Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Формула (7) из [59[: в л г, $/(у)Иу=$ау $ г(х, у)г(х=')ах $/(х, у)йу (1) в у~ называется фоумулоа интегрирования определенного интеграла ло лараметру лод знаком ийтеграла. Она получает особенно простой вид, когда пределы х, и х, не зависят от у н приводятся к постоянным числам а, Ь [59[: а л л л ~ ((у) Ыу = $ г(у $ г (х, у) с(х = $ г(х $ У (х, у) Ыу. (2) Во всех втих формулах подынтегральная функция у (х, у) считается непрерывной функцией двух переменных в области интегрирования, а эта область считается конечной.
П р и м е р. Указанный выше прием применяется иногда для вычисления опрсделеннык интегралов от ф)нкцнй, дзн которых неопределенный ннтсграл неизвестен. Применим его для вычнслення пнжеграла Лапласа: /=~ е ' ах. (3) Пусть (В') — четверть круга с центром в на. чапе н радиусом г, лежащая в первом координатном углу, (В") — квадрат, ограниченный прямымн х=О; х=г: у=б; у=г н, наконец, (В'") — четверть круга с центром в начале п радиусом г Рг2(рис.
67). Очевидно (В') есть часть (В") н (В") — часть (В"'). Возьмем двойной интеграл по этим областям от положительной функции е л тл. Имеем очсвидные неравенства ) ) е л ахату( ~$ е "айхггу ~ 1 ) е л~ у~ах ау. пзч ~Ь"ч Вводя полярные координаты: х= рсоа у; у=топ Р, получим (59) а ~ -"-"4 О=~ » ~ -',Я поч Заменяя г на г )г 2, будем нчеть ~е " гулбу ( ''ч пГ 1 ~э1Р ' и, -т = — — — е гт — (1 — е ).
и тт '4 Интегрирование по квадрату (В") даст п написанное выше неравенство принимает вяд г к т ° — (1 — е ' ) ( ~~ е " ах~ л' — (1 — е т'а). о При стремлении г к бесконечности крайние члены неравенства стремятся к — а следовательно, к тому же пределу должен стремиться и средннп 4' чаем, охкуда вытекает следующее значение для лнтеграла (3): л ах У 2 а (4) 248 ГЛ. ПЬ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1вт 249 % З.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Нетрудно видеть, что (1, 96! + сп сп е «'б«=2~ е "'дх=ргй. (5) Если пользоваться несобственным интегралом по всему первому координатному углу, который мы обозначим через (Р), то результат получится нспосрелственйо. Действительно ~1е " з ихбу=~ е '* бх ~е у»с(уаар, »Р» и вводя полярные координаты: » т я Г ! р» Тр»п я Р= е Р рдрбр= с6р е Р рдраа — — — е о о откуда 1= —, что и совпадает с полученным выше результатом.
У 2 82. Формула Дирнхле. Задав в формуле (!) х, н х, как функции у н промежуток (а, р) изменения у мы тем саныч определяем некоторую область (а) в плоскости ХОУ. В приложениях часто встречается случай, когда зта область приво. дится к равнобедренному треугольнику, обрааовзнному тремя пряиымн (рис. 68) у =х, х= а, у=6. ь у Приводя двойной интеграл по площади 'етого треугоаьника к повторному и ннтегрн- о руя в одном случае сначала по х, а потом у-о по у, а в лругом случае сначала по у и потом по х, получим формулу ь з ь ь ,Г ~с(У ~у(х У) "тпа) бх~у(х, У)бу» (6) д о а а а Рнс. 66. которая называется формулой л(ири«ле. Пример.
(Зада ч а Абеля). Определить кривую, расположенную е вертикальной плоскости и обладающую тем своисавом, что п»яжслая материальная точка, падающая по эаой кривой, будучи выпущена без накальной скорости из любой точки кривой М на высоте й (рнс. 69) над самой низкой точкой кривой О, при«одиа е точку О е течение времени Т. «отаров есть данная функция от аысоты й» т = Т (й). Направим ось ОК вертикально вверх, ось ОИ горизонтально, начало тшордннат поместим в самую низкую точку вскопай кривой, уравнение которой ищем в зиле «=г(у). Положим ттл бу у'1-(-(у" (у))* =и(у)бу, и(у)=у!+(у (у))» ° (у) 250 ГЛ.
и|. КР4ГНЫЕ И КРИВОЛИНЕЯНЫЕ ИНГЕГР4ЛЫ (за По ззкону живых сил приращение кинетической ввергни при перехо.|е точки ««з начального положения 41 в Р/ будег равно работе силы тяжести, так как реакции кривой перпендикулярна иере. мощению гочки и потому не даег рзботы, г. е. 1 «гз —, "= 8(И вЂ” у), «(г ' пли «гг — «(з 1 — и (у) «(у )' 28(И вЂ” у) Р 2е )«и — в Рис. бй. причем ыы бсреы знак ( — ), так как при увеличении г высога у точки убывает.
Время падение из точки М в О соответствует изменению у ог И до О, а погому Р()«)=у== 1 «" и(ув) )«Гв У28 б) У И (8) Таким образом нам предстоиг определить неизвестную функцию и(у) пз уравнения (8), которое называется интегральным уравнением, гак как нейзвссгная функция и(у) вхолиг под знак интеграла. У 'множим обе части уравнения (8) на и проинтегрируем по И 1 Уг — И в пределах ог О до г: г г л Повторный интеграл, стоящий в правой части, можем преобразовать по формуле )(ирнхле следующим образом: «ГИ (' и (у) «ГВ ( )' и(у) У г И )/И вЂ” У Р'( — И)(И вЂ” )) и (у) «Гу .
