Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Отсюда вытекает, что ианнганный интеграл не может <ходиться равномерно относительно Ч в иромев<уса изменении Р, содержащем |Ч=О. Если мы возьмем зтот промежуток ираш нуля, то величина интеграла — имеет производную но Ч, равную иул|о, и | интеграл нельзя дифференцировать но |Ч нод знаком интеграла, так как после такого дифференцировании нол> чае»»я нн<еграл ио промежутку (О, оэ) < г сов зх, не имеющий смысла. 2. В иримере А из [84[ мы дифференцировали А раз по а вы»грал: е а.с<(х= — (а~о) — а.с в о пол знаком интеграла. Дяя доказательства законности втой операции до< к|- »очно показать, чго ири целом положительном й интегралы е- а.с х.а а<х 273 % а.
ИесОБстпенные интеГРАлы глядятся равномерно во всяком промежутке с ~ я яй я, где е ) О. Так как в промежутке интегрирования х ~ О, то очевидно е '" ( еса» н ;ьтх» ~ е-'хха, н в силу доказанного в [87[ признака равномерной сколимостн нам достаточно доказать слодимость интеграла Г е-'хха г(„ Но если обозначить у(х)=е '«ха, то, применяя обычиыч образом правило Лопиталя [(, 65[, убелимсн, что У(х) х" =е ' «"'"-0 нри .г-+со, н по признаку, укаэанному в [85[, видим, что написанный интеграл действительно озоди те я. 3.
В [82[ мы получили решение задачи Абели в анде г' 2х я [' Т(И) аИ вЂ” и л,),à —, И о Покажем, как ножно вычнсгянь производную в правой части этого равен- ства. Обозначим '(3) ) =- с Ч (И) г(И Дифференцируя по л под знаком интеграла, мы получилп бы под вязком з интеграла (л — И) т, что дало бы раскодящийсн интеграл [88], а потому надо поступать иначе. Преобразуем интеграл у(з) интегрированием по частян, предполагая существование непрерывной и ограниченной в окрестности И = 0 производной Ч'(И) при И)0: в(И) яй Р— ~а-г = — г ~" Т(И) (Ргз-И вЂ” гр(И) У'з — И [ + з"л:й= 3 л +о о г + 2 ~ Т' (И) Ъ~ * — И г)И = 27 ( + О) Рг + 2 ~ Т' (И) Ргз — И а%.
о е Напомним, что р(+0) = рнп Ч(И). Это будет постолнная, которая а +о будет, вообще говоря, отличной от нули, то~да как но самону своему опредезепият Ч(0) О. Диффсрсицпрун написанную выитс форь[улу, мы найдем, и снлУ (2)), пз [88[; 1 г 8 [' Е(И)8И З(+0) [' Т')И) Их,) Г'г:И )гя 5 )г г: И е е) пели Ч(И) есть постоянная, то т'(И)=0, и мы инеем полученную уже Ратаса формулу. цслп Т(+О) =О, то оказывается г) Р т(И)НИ 1'Т'(И)г)Я (Ы' ) г' с — И .) у'л — И 274 гл.
гп кплтнык и кгиволингиныг. гистггеллы Л!и ие привели доказательства того, что для иеесяитвепиога интеграла / « применима формула (2!1 из !ЯЗ). Заметим, что если в<кето /< вне< ш п„а а переменную нптегрирования и по формуле: й=ги, то дла / (г) по<Очам па« грал с постоянными пределами с /(г) =! г ° ! 1 — и Й Предполагая, как и выше, еуиметвоваиие непрерывной и ограни пи<«< пгаиеаднай ч'(А) пРн а' о, макея, как иегРУднп пРааейптсь дифф<1«а/и р«ш<ть пад <ианом интеграла: с с Л/(г) ! 1 <Г'(гс)с/<с - 1' <1'(г)и<и< Пг 2)г,) 11:и 1 11:и Й Й Про<нвадя в первом слагаемом интегрирование па частям и во'арюп:ш'ь к прел<ага переменной /с, получим опять формулу (591.
