Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Основные уравнения (571). 195. Устзнозиванесл про. цессы (572). 196. устанавливэющмеся процесса (5741 197. При- огданппнии мены (577). 198. Обобщенное уравнение колебаннй струны (580). 199, Йеограничепная цепь в общем случае (584). 200. Способ фурье дла ограниченной цепи (586). 201. Обобщенное волновое уравнение (590). и 19, уравнение Лапласа.
. 592 202. Гармонические функции (592). 203. Формула Грина (594). 204, Основные свойства гарыопическик функций (599). 205. Реше ние задачи )(ирпкле дла круга (603). 206. Интеграл Пуассона (606). 207. Задача Лиридле для сферы (610). 208. Функция Грина (614), 209.
Случай поаупространства (616). 210. Потенциал объемнык масс (617). 2П. Уравнение Пуассона (621). 212. Формула Киркгофа (625). й 2(ь Уравнение твпаопронодностн.. 628 2!3. Основные уравнениа (623). 214. Неограниченный стержень (629). 215. Стержень, ограниченный с одного конце (634). 216. Стержень, ограниченный с обонк концов (639). 217. Дополнительные ааюечанил (641). 218.
Саучай сферы (642], 219. Теорема единственности (645]. Алфавитный указатель, 649 ПРЕДИСЛОВИЕ К ДЕВЯТНАДЦАТОМУ ИЗДАНИЮ Общий план настоящего издания второго тома тот же, что и в предыдущем издании. Существенные изменения внесены в первые две главы, посвященные дифференциальным уравнениям. Уже в п. 2 оервои формулируется теорема сушествования и единственности решения при начальном условии, и остальное изложение проводится в мепосредственной связи с втои теоремои, Эначительно расширено содержание $ б второй главы. В в 9 третьей главы после наложения теории меры Жордана и исследования интеграла Римана излагаются теория меры Лебега, свойства измеримых функций и интеграл Лебега. В связи с втим $ 1б шестой главы содержит изложение свойства .класса Е, и теорию ортонормирозаиных систем функция втого класса, Первые три главы были прочтены С. М.
Лозинским, от которого я получил ряд ценных указаний. Выражаю ему мою глубокую благодарность. В. Сиириов П деаабрн !964 г. ГЛАВА ОЕЫКНОЕЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ $1. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА !. Общие понятия. Дифференциальным ураанекием называется уравнение, которое, кроме независимых переменных и неиаэестиых функций этих переменных, содержит еше и произволные иеизвестнык функняй илн ях дифференциалы (1, 611. Если функции, входящие в двфференпиальиое уравнение, зависят от одной независимой пере- манной, то уравнение называется обмкнуйдйидьц цеВ)фййаиц уравнениеЕ Если же в уравнение входят частные производные неизвестных функций по нескольким независимым переменным, то уравнение нзэывают дифференциальным ураяиеиием с часглиыми лроизаадиыми. В настоящей главе мы будем рассматривать лишь обыкновенные дифференциальные уравнения, и большая часть главы будет посвящена тому случаю, когда задано одно уравнение, содержащее одну неизвестную функцию.
Пусть х — независимая переменная и у — искомая функция этой переменной. Общий вкд дифференциального уравнения будет Ф(х, у, у', у", ..., уоо) =О. Наявысший порядок л производных неизвестной функция, входя. пшх в уравнение, называется порядком дифференциалького урааяеиия. В настоящем параграфе кы будем рассматривать одно обыкновеяное дифференциальное уравнение иераого лорядка. Обшяй внд такого уравнения будет Ф(х, у.
у') =0 илн, з решенной относительно у' форме. К=1(х, у). (2) Пользуась другим обозначением производной, можем записать это .уравнение в виде ." =/(х, у). иу 10 гл. ь ояыкноввнныв днооявянпилльныв ивлвнення и Если некоторая функция у=у(х) (4) удовлетворяет дифференцяальному уравненяю (1) или (2), т. е.
если вто уравнение обращается в тождество относительно х пря замене у и у' на у(х) и 4ь'(х), то функция (4) называется решением втого дифференциального уравнения. Сама задача нахождения решений дифференцкальиого уравнения называется обычно задачей интегрировония дифференциального уравнения. В простейшем случае, когда правая часть уравнения (2) не содержит у, получается дифференциальное уравнение вида у'=г (х).
(5) Нахождение его решений есть основная аадача интегрального исчисления 11, 661, и все множество этих решений дается формулой у = $ У(х) йх+ С, (6) где С вЂ” произвольная постоянная. Таким образон, в этом простейшем соучае имеется семейство решений дифференциального уравнения, содержащее произвольную постоянную. Как ны увидим, и в общем случае дифференциального уравнения первого порядка мы будем иметь семейство решений, содержащее произвольную постоянную: у= в(х, С).
