Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 4
Текст из файла (страница 4)
рассматривать х и у как функции вспомогательного параметра 6 то уравнение (14) заченится системой двух уравнений для двух функциЯ х н у независимого переменного Е ах у аг (! 6) Здесь поле направлений определено на всей плоскости, правая часть непрерывна и имеет непрерывнукь производную по у на всей пло. скости и область В теоремы А есть вся плоскость.
Через всякую точку плоскости проходит .единственная интегрзльная кривая, которая иа всем своем протяжении не имеет общих точек с другими интегральными кривыми. Переменные в уравнении (16) разделяются, я общий интеграл имеет вид — — или (х+ С) у = — ' 1 л+ (17) Это — семейство равнобочных гипербол, имеющих центр в точкзх ( — С, 0) и асимптоты у=О и х= — С. Кроме того, уравнение (16) имеет очевидное решение у = О.
Уравнение (!7) дает две интегральные кривые (лве ветви гиперболы): 1 у= — — - при — со(х( — С х+С у = — при — С(х(+ со. 1 х+С Первые иэ них при всевозможных С заполняют без пересечений верхнюю полуплоскость (у~О), а вторые — нижнюю (у(0). Интегрированием систем мы эайменся в дальнеяшем. Рассмотрим еще уравнение (14) при а=1. Из (15) получаем у" — ха=2С. Семейство интегральных кривых содержит все раанобочные гиперболы и нх асимптоты у = + х. 8. Рассмотрим уравнение ау 4тх уя !8 гл. ь овыкнованныв днииввенцнальные ттавнвння Решение у=О может быть формально получено из (17) следуюшим образом: во второй нз формул (17) заменим С на 1/С и помножим обе части на С, что приведет к формуле (Сх+1)у= — С, откуда при С=О н получаем у=О.
Эта прямая вместе с упомянутыми гиперболами заполняет без пересечений всю плоскость. 4. Уравнение .т Зутга (1 8) определяет поле направлений, как в примере 3, на всей плоскости. Переменные разделяются, и общий интеграл выражается формулой у=(х+С)'. (19) Это есть семейство кубяческих парабол, которое получается нэ параболы у = х* параллельным переносом вдоль оси ОХ (рис. 2).
Уравнение (18) имеет также решение у= 0 (ось ОХ), которое не получается из формулы (19) нн при каком численном значении С. Легко показать, что нвкакнх других решений уравнение (18) н уравнение — = — у-зга Их 1 гу З не имеют. Уравнение (18), как мы уже упоминали, определяет поле направлений на всей плоскости ХО1'. Но производная от правой части по у, равная 2у-ыа, не существует (обращается в бесконечность) при у = О.
Теорема А имеет место в двух раздельных областях: в верхней полуплоскости (у) 0) Рис. 2. н в нижней (у(0). Эти области заполнены параболамн (19). Через каждую точку (хм у,) проходит только одна парабола. При этом постоянная Сопределястсв из уравнения у,=(ха+С)', т, е. С=у,ыа — х,. Через точку А(х„О), кроне параболы, проходит еше решение у=О и единственности решения прн начальном условии (х„О) нет.
Если мы выделим (рис. 2) сколь угодно малый промежуток х,— Ь=;; ы,,х ~ ха+ Ь, то в этом промежутке определены четыре решения уравнения (18); 1) отрезок параболы ВАС; 2) отрезок РАЕ осн ОХ; 3) линия РАС, состоящая из отрезка .ОА осн ОХ и отрезка АС параболы; 4) линия ВАЕ, состоящая иэ отрезка ВА параболы и отрезка АЕ оси ОХ. Все эти линни имеют уравнение вида у=у(х), где 9(х) и у'(х) — непрерывны (вдоль этих линий угол, образованный касательной с осью ОХ, меняется непрерывно).
Эти четыре интегральные линни и только они существуют на промежуткех,— Ь~ и~х~ха+Ь при любом сколь угодно малом фиксированном Ь эО. 1 ь твавнвния паввого повядкл 19 1(ратко говорят, что через точку (хв О) «в малом» проходит четыре интегральные кривые, Если мы возьмем кзкую-либо точку (хь у,) в верхней полуплоскости (у») О), то через вту точку проходит единственная парабола (19) я она не пересекается с остальными парабола»1н (19), так что на всем своем протяжении в верхней полуплоскости она не имеет обших точек с другими интегральными линиями уравнения (18) (единственность в верхней полуплоскости).