89. Несобственные кратные иитегралы. Псрсхолим .<<и<1ч к расеи<прсиинс иссобсспсииых красных испсгралоп и иачисм с дсп 1 пых писш рзлоп. 1<ак и нюне, иссобстясшигс инта ралы могут бы ' лнух сши ш иди подыспсгральизя функция стзиоиисся исограии и с. иой, или сама область интегрирования исограиичсиа.
Ос<энович<я гизчзла нз первом случае. Пус<ь /(М) — исирсрывиа п каис иий </и<ветс< (о) за исключением точки С, в окрссыгости которой /(!1) ис отрзипчсиа. Пусть (Л) — малая область, солсрз<а<лая С пиус(и с<гя. 1)скла чим из (о) ту сс часть, которая припадлсжит (Л), а ос<в< шрися чзссь обозначим (о — Л). (:ущсстпусг иитш'рал / (М) с/о. <а-а1 Гели ири бсспрсдслы<ом сужении (Л) к точке С этот интеграл с<р: митек к определенному прадеду, ис зазисяигсму от того, каким им<и<и <оразом (Л) сузи<<с<с<с к С, то этот ирслсл и иззывакж нсгпбгслаг/ нм.и пнслегрплож ог /(<1!) пп (о) (С может быть и сса граи<шс (<'1: ~ ') / (Л/) с/о = 11п< $ ') /(М) с/о. (си'1 <а) <а — а> 11<<тьсис будем счисзсь (эго ис сущсгспсиио), что Л иробсгасг ир< и" л<сРоизииУк< иосдсчоватсдьиоссь (Ла) (и —.— 1, 2, ...), с;кимакпиУн<са к с.
То ишс с опора: С лс!ьи г <и<угри ассх (Л„), причем (Л„,,) ирина< ъч< ' ' (Л„) ири лспбоас и и (Л„) ирииалдсжиг кругу с исигром С и ралиугпм с' ири и ч га -а О ири и -а с к 1(одожим сизчздз, что /(.И) - О. При этом послсловзгсдысосси ч<ьссд ж„== '1~ /(П)с/о (и=1, 2, ...) (а-а„) 27 > 3 з пгсогстнгн>>ыг пнтсгезлы убывает пРи возРастзнин л и, сделана тельно, или имеет некотоРыи не у конечный прелел /, илн стремится к (->-оо). 1!окажем, чго то же булсг иметь л>есто н для нсякон лру>он нослслонз>сзьносги (Ь„) обласгсп, сужающихся к С; т. е. если х„— /, т>, Пусть х,— / 11рн э>со! хн --./ и ори любом ззлтшом з)0 сувои ствует такое полое положительное >з>, чы> х„о-/ — з нри и-,-/г'. рассмотрим какое-либ>о (>„).
Сун>естнусг, очевидно, такое и', что (Лк) приналлежит (в„), тзк что у„- х„- /, т. е. у„-"=./ при всех п. Дзлсс, существуеттакоеЛ/;чго(в ) нрн т,- /з! прннздзежит ля и прн >и. >ч' имеем у„--хч-='./ — з, отку>ю н слелусг, что у„ / прил-ьсо. Соверщенно зпзлогично докззьи>зстся, чго сели для одной нз последовательностей (Ь„) имеем х„+со, то н у„+ оп для ися. кой другой послеловзгельности. В первом случае, т. е. если для неко- торой последовательности х„ /, зо интеграл по (в) сходится и е! о величина равна /, а во втором случае он расходится. Если / (М) ( 0 н окрестности С, то, вынося минус за знак интеграла, придем к предыду>нему случаю.
1!оложим теперь, что /(Л!) бывает разных знаков. В этом случае мы будем рассматривать только абсолютно схадяи!неся интегралы, т. е. такие интегралы, что ((!у(м)!ь (>И ) го имеет смысл, т. е. сходится. В нем полынтсгрзльнзя функмия уже неотрнпзтельпа, и к нему применимы предыдущие замечания.
