Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Отметим еще раз, что приведенная классификация справедлива во всей области й, где уравнение сохраняет определенный тип. $ 3. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ В СЛУЧАЕ МНОГИХ НЕЗАВИСИМЪ|Х ПЕРЕМЕННЫХ Кратко остановимся на классификации уравнений второго порядка в частных производных в случае многих независимых переменных. Рассмотрим опять уравнение, линейное относительно старших производных: (3.1) ди ди где г" =Е (х!, ..., х„, и, дх, дх„,! Пусть М,(х!', ..., х„0) — точка области 1). Построим квадратичную форму Невырожденным линейным преобразованием л з!=,1~А!з!ь !=1, 2, ..., и, де1йА,!))ФО ! =1 квадратичная форма всегда может быть приведена к каноническому виду Е л!52.
!=! (3. 3) зв При этом согласно теореме инерции число положительных, отрицательных и равных нулю коэффициентов Л; в каноническом виде квадратичной формы является инвариантом и не зависит от линейного преобразования. На основе этого производится классификация уравнения (3.1) . Выделяются три основных типа уравнений. Если в точке Мз квадратичная форма в каноническом виде (3.3) имеет все коэффициенты одного знака, то уравнение (3.1) в этой точке называется уравнением эллиптического типа; если все Л,ФО, но существуют .как положительные, так и отрицательные Ль то уравнением гиперболического типа; если хотя бы один из ко- эффициентов Л! равен нулю, то уравнением параболического типа.
Может быть проведена и более подробная классификация (необходимости которой в случае двух переменных не возни- кает). Например, в случае уравнений гиперболического типа возможны следующие случаи: один коэффициент — одного знака, для определенности, Л!>О, а остальные — другого (Л;<О, г=2, ..., п) — уравнение (3.1) называется уравнением нормального гиперболического типа; Л,, ..., Ля>0, Ль+„..., Л„<0 — уравнение ультрагиперболиче- ского типа. В случае уравнения параболического тица возможностей больше: Л,=О, Лм ..., Л„>0 (одного знака) — уравнение эллипти- чески-параболического типа; Л! — — О, Лм ..., Л„ФО, но разного зна- ка — уравнение гиперболически-параболического типа е разде- лением на нормально гиперболически- и ультрагнперболически- параболического типа.
Дальнейшая классификация проводится, когда несколько Л; обращаются в нуль. В этом случае уравне- ние называется ультрапараболическим с дальнейшим делением в зависимости от знаков остальных Ль Классификация уравнения (3.1), как и прежде, проводится в отдельной точке Мв Интересен вопрос: возможно ли в случае многих переменных привести единой заменой переменных $! =$!(х„..., х„), 0 уравнение (3.1), в том случае, когда оно принадлежит к одно- му н тому же тик в иву во всех точках области О, к каноническому виду в некоторой окрестности точки Ме? При такой замене переменных, как легко проверить, уравнение (3.1) принимает внд ~~~~!агап " +Р=О, ! — — ! !=1 где функция Р не зависит от вторых производных функции и„ а коэффициенты ап имеют вид (3.4) п и !=!г=! На деталях этой процедуры мы не останавливаемся.
л л х ! к з д~; дну а!!=~ хт а з — ' гг = в= Чтобы обратились в нуль коэффициенты при смешанных вторых производных (ап=О, !Ф1), функции $!(х!, ...,х,) должны !! (л — 1) удовлетворять уравнениям. Это число больше и (чис- 2 ла функций $!) при п)3. Следовательно, привести к каноническому виду уравнение (3.1) сразу в некоторой окрестности точки, вообще говоря, нельзя (при этом, конечно, исключается случай уравнения с постоянными коэффициентами).
Процедура приведения уравнения (3.1) к каноническому виду, как в случае двух переменных, связана с решением характеристического уравнения, которое согласно (3.4) имеет вид Глава Ш МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ЗАДАЧИ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ РР,(~] =-1л+/(М, г), Еи =б1ч (lг(м) игад и) — д(М) и, где Р(м), я(М), ч(М) — функции переменной М в области О, ограниченной замкнутой поверхностью 3; а;(1) — непрерывные функции переменной Гя(0, Т]; р, дяС(0), йяСО)(тз), р, й> )О, д) О. Уравнение рассматривается в области О=ОХ (О, Т]. Заметим, что при т=2 это уравнение гиперболического типа, при гп=1 — параболического, при т=Π— эллиптического.
