Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 19
Текст из файла (страница 19)
ЛР Е ат ЕС ЕС ' (53) впивая это уравнение с уравнением (50), вядим, что член —— Р ло е лг аналоги чен члену, происходящему от сопротивления; член —, о— 1 96 гл. п, лннеиные днээепенцньльные хгавнения 134 члену, происходящему от восстанавливающей силы; свободный член Е Еь —; — члену от возмущающей силы.
Если найдем о из уравнения (53) и подставим в формулу (52), то сможем определить Е 34. Собственные н вынужденные колебания. Рзссмотрим однородное уравнение х'+ 2Ьх'+ Ььх = О, (54) соответствующее тому случаю, когда отсутствует внешняя сила. Ревение этого уравнения определяет свободные, нли, как говорят, собственные ьолебания. Соответствующее характеристическое уравнение будет г'+ 23г+ Ь'= О. (55) Лальнейшее исследование разобьем на отдельные случаи. 1. Затухающее колебание. В большинстве случаев коэффициент сопротивления Ь невелик по сравнению с коэффициентом восстановления Ьа, так что равность (Ь' — Ь') есть число отрицательное: Ь' — Ьь = — рч. В этом случае уравнение (55) имеет мнимые сопряженные корни г,,= — Ь ь-рб н мы имеем общий интеграл уравнения (54) х=е "'(С, сов рь'+С, з1п р$).
С,=Аз1пу, С,=Асов р, (56) Полагая (57) преобразуем решение (56) к виду х Ае-ы з1п (р(+ у) 2я нли, полагая р= —, (58) х= Ае з1п ~ — +~у) . т /2яв (59) х = А з! п (М+ э). (60) 2я Это будет чисто гармоническое колебание с периодом ч= —. Фора мула (59) дает затухающее колебание [1, 69], причем множитель е "' характеризует быстроту затухания. В промежуток времени, равный периоду, амплитуда уменьшается в отношении е "'.
Значения постоянных С, и С, в формуле (56) илн, что то же, постоянных А и у Здесь ч есть период свободных гсолебанай, А — начальная их алсллитуда н ~г — начальная фаза. Если не принимать в расчет сопротивление среды, т. е. положить Ь = О, то уравнение (55) будет иметь корни г ='+' И, и вместо (58) получим и1 $ а. ОвщАя теОРия и уРАВнения с постоянными кОзееициьиглми чг а формуле (58) зависят от начальных условий. Положим, что начальзые условия будут х~,а=ха, х 1г а=ха (61) Подставляя в формулу (56) 1=0, получим С| — — хм Лифференцируем формулу (56) по й х'= — йе "'(С, соя ра+С, жп рс)+ре "'( — С, з1п рт+С, соя рс), откуда, подставляя 1 = О, получим х„+ йх, У Р (62) и окончательно решение, удовлетворяющее начальным условяям (61), будет х=е "'~х,созр1+ ' 'а1пр11. х,'+ йх, (63) Р Заметим, что в решении (63) коэффициент затухания й и частота колебания Р=)г йа — й' определяются вполне по коэффициентам уравнения (54).
Что же касается амплитуды А и начальной фазы <р, то они зависят от начальных условий, и, в силу (57), мы можем на- писать равенства А а1п и=ха, А сову ч+ а х)+йха Р йа — йя = 4а, то корни урзвнения (55) будут г, = — й+ф и мы имеем [28ф (64) х = С,ем "и+ С,е 'а~а". (65) При этом очевидно, что д(й, и оба корня (64) отрицательны, а потому х стремится к нулю при беспредельном возрастании й Лифференцируем равенство (65) по й х'= С1(у — й)ега "" — С,(д+й)е 'т+~1г.
(66) Полагая в равенствах (65) н (66) 1=0, получим два уравнения для определения постоянных С, и Ся через начальные данные (61): С1 + Са = ла (~7 — й) С~ — (Ч+ й) Ся = ха откуда (4+ й) хч+ х( г (4 — й) хч — х) из которых А и р и определяются. Если й=О, то везде надо заменить р на й. 2. А п е р и о д н ч е с к о е д в и ж е н и е.
Если разность (й' — й') будет положительнои; 98 ГЛ. П. ЛИНЕЛНЫЕ ДИФФЕРЕНИИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1аа 3. Спепиальнын случай апериодического движенияя. Если, наконеп, )со — ля=0, то уравнение (56) имеет кратный корень г,=го= — — )с, и окажется [28]; х=в "'(С!+С,с), (67) Ввиду того, что при беспредельном возрастании 1 функпия се "' стремится к нулю [1, 66], выражение (67) также стремится к нулю.
Неоднородное уравнение х + 2)сх'+ 9ох =1(1), (68) в котором свободнып член с(1) происходит от внешней силы, определяет вын)сжделкае холебанцсг. В случае чисто гармонического собственного колебания х'+ 7сох =7 (г) мы имеем общий интеграл этого уравнения [29]: с х = С, соз сас+ Со а1п И+ — ~ у(ц) а!п А(1 — ц) с1ц, 1 г о причем последнее слагаемое справа дает чисто вынужденное колебание, т. е.
