвисй Е„исрщ>сисгво Ь" ( -.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