(7) Такое семейство решений называется дбиьйлс кддавгрдма.к уравнения. Общий интеграл может выражаться в неявнои форме илв в форме, решенной относительно С Ф(х, у, С)=0 или м(х, у)=С. (7) Придавая произвольной постоянной С различные численные значения, будем получать различные решеияя уравнения — так называемые частные решения уравнения.
Укажем геометрическую интерпретацию дифференциального уравнения н его решений. Если рассматривать х и у как координаты точек плоскости, то дифференциальное уравнение (2) определяет в каждой точке (х, у), где определена функцяя 7(х, у), угловой коэффициент касательной у' к некоторой линии. Искомое решение (4) уравнения (2) есть такая кривая (в частном случае — прямав), которая в каждой своей точке имеет угловой коэффициент касательной у, определяемый равенством (2). Такая кривая называется йпдаййдйданой кугвой дифференциального уравнения. Иначе говоря, понятие решения уравнения (2) совпадает с понятием интегральной крмвой (в частном случае — прямой) этого уравнения на плоскости ХО У. Общий интеграл (7) дает бесчисленное множество интегральных кривых или, точнее говоря, семейство кривых, зависящее от одной произвольной постоянной.
а ь уРАВнения пеРВОГО поРядкА Положим, что функция у(х, у) однозначна н непрерывна в яекоторой области В плоскости ХОУ. Пусть ляпая ), соответствующая решению (7), прянздлежит этой области, я функция у(х) определена из некотором промежутке ! Вэменениа х. Говоря о решеннв (4), мы, согласно сказанному выше, считаем, что у(х) непрерывна и ямеет прояэводную для х, принадлежашяк !. Если к промежутку ! прннадлежят его левый конец, то прояэводная у'(х) есть производная справа, а на правам конце — прояэводная слева. Из уравнения (3) и непрерывности у(х, у) непосредственно следует, что и производная у'(х] решения непрерывна на !. Во всем предыдушем мы считаем, естественно, что все функции однозначны.
Иэ однозначности у(х) следует, что прямые, параллельные оси О ); могут пересекать янтегральную кривую не более чая в одной точке. Если мы перепишем уравнение (2), илв (3), В зиле чк 1 иу у(к, у)' (3Д т. с будем считать не у функцией от х, а х функцией от у, го прямыц параллельные оси ОХ, могут пересекать интегральные кривые не более чем в одной точке. Пусть интегральная крнвая ! уравменяя (2) такова, что не только прямые, параллельные оси ОУ, но и прямые, параллельные оси ОХ, пересекают ее не более чем в одной точке, т. е. в уравнения у=-у(х) функция у(х) имеет однозначную обратную функцию х=ф(у). При этом ! является и янтегральиой кривой дяфференциального уравнения (3,).
В дальнейшем иы будем иметь дело главным образом с уравнением вида (2). 2. Определение решения по начальному условию. Теорема существовяняя н единствениостя. Простейшее уравненяе (5) имеет бесчнсленное множество решений, поскольку в формулу (6) входит произвольная постояннак Но нетрудно покзэать, что мы получим вполне определенное решение уравнения (5), есля постзвям так называемое начальное условие, а именно потребуем, чтобы искомая функция у пряяимала заданное значение уа при заданном значении х=хе Это начальное условие запишем в виде у ~к - кА = уи (8) Лействятельио, пусть г(х) — непрерывная на некотором промежутке ! йункцчя и точка «=«, принадлежиг !. Заменяя з формуле' (6) "еопределенный интеграл определенным с переменным верхним пределом х в ножнам пределом х„вместо (6) получим 12 гл.
~ овыяновенные днввеяенииальныя вяавняння Первое слагаемое обращается э нуль при х=х„и чтобы удовлетворить условию (8), нздо положить С=уз, Таким обрззом, уравне. ние (5) при начальном условии (8) ямеет единственное решеняе « у= Р((И(+уз «О Отметим, что это решение имеет место яо всем проиежутке /. Аналогично, если мы имеем общий интеграл (7) какого-либо урая. кения (2), то для удовлетворения начальному условию(8) надо определить произвольную постоянную С из равенства да= й(х С)- (9) Обратимся теперь к геометрической интерцретзции. Положим, что функция у(х, у) определена в некоторой области В плоскости ХОУ и в втой области однозначна и непрерывна. В каждой точке (х, у), принадлежащей В, иэ урааиеняя (2) определяется, как мы уже упоминали, угловой коэффициент у касательной к искомой интегральной кривой.
Через точку (х, у) проведем небольшой отрезок прямой, образующий с осью ОХ такой угол з, что 18а=у', и придавим атому отрезку какое-либо направление (переход к противоположному направлению не изменит 18и). Мы видим, что уравнение (2) равносильно определению в области В паля лалрдйдлллгй, т. е. в каждой точке области В уравнение (2) определяет некоторое направление. Интегральные кривые уравнения (2) суть кривые 1, лежащие в области В и обладающие следующим свойствош в каждой точке (х, у) касательная к 1 имеет направление, определяемое указанным выше у полем направлений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
