Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 40
Текст из файла (страница 40)
1. 1!ентр тяжести однородного шарового сектора (рнс. 53). При том выборе координат, которыя указан на чертеже, достаточно найти только ординату )))*и' (э! ь' о Мы имеем здесь л) = — »п! й 2» 3 оээ ~ сер ~ ми Вйв й! р йр = — га'(1 — соз Г» 2 3 о о о л» л э » ') ) $яйо=~ (тр~ а1п 6((6~ р солар»(рр=2я~ а!п 6 созе (э! л йа~р йр = — а' (1 — со! 2»), 8 3 1 — сов 2я 3 3 я = — а = — а (1 + соз») = — (2а — М 16 1 — соа л 8 8 где а — радиус шара, 2О8 гд.
п!. кратные и криволинеиные интегралы ня суть момемшм инерции относительно осей ОХ, ОУ, ОЛрнаконец, выражение а а, кРАтные интеГРАлы 2ОВ й. Вели считать, что масса распределена лишь по пшровой повераион (д) сектоРа, то оРлнната центРа тЯжести бУдет Ц я рта я ° а р„, „)ч. в „„„„„„, рр„„, „„р„ +р'+" р """ у — )~а ), а р 1 л ( Р' Р.РУ)-р так что ~ ~ *(Га =' ~ ~ я- — Лдд = а ~ ~ ((аагаа чав а(пва, (Ф ) (а лу где 4аад) есть очевидно круг с центром в начале н радиусом а аш а. Пяошадь а будет Ъ ) а* а в)яв ° аа ~ рте ~ =2аав((-сова), г ртг р' аа — г' о о и окончательно яав а(пв а а "-т' р)=..т-'""*.
В предыдущем примере мы имели для я меньшую величину д д а — а (! + С(а а) аа — а С(нв —, 8 4 2' г 3. Если центр тяжести совпадает с началом координат, то.все статкческие моменты равны нуякч что непосредственно вытекает из соотношений: ~ ~ ) хгрти= ыхя, (ч) 551уу( - у„ (ь) ) ) ) яу((о=та . (ч) Рис.
54. 4 Моменты инерции однородного прямого кРугонет в цилиндра (рис. 54) относительно оси цилиндра и относительно диа- Рв его среднего сечения. Считаа плотность постоянной и равной 2)О ГЛ. ПГ. КРЛТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРЛЛЬ3 )йи мы имеем щ я л дя д,=г, ) () . ° .ч -гг,)я). ° ) * -%1.= а ям (эг л а зя а я Уг = уа5 $ $ (г'+ г' в)п' Р) г г)г г(Р г(г = 2уа ) Ер $ Ег ~ (г'+ г' в)п' Т) г Ег ~ (я1 с Ы Л я Зя л я ~ 2Уя ~ Еу ~ г' Ег ~ гг)с+ 2/а ~ мп' У с(У ~ г(г ~ г' г(г ~ о с в о а о — яйааУ, -)- — Ьл'та=гл г — + -) гее 25 — высота пилиндра, а — радиус его основания н т — его пасса.
5. Моменты инерции озноролного вззипсоила га уа гэ + Т+ 1' и' Ь с' Обозначаа плотность чеРез Ум имеем, Разбиваа на слои, паРаллельйые плоскости ХО)г: +с лт т 2 г=уь ~ ~ ~ л'ЕхФуг(г= уй~ г'ялЬ (1 — — ) Фг=* с') 1я1 -с гс' стт 1 ° ы 2яаЬ/ ~ — — — ) = гл — ст. а)З 5) 5 Переставляя буквы, найдем без трупа 1 /т.=гл ° 5 а'„ 1 ггг юббв, у„= и — (с'+ а'), У, = гл — (и'+ Ь ) т 5 л«+ «а 5( + 1 $ 1 у щ ( л т ( Ь т + с т ) 1 б. Кинетичссная звертив при вращении твердого тела вокруг оси (М, Как известно, при вращении тела вокруг осн (Ь) с угловой скоростью я. скорость Ьг кажзой точки тела равна по величине произведению угловой скорости на расстояние точки от осн вращения.