Но если, спускаясь по указанной параболе, дойдем до оси ОХ, то там нам представляется бесчисленное множество возможностей продолжать эту интегральную линию: можно спускаться по той же параболе нли идти направо по оси ОХ, а затем подниматься по другой параболе (или идти по оси ОХ, не поднимаясь по параболе), т. е. через каждую точку плоскости не «в малом», а «в целом» проходит бесчисленное множество интегральных кривых. б. Однородное уравнение.
Однородной функцией <р(х, у) нулевого измерения, или просто однородной фунияхгед, называется функция только от отношения у/х, т. е. ф (х, у)=~( — ~. Характерным (у '1 является также условие ф(Гх, 1у)=ф(х, у) (1, 104). Однородным дифференциал»ным уравнением называется уравнение вида у' =~®. (20) Сохраняя прежнюю независимую переменную х, введем вместо у новую искомую функцию и= у, откуда у'=и+хи'.
Преобразуя к' уравнение (20), придем к уравнению х — = у(и) — и. ди Ик Случай Ди)иии был рассмотрен в [4]. Положим ~(и)~и. Переменные разделяются, н, интегрируя, получаем е« х Сф(и), где ф(и)=е а "-~<">. Возвращаясь к прежней переменной, можем написать уравнение семейства интегральных кривых в виде х=Сф(У). (21) рассмотрим преобразование подобия плоскости ХО'г" с центром подобия в начале координат.
Преобразование вто сводится к тому, что точка (х, у) переходит в новое положение х,=йх, у,=йу (й>0), (22) 20 гл. к овыкновенныв -днвоазпнцнлльныя толвнення ж или, что то же, оно сводится к умножению дляны радяусз-вектора всякая точки плоскости на А с сохранением его направления. Если М есть первоначальное положенне точки, а М, — положение той же точки после преобразования (рис. 3), то ОМ,:ОМ=х,:х=у,:у=й.
Применяя преобразование (22) к уравнению (21), получим уравнение х,=йСч Я, которое ввиду произвольности постоянной С не отличается от уравнения (21), т. е. преобразование (22) не меняет всей совокупности l кривых (21), но лишь переводит одну из кривых семейства (21) в Рис.
3. другую кривую того же семейства. Всякая кривая семейства (21) ножет быть, очевилно, получена из одной определенной кривой этого семейства при помощи преобразования (22), если соответствующим образом выбрать постоянную й. Полученный результат можно форнулнровзть так: все интегральные кривые однородного уравнения могут быть получены из одной интегральной кривой при помощи преобразования подобия с центром подобия в начале координат. Уравненяе (20) можно переписать так: 13 з=г(136), гле 13 и†угловой коэффициент касательной, а 9 — угол, образованный радиусом-вектором из начала координат с положительным направлением оси ОХ.
Таким образом уравнение (20) устзнав. ливает свизь между углами а и 3, так что вдоль всякой прямой, проходящей через начало координат, касательные к интегральным кривым однородного уравнения должны быть парол- д лельнм между собой (рис. 3). Из этого свойства касзтельных становится очевидным то обстоятельство, что преобразование подобия с пеитром подобия в начале коорлинат преобразует интегральную кривую в интегральную же кривую, ибо, при удлинении радиусов-векторов точек кривой в одном и том же отношении, направления касательных иа каждом радиусе-векторе не меняются (рис. 4).
21 а ь уудвнгння цгуного поуяцкд гве (Х, у) — текущие координаты касатеаьноя. Подставляя У=*О, овредезнм саед касатеаьнов на оси ОХ: (УТ= х — —, у н условие МТт= ».УР даст нам [1, 7!» ;.„- + у' ~х — —,), отк)да получаем днфференцяазьное уравнение (23) ннс. 5. которое, очевидно, принадлежит к типу оанородннз. Вводим вместо у новую функцию и по формуле у=хи, у' хи'+и. Подставив в уравнение (23), имеем 2и хи'+и= — — „.! Егг и+ и' изи к — — — =О, Ех 1 — и' в верененные разделяются ах 1 — и' — — — аи =О.