В случае т=-О область Я отождествляется с областью Р. й Е ПОСТАНОВКА НАЧАЛЬНО-КРАЕВЪ|Х ЗАДАЧ При решении дифференциальных уравнений можно ставить различные цели. Можно искать общее решение уравнения или искать некоторое частное решение, удовлетворяющее некоторым дополнительным условиям. В нашем курсе мы исхо- 40 В предыдущих главах рассмотрены некоторые физические задачи, приводящие к уравнениям в частных производных второго порядка, и приведена классификация уравнений.
Уравнения каждого типа (гиперболического, параболического и эллиптического) обладают рядом специфических свойств, и для них разработаны свои методы решения и исследования, Но существуют и общие методы, применимые для уравнений всех типов. Один из таких методов — метод разделения переменных, или метод Фурье, — будет изложен в настоящей главе. Это один из самых старых и распространенных методов аналитического решения уравнений. Метод Фурье будет рассмотрен на примере уравнения более общего, чем те, которые рассмотрены ранее.
Это уравнение будем записывать в виде дим из того, что каждое изучаемое уравнение в рамках определенной математической модели описывает некоторый реальный физический процесс или явление, состояние которого однозначно определено. Поэтому основное внимание будет уделено исследованию полной математической модели явления, т. е. решению дифференциального уравнения со всеми дополнительными условиями, однозначно определяющими это явление. Сразу возникает вопрос: сколько дополнительных условий должно быть и какие это условия? Дополнительные условия всегда вытекают из физической постановки конкретной задачи и определяются ее природой. Однако очевидно, что с математической точки зрения они должны удовлетворять следующим требованиям: 1) дополнительные условия должны выделять единственное решение (т.
е. этих условий должно быть не слишком мало); 2) решение, удовлетворяющее всем дополнительным условиям, должно существовать (т. е. условий должно быть не слишком много, так чтобы задача не оказалась переопределенной). Кроме того, желательно, чтобы дополнительные условия были таковы, что решение мало изменяется при малых изменениях дополнительных условий. В этом случае говорят, что решение )стойчиво по отношению к этим условиям (при этом, конечно, нужно определить, как понимается малость изменения дополнительных условий и решения).
Этому требованию удается удовлетворить не всегда, так как дополнительные условия вытекают из физической постановки задачи. Если задано дифференциальное уравнение со всеми дополнительными условиями, будем говорить, что поставлена начально-краевая задача (или краевая задача — для уравнения эллиптического типа). Задача называется корректно поставленной, если: 1) решение существует; 2) решение единственно; 3) решение устойчиво по отношению ко всем дополнительным условиям. В том случае, когда эти требования нарушаются, задача называется некорректно поставленной. До середины нашего века, главным образом под влиянием высказываний французского математика Ж. С. Адамара, считалось, что некорректно поставленные задачи математической физики не могут служить математическими моделями реальных физических процессов и не заслуживают изучения математиков.
Однако последующие исследования и в первую очередь основополагающие работы русского математика академика А. Н. Тихонова показали, что для весьма широкого класса есстественнонаучных проблем некорректно поставленные задачи являются адекватными математическими моделями. Это потребовало разработки новых эффективных математических подходов к их изучению, что позволило создать устойчивые алгоритмы решения определенного класса некорректно поставленных задач. Для частного случая некорректно поставленных задач, сводящихся к интегральным уравнениям первого рода, эти методы изложены, например, в учебнике А.
Б. Васильевой и Н. А. Тихонова *г. Дополнительные условия, как уже отмечалось, вытекают из физического содержания изучаемого процесса. Как следует из конкретных примеров, рассмотренных в гл. 1, если уравнение содержит производные по времени 1 (гпФО), т. е.
процесс развивается во времени, следует фиксировать некоторое начальное состояние процесса. При этом, очевидно, нужно задать в начальный момент времени (для определенности будем считать при 1=0) значение неизвестной функции и(М, 1) и ее производных до (пт — 1)-го порядка: — =гр»(М), Й=О, 1,..., и — !.
(1.1) д!» )=о Условия (1.1) называются начальными условиями. Физически очевидно, что, в том случае, когда процесс развивается в ограниченной области пространства, для однозначного определения этого процесса следует задать условие на границе области. Конкретный вид этого условия зависит от физической задачи. Как было показано в гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