(8) «УИ о рг (г — И)(И вЂ” у) Внугрснннй интеграл вычисляется без особого труда, если васс«и новую псрсмснн)ю г по форл|уле И=у+«(г — у) Ко|да И меняется от у до г, персмсннан г меняется ог О до 1, я мы инеем г — И=(а — у)(! — Г), И вЂ” у=(г — у)Г, КИ=(г — у)КГ, 4 в. иясоистпиниыи иитсгрллш откуда Ий ! Иг И1 рг(г-6) (й — у) ) )1((1 — ф,) .
/1 1 (,з )г 4 'т 2 ~1= ! л (' л~ 2 ! 21 =агс з1п (21 — 1) агс Ми! — агс г)п ( — 1) = — — 1- -~1= л и окончательно получаем г а р'2 о о нли и и (у) Иу = Е (г), (1О) где Г(г) есть известная функпия от г, определяемая по формуле )г2У 1' ф (Ь] Ий й) )г —, Дифференпируя соотношение (!О) по г, находим г ИЕ(г) ))ггуд И ~ ф(6) Ий Иг л Иг ) Ргг — 6 о что и дает решение задачи, так как, зная функпию и(у), без трупа найдем и х=1(у) по формуле (7). Мы пролслаем вто ао конка для частного случая шауюохроннод кривой, для которой время падения в самую низкую точку вообше не зависит от высоты А, т. е. т (й) =соп51 с.
Мы имеем тогда 'гггк 1 сбй с угу л ) )г-Л л о с Р 22 и (г)= Дли определенна х 1(у) имеем теперь, в силу (7), (И~)'+(Иу)' — — — (Иу)' ~И 2яса (Иу)з А 1 2лсз ! л' у у ла 1. Положим Иу — и з(п 1 И1. Мы найдем Г2а Г1 — соз 1 1 Их=Иу 1/ --1- 1/' ~7 у ~7 !+« ( — а мп 1) И1 — 2а плз И1 2 а=ге-а (1-ап 1), 252 гл. и. квдтиые и квиволииеииые интегралы нз 83. Лнфференцировнние под внвком интеграла. рассмотрим интеграл, зависящий от параыетра у: ) (у) = ~ у(х, у) Ых.
ь (12) Пределы а и Ь будем считать пока независящими от у. Положим, что у(х, у) непрерывна и имеет непрерывную частную производную ду(х, у) в прямоугольнике: а~х~д! пм.:;у~~. Покажем, что прп ду зтих предположениях существует производнзя —, которую атожно ач (у) ду получить, дтгфференцпруя по у под знаком пнлчеграла, т. е.
ь ь « ~ у(х у), ~ дУ(», у) дх (1З) Приращение Ы(у) функции )(у) определяется формулой ь Ы (у) = у(у + ду) — ! (У) = $ (у (х, у+ Ьу) — у (х, У)) Ых. (14) О Применяя формулу конечных приращений, получим У(х, у+Ьу) — У(х,у)=лудУ~" Уд+МУ' (0(8(1). (15) Принимая во внимание равномерную непрерывность функшш ду(х, у) в упомянутом выше прямоугольнике, можем написать ду ду(», у+аду) ду(», у) и утверждать, что т)(х, у, Ьу) равномерно по отношению к х и у стремится к нулю, когда Ьу-ьб, т. е. при любом положительном а где х, — постоянная ннтегрировання. Читатель легко покажет, что полученная кривая есть пнклонла, но только расположенная не так, как пнкло1тза (1т Уй).
В дальнейшем мы покажем, как выполнить дифференцирование по з в общей формуле (1!). Сделаем некоторые замечания по поводу полученного решения. Отметим, что мы получили решение (11) интегрального уравнения (8), предполагая, что такое решение существует, Строго говоря, мы должны еще проверить решение (1!), т. е. подставить выражение (!1) для и(а) в уравнснпс (8), и показать совпадение левой н правой частей. Заметим еще, что двойной интеграл (9) является несобственным в том смысле, что его подыптегральная функция обращается в бесконечность. Из дальнейшего мы увидим, что он существует, и нетрудно показать, что формула (1), приводящая с~о к повторным интегралам, применима в данном случае.
а ь. несОБстВенные интеГРАлы существует такое 3, что ~4(х, у, цу)1-=ь, если только ~Ьу!(Ь. Отсюда следует, между прочим, что ь ь ~ ~ 4 (х, у, ььу) Ых ~ ( ~ ь Их = а (Ь вЂ” а) ( ) ду ( ( Ь), ь О в ввиду произвольной малости а мы имеем ь '1 т,(х, у, йу) Ых -ь О при оу -ь О. (17) « Вернемся к формуле (14). Пользуясь (15) и (16), можем написать, принимая во внимание, что ду не зависит от х: ь ь Ь7(у) = Ьу ~ д ' У (х+ Ьу ~ 1(х. у Ьу) (х. ду « « Деля на ду и переходя к пределу, получим, в силу (17), ь Ф т. е. формула (13) доказана. Заметим, что если предположить непрерывность только самой функции г(х, у), то иа формулы (14) и вв того, что разность 1У(х, у+Ау) — Г(х, )ь)1 равномерно по отноьпению х и у стремится к нулю при ььу-ь О, вытекает уже, что 1(у) есть непрерывная функция от у.
Рассмотрим теперь при прежних предположениях относительно К(х; у) интеграл 7,(у)= ~ г(х, у)ь(х, (18) «1 в котором и пределы интегрирования хь и х„принадлежащие промежутку (а, Ь), еависят от у, причем мы предположим, что вти функции имеют производную по у, а тем самым и непрерывны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