х и+и' Интегрируя, получаем х (и'+ 1) — =С и иан,.возвращаясь к у, +у — Су=п. (24) Это- окружности, проводящие через начало коордннзт и касающиеся в зтоп точке оси ОХ (рнц б). уравнение (23) имеет еще очевидное рещение у=О. Оно может быть формально получено из (24) тем же ярнемом, который ны нрнчсниая в примере 3 из [4». Заменяем в (24) С на 1,С, после этого обе части (24) умножаен на С н затем поаагасн С=О.
Числитель и знаменатель правой части уравнения (23) одновременно обращаются в нуль только Если мы применим указанное выше преобразование подобав к ннтегральнон кривой, которая представляет собою прямую, прододящую через начало координат, то после преобразования мы получим ту же прямую,так что авеном случае уломянугаый аише прием получения инщегральных кривых из одной из нпх неарименим. П р и и е р.
Определить кряаые, у которыя отрезок касательной от точки касаннв М до пересечения с осью ОХ равен отрезку ОТ оси ОХ (рис. 5). Уравнение касзтедьноя имеет вид У-у =у' (Х- х), 22 гл. г.овыкноввнныа днвввванцндльныв хвавняння и й р( +у+ ) Й*+юът!' (26) как мы сейчас покажем, ярвводнтса к-однородному плв к уравнению с отделющцимиса переменнымя. Введем вместо х в у новые перенеь ные Е в ту х=$+а, у=э)+р, (26) где а в р — постоянные, которые мы сейчас определен.
Уравнение (26) в новых переменных булет ач у( ат+ач+аа+ар+с ят ~аЬ+а1ч+ а,а+агу+с,)' Определим а и р из условна ла+Ь~)+с=О, аа+Ьф+с,=О. Прв етом уравнение приведется к однородному Преобрааованию (26) соответствует параллельное перенесение ко. ординатнмх осей, причем начало координат перехолвт в точку пересеченяа праммх ах+ Ьу+ с = О, а,х+ Ьгу+ с, = О. (27) Полученные в предыдущем результаты будут, такям образом, пря« менимы я к уравнению (26) с той ляшь разнвцей, что роль начала координат будет играть точка (а, р). Если прямые (27) параллельны, то указанное выше преобразоваяие не может быть выполнено. Но в атом случае, как известно из аналитической геометрии, коэффициенты в уравненяах (27) должны быть пропорциональны л' = — а = Х в а,х+ Ь,у Цах+ Ьу), ввода вместо у новую переменную ш и=ах+Ьу, э точка (О, О).
Через эту точку проходят эсе оарумвостя в ярянаа у О, и а этой точке поле иэпраааеипй не определено. Исав рассматривать тоаьао урааиеввэ (28), то яа плоскости инеетсэ четыре области В теорема) Л. Ояи получаются, если яа пэосхоств провести прямые у* ж х. В точках этих враных знаменатель правой части уравнения (23) обращаатса а нудь. По асса этих четырех обаастэх па иятеграаьных аряэых у есть одиозвэчнэа функцяа к. Дяфференциальное уравненяе а с. ивдвнения паввого повядкл асолучим, как нетрудно видеть, уравнение с отделяющимяся переменнымя. Няже мы познакомимся с весьма важным приложением однородного уравнения.
6. Линейные уравненяя н уравнение Бернулли. Линейным уравнением нерво«о нарядна называется уравнение вида у'+ Р(х)у+ с~(х) = О. (28) Рассмотрим сначала соответствующее уравнение без свободного сыена Щх): «'+ Р (х) « = О. Переменные здесь отделаются — + Р (х) ах = О, и мы получим — 1 Рс«се« «=Се (29) Заменяем неопределенны» интеграл определенным с переменным верхним пределом: — 1' ясссж «=Се «с Если имеется начзльное условие у!««р уа то С=у,. Для интегрирования уравнения (23) воспользуемся так яааываемым елособом изменения произвольной лосслоянной Лагранлса, а именно — будем искать решение этого уравнения в виде (29): — ) Рс«се« (30) св окончательно получаем у=е 1"'ме«~С вЂ” )с 1«(х)е "' с "йх1 (31) считая только и не постоянной, а искомой фуикпиеп от х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