для вычисления нняетя" леской знсргни тела разобьем его нз злементы массы аю и кинетичссь)ю энергию соответствующего влемспта обозначим через ЛТ. Мы имеем т='ЯВУ. Ввиду малости ззсмента Ьщ мозгно представить, что вся его лгасса сосрсзо точсна в олной какой-нибудь его точке М; тогда кинетическая внерпщ з влсмента Ьгл бузст равна 1 1 ат= — Ь"аю = — ' и(М) ао, 2 2 а гле у(М) есть плотность тела в точке М н га — расстояние точки М о в т. НРиВОлинейные интегпллы 211 н (В). В сиаУ опРеделенпЯ тРехкРатного интегРала полУчзем отсюда у — ~ ~ ~ — 'гту(м)а = — 'уа, /а=(111(1гау(м)б ° я 1 я (я( 2 2 момент инерции тела относительно осп вращения (В).
З а м е ч з н и е. Иногда при зычисаении объема тела нлп какого-нибудь момента удзется произвести все вычисления не с помощью тройного, а с помощью вводного или даже простого интеграла. Дело заесь заклю„ ется л том, что при представлении тройного интеграла, как двойного ог простого нли простого от двойного, удается иногда вычислить анутреннип „„теграл из каких-либо элементарных соображения, не производя интегрирования. Это и создает такое впечатление, что для вычисления понадобился ие тройной интеграл, а злобной или простой. Так, например, момент инерции з„г относительно плоскости ХОУ тела(Р), ограниченного плоскостями з = О, з =' Д н пояервностью, образованной вращением липни х =г"(а) вокруг оси ОЕ, можно вычислить простым интегралом, если прелстазнть себе тело составленным из круглых плоских дисков, параллельным плоскости ХОУ.
Объем такого элементарно(о диска равен и л)'лл, и можно написать (у( ) — — ~ ля (у(з))т йл. Тот же момент инерции выражается тройным интегрзлом я / Г г) )г)г за((лбу ба г( тз ба г1 г) блоу. (ы где (л ) — сечение (о) плоскостью, параллельной плоскости ХОУ на расстоянии з от етой плоскости. Впутрейний двойной интеграл дает площадь (а ), к е. ои равен я (у(з))я, $7. НРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 69.
Определение криволинейного интеграла, Положим, что мы имеем в пространстве некоторую кривую (1), которая имеет определенное направление (рис. 55). Пусть А — начало и  — конец этой кривой Будем на крнвоп (1) отсчитывать длину дуги от начальной точки А. Положим, что на (1) (ья'0 валена непрерывная функция г(М), етя разделим (1) на и частей проме- ч.ь жуточными точками: Ма, Мь .. Мя-( М причем М, совпадает вь с А и М„с 8. На каждом участке М аМщ((д=0,1,..., и — 1) возьмем км(ую-нибудь точку А(л и составим й сумму и, М, Нт я — ( л ла Хг(А(а) Ьаы Рис, 55, а е гда мел — длина дУги М„Ма+, кРивой (1). ПРедел втой сУымы пРи 212 ГЛ.
(и. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕИНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (»3 беспредельном возрастании числа делений л я беспредельном умень. шенин каждого из участков М»М»+, называется крияолинейнм.я интегралом от функции 1(М) по 1 и обозначается так: »-! $ 1 (М) (Е = Вш ~ У(Е(Е,) Да». (1) к( » а Положение переменной точки М кривой (Е) вполне определяется длиною дуги а= (.( АМ, так что функцию е(М) можно считать функцией независимой переменной а, т.е.
е(М)=е(а), и интеграл (1) является обычным определенным интегралом и( где 1 — длина дуги кривой (Е). Заметим, что кривая (Е) может быть и ззмкнутой, т. е. В может совпадать с А. 1(о сия пор мы не использовали того факта, что крлвая (1) имеет направление, В дальнейшем наи это будет важно. Отнесем пространство к прямолинейным прямоугольныи осям.