решение уравнения (69), удовлетворяющее нулевым начальным условиям х],,=х'],,=О. (70) Пользуясь тем же методом изменения произвольных постоянных, можно показать, что в том случае, когда собственное колебание есть затухающее колебание, частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (70), будет с хо(1)= — е "с (! е""с (и) а1п р(1 — и) йс, Р и в апериодическом случае это частное решение будет с с х (1)= — есо ! есь-о!оу(сс)ссц — — в (о+А) ~в!о+А)оу(сс)с(сс (72) 1 г 1 2с) 2ду о о Предоставляем сделать это читзтелю. 35. Сннусоидальная внешняя сила и резонанс. В приложениях свободный член часто бывает синусондааьиой величиной х" + 2Ссл" + Дох = Нс а!п (ыС + тс).
(73) В настоящем случае будем искать решение уравнения а виде сннусондальной величины той же частоты ы, что н в свободном члене [30]: =лгал( с+э,+а). (74) зз! ь з. окщля теория и нривнения с постоянными коэююициентлми 99 Возводя почленно в квадрат и складывая, получим Ио — А!о [(Ио ао)о+ 4Иоао[о откуда находим Ф= Н о (И" — а')о+ 4Иоао Подставляя это значение Ф в предыдущие выражения созЬ и з(пз, получим формулы для определения Ь: И' — а' 2Иа созЬ=, ашЬ= . (76) )' (И' — а')'+ 43"а' г' (И' — а')'+ 4И'а' Имея значения Ф н Ь, согласна формуле (74), будем иметь синусоидальное частное решение уравнения (73).
Общее решение этого уравнейпя будет х=Ае "'мп (от+ т)+ Мзш (ах+ т, +Ь), (77) (75) где А и т — произвольные постоянные, опредсляемые по начальным условиям. При этом мы считаем, что И' — Иоаа — ро(0, т. е. что собственныв колебания суть затухающие колебания. Ввиду наличия множителя е "т(И ~ О) первое слагаемое в выражении (77) быстро убывает при увеличении г, так что это слагаемое заметно влияет на величину х лишь при А близких к нулю (устанавливающпйся процесс), а в дальнейшем величина х определяется почти исключительна вторым чиста сииусондзльным слагаемым, не зависящим от начальных условий (установившийся процесс).
Исследуем теперь формулы (75) и (76), служащие для определения амплитуды А! и разности фаз Ь решения (74) н свободного члена в уравнении (73). Если бы в правой части уравнения (73) стояла только постоянная На то )равнение х" + 2Их'+ Иох — Н имело бы очевидное частное решение в виде постоянной Ио '= Й. Надо определить амплитуду Ф и сдвиг фазы Ь этого колебания. Подставляем выражение (74) в уравнение (73) — аоИ а)п (а! + то+ Ь) + 2йаФ сов (ар+ то+ Ь) + +йомали( Г+т +Ь)=Н з) ( Г+т,), Аргумент тригонометрических функций, стоящих в левой части равенства, представим в виде суммы двух слагаемых (а!+у,) и Ь.
Пользуясь форму лами для синуса и Косинуса суммы, получим [(И" — а')Фсазв — 2ИаИып Ь[мп(а!+ р,)+ + [2Иайт сов Ь + (И' — а") М з)п Ь[ соз (ар+ р ) = Но а!п (а! + ро). Приравнивая коэффициент при з)п (ар+ т,) постоянной Н, и при сев(а!+ то) нулю, получим два уравнения для определения Ат и ь: (И' — ао) Фсоз Ь вЂ” 2ИаИ эш Ь = Иа 2ИаИсгм Ь+ (И' — а ) У ми Ь О. Решаем их относительно сов Ь и з!па: (И' — а') Ио ° Ь 2йа Но Ф [(Ио — ао)о+ 4Иоао[ ' Л! [(И' — ао)о+ 4И'и" [ 1ОО гд. и. линейные диооепенинлльные нндвннния нз РГ (йл — ы')'+ 4й*ы" ~ Г~ я*та 46' нл - '1 '+ д*)' й й Из последнего выражения видно, что д зависит только от двул отношений и 2И 6= ° 7= й' д' (78) смысл первого отношения.
Если бы сопротивление отсутствовало, то собственные колебания выражались бы по формуле (60> х = А нп (йс+ ч) Выясним меяанический 2я и имели бм период ч= —. Перяод й' возмущающей сиам обозначим через 2л Т= —, Лля о получим тогда ы' т Т' (79) т. е. о равно отношению периода свободного колебания системы без сопротивления к периоду возмушаюшей силы. Таким образом, дая величины Х получим Р им ь, (30) 1 У )' (1 — 6')'+7"6* ' Рнс. 16. где значение 6 объяснено выше, а постоянная 7, как зто видно нз ее определенна, ве аависит от действующей внешней силы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