В чзсг. ности, нз этих ззчечзний следует, чзо если />(М) и /„(М) — лве положительные функции, /! (Л!) к- />(М), и интеграл от /, (М) сходится, то интеграл от />(Л!) и подзвно сходится, 1!жну фупкнив> Г( !!) можно предстзнизь и ниде рззности двух положительных функнин: ~(М)=!гг(М)! — ~,'/(М)~ — /(Л!)~. Интегрзл ((>!) по условию сходится. Тем самым сходи>ся интеграл от функции 2)/(М)> Функщт (11(М)! — У(М)~ ранна 2 !/ (Л!) ! н тех точках, где / (М) ~0, и р,>зна нулю, где /(Л!) ) О, т. е.
положительная функшж ! /(М) ~ — /(Л!) нч21У(М)~, и, следовательно, ин>егрзл от нсе тоже сходится. 11о тогда сходится и интеграл от разности (1(Л!)! — !~У(Л!)! — /(МН, от У(М). Итак, если интеграл (6!) сходня>ся, >па сходится и интеграл ат /(Л!) гкажеч одно досгато шое )славке сходичости инте! рала (6!) ее'!» в окрестности >паяли С функция удовлс>яворяет условию Л >г(М)!~ — р, где г — расстояние а>л С до переменной и>очьи М, 'й "Р-постоянные и р(2, то интеграл (61) сходил>ст 276 Гл.
!п. квлтнып и квнвол!!нейныв ннтггэллы !89 Доказательство этого условия такое же, что н приведенное да~ее доказательство аналогичного условпядля случая неограниченной области интегрирования. Совершенно аналог!опиям образом определяется несобственнып трехкратный интеграл по конечной области (!), если у(М) становится неограниченной в окрестности некоторой точки С, и все предыдущие рассуждения годятся и для такого интеграла. Только высказанное выше достаточное условие абсолютной сходимости интеграла в данком случае формулируется так: еглл в олрагтнослгн точли С функ!!ил Л удовлвгнворлет условию !г (М) ( ~ — „, адвг — расс!полнив огл С дз !!временной точки М, А и р — настоянные н р(З, то пнглегрвл 1$ $У(Л1) (о (62) абсолютно сходнтсл.
В данном случае условие р(2 заменяется условием р(З, так как в полярных координатах в пространстве элемент объема имеет выражение г(э=г" з!и Ь !(г г(Ь г(р (гз вместо г в !(а = г г(г !(Э). Рассмотрим теперь тот случай, когда область интегрированна (а) простирается в бесконечность во всех направлениях или просто неограннченз. Пусть (а,) — конечная область, содержащаяся в (а) и беспредельно расширяющаяся таким образом, что всякая точка Л1 области (а) попадает, начиная с некоторого этапа расширения, в (а,).
Считая 7"(М) непрерывной в (а), может составить интеграл 5Р(М)' нг! Если при беспредельном расширении (а,) этот интеграл стремится к определенному пределу, не зависмцему от того, каким образом (а,) расширяется, то зтот предел и называют интегралом от 7(Л1) по бесконечной области (а): $ Р(М) ~а = $ Р(М) д.. (6Л) !е! м~! Еглн 7(М))0 для всех достаточно далеких точек М, то интеграл (6>) прн расширении (а,) илн имеет определенный предел, или беспредельно возрастает. Для первого случая характерным является тот факт, что интеграл по любой области нли даже по конечному числу любых областей, принздлежацих (а) и лежащих вне круга с центро!! в начале и некоторым радиусом гв, остаетси ограниченным (при эгон он будет стремиться к нулю, если г, оо). Обозначим через (а) совокупность вышеупомянутых областей. Отметим еще, что ич определения несобствешюго интегрзлз следует, что, если сходится и!легран ') ') ! г (Л1) ! г(а, (65) (о! 277 » а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