Положение переменноп точки М определится координзтами (х, у, г). Пусть Р(х, у, г)— некоторая непрерывная вдоль кривой (1) функция. Обозначим через (6», т(», (ч() — коорлинаты точки 1»(» и через пх» — проекцию направленного отрезка М»М»„на ось ОХ. Величина Ьх» может бы(ь, конечно, и положительной и отрицательной и даже равной нулю. Составим сумму произведений Р(Е»Е»)=Р(»», ти» С») не на Ьз», а па Ьх», т. е. сумму »-( ~ ', Р (6», »1», С») дх». Предел этой суммы называется криволинейным интегралом ог Р(х, у, г) по (Е) и обозначается так: » — ( ) Р(х, у, г)((х= 11п( Е , 'Р(»», й», с») дх». ю Совершенно аналогично определяются интегралы: ~ О(х, у, г)(1у (и $»с(х, у, 2)(Ег, (и где О(х, у, г) и 11(х, у, г) — непрерывные функция вдоль (Е).
Сила дывая этн три интеграла, получим криволинейный инл(еграл оби(его а т. кРиВОлинейные ин11егРАлы 213 1а, который обозначается так: ) Р(х, у, г)Их+ а(х, у, т)ау-Г-н(х, у. «)Ид н) По определению интеграл (2) является пределом суммы следуюшего вада: я — 1 за ~ь) лта1 (3) а а где буд, беа проекции отрезка МАМ„„на оси Ог' и Ое.
Не трудно установить связь между интегралом вида (2) и интегралом вида (1). Координаты (х, у, з) переменной точки М кривой (l) можно считать функциями длины дуги з= АМ. Производные этих функций дают, как известно 11, 160), направляющие косинусы касатсльной к кривой Я, т. е. лх лу нг аа ' ' аа ' ' аз — =соя(1, Х) — =сов(1. ?'), — =сов(1, 3), где 1 — направление касательной к (1) в переменной точке М, имеюшее то же направление, что и направление кривой.
Символом (а, р) мм обозначаем, как всегда, угол, образованный направлениями а и прячем значение косинуса етого угла не зависит от направления его отсчета, которое мы в данном случае и не фиксируем. С точностью до малых высших порядков можно считать, что дха=соз(1а, Х)ба„, цу„=сов(1н Г)дан бг =сов(1а, У)бза, где 1а — направление касательной в точке Ма, и интеграл (2), как предел суммы (3), приводится к виду (1): ~ Рйх+ ()~у -«-)с ба— 1Е = 1 (Р соз (1, Х) + Я соз (1, У) + Я соз (1, Я)1 г(а, (4) ш где Р (). й можно считать функциями а вдоль Я.
Пусть имеется уравнение кривой я в параметрической форме; х=в(т), у=ф(т), з=м(т), (б) "Р"чем при изменении параметра т от а до Ь точка (х, у, а) описывает кРивую я от А до В. Мы будем считать, что функции (5) не епрерывны и имеют непрерывные производные первого порядка в ззм замкнутом промежутке (а, Ь), причем для определенности мы считаем а< Ь. вложим, что точкам М» соответствуют значения параметра т = тд. ссмотрим первую из сумм (3). Пусть т'=та — значение параметра, 2\я ГЛ. !П. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ !«а соответстауюшее точке (1«, 3«, с«) кривой.
По формуле коне пи!х приращений [1, 63] можем написать дх« — — ~р(т«и) — <р(т«) = в'(т«)(т»„— т ), где т« — некоторое значение т из промежутка (т,, т«+!). Таким обра зом упомянутую сумму можно переписать в виде а †! а †! Р(!«, т1«, С«) Ьх« = ~ Р[о(т«), ф(т«), м(т«)] !р'(т«)(т«+! — Т«). (6) «=о «о Эта сумма очень схожа с суммой а — ! о = ~ Р [!р(!«), Е(т«), м(т«)] <р'(т«)(т«! — Т«), которая в пределе, при стремлении наибольшей из разностей (т«+! — т«) к нулю, стремится к определенному интегралу « )РЙ(') Ф(') "'(')] у'(т) ег' (7) 1(окажем теперь, что разность суммы (6) я о стремится к нул!о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
