Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 56
Текст из файла (страница 56)
В заключение приведем доказательство теоремы единственности решения внешней краевой задачи для уравнения Гельмгольца при наличии поглощения во внешней среде. Т.ео р ем а 8.8 Внешняя краевая задача Ли+у'и= — Г в 1)„д»=й»+иьр, р)0, сс — "+ уи ( з = ~р (Р), Р е= 5, дл нри а) О, 1гпу<0, а+ )у(ФО может иметь только одно решение, экспоненциально стремящееся к нулю на бесконечности. Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно доказать, что соответствующая однородная задача имеет только тривиальное решение. Обозначим решение этой однородной задачи по-прежнему через и(М). Очевидно, справедливо равенство ЛИ ТЕРА ТУРА 1.
Арсении В. Я. Методы математической физики и специальные функции. Мс Наука, 1984. 2. Б ни а две А. В, Уравнения математической физики. Мс Наука, 1976. 3. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. Мс Наука, 1981. 4. Кошляков Н. С., Глинер 3. Б., Смирнов М. М. Основные дифференциальные уравнения математической физики. Мл Физматгиз, 1962.
5. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики. Мз Наука, 1984. 6. Петровский И. Г. Лекцив об уравнениях с частными производными. Мс Физматгиз, 1961. 7. Соболев С. Л. Уравнения математической физики. Мс Наука, 1966. 8. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. П. Мс Наука, 1967. 9. Смирнов В. И. Курс высшей математики.
Т, 1Ч, ч. 1. Мз Наука, 1974. 10. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 1У, ч, 2. Мл Наука, 1974. 11. Стеклов В. А. Основные задачи математической физики. Мс Наука, 1983. 12. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. Мз Наука, 1977. ДОПОЛНЕНИЕ 1. РАЗЛИЧНЫЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ Пусть х, у, г — декартовы координаты некоторой точки, а х1, хм хз — криволинейные ортогональные координаты этой точки. Квадрат элемента длины выражается формулой 122зв = йх + 1(у~+ 1(г = А1 1(х1 + А2122хз+ Аз«2«хз, где 21-у' ('— ') «-( 2 ) .«- ) — ') «с=2, 2, 31 — метрические коэффициенты, или коэффициенты Ламе.
Ортогональная координатная система полностью характеризуется тремя метрическими коэффициентами А„А„Аз. Приведем общее выражение для операторов вагаб, б(ч, го1 и оператора Лапласа А в ортогональной криволинейной системе координат: з ь1 1 ди Ега1) и = т — — 1ь Ь Ь1 дх1 1 —.-1 б(ч А = ~ — (ЬзйзА2) + (Ьзй1Аз) + — (616|Аз) ~ ° йзЬ|Ьз 1 дхз дхз дхз А111 А 13 Аззз д д д 1А= 1 6 Л,Ь ~дхд дхз дхз А1А1 А,Аз АвАз д лз122 ди ' д ззйз ди ) ~ гДе 11, 11,!з — еДиничные базисные вектоРы, А=(А„Аз,Аз) произвольный вектор, и — скаляр, А,=А. (х1, х„хз), з=1, 2, 3, и=и(х1, хг хз). Прямоугольные координаты хз=х, хз=У хз=х. аз=1 йз=1 йз=) ди . ди .
ди , дА„ дАи дА дга1) и= — ! + — 1+ — )г, 111чА= — *+ — "+ — ', дх ду дг дх ду, дх 1 1 к д д д го1 А дх ду дз А„ А„ А, +( —..: — '' 1'+~ — "" -Ф" дАх дАг дАз дАх Цилиндрические координаты х,=г, х,=зр, хзг г связаны с прямоугольными координатамн уравнениями х = г соз зр, у = г 51п 1р, г = г. Координатные поверхностн: г=соп51 — цилиндры, =соп51 — плоскости, г=соп51 — плоскости. Метрические коэффициенты равны й1=), йз=г, аз=1, так что 1 ди ди 1+ 12+ 1зз г д~р дх 1 дАз дАз (ГА1) + — — '+ — ', г д51; дг ди угад и = — 1' дг ' 1 д Г11ЧА = —— г дг 1 ' дАз дАз 1 ° ! дА1 дАз ~ г дзз дх ~ ~ дх дг 1 д 1 дА, + ~ — — 1ГАз) — — — 1~ зз, г дг г др 1 д ! ди 1 1 дзи дзи Ли = — — ~г — )-)- — — + —, г дг ~ дг / гз д~рз дзз Сферические координаты х,=., хз=Е, х,=р связаны с прямоугольными координатами формуламн Х=Г51П ОС051Г, у=Г51ПВ 51п (~, Я =Гсо5 О.
зйо Ли=и +и„„+и„, где 1, 1 и )г — направляющие единичные векторы осей х, у, г. Координатные поверхности: г=сопз1 — концентрические сферы, О=сопз1 — конусы, «р=сопз1 — плоскости. Метрические коэффициенты равны 6,=1, Ьз=г, Ьз=гяпб, так что ди . 1 ди . 1 ди Ота«1 и = — 1,+ — — 1,+ . — 1з дг ' г дВ гяп 0 д«р 1 д 1 д 1 дАз йчА= — — (гзА!)+ — (яп Олз)+ дг гз«пО дО г з!п О д«р го(А= ~ — (япОА,) — — ) 1,+ ! ! д дАз 1 ° гяп0 ~ дО д«р 1 Г 1 дА« д ] 1 ! д дА« г ~ згпВ д«р дг ) г дг дО 1 д'и 1 д /зда«1 + — = — — [" —,!+ — Аз,и, гзяпзО д«рз гз дг [, дг ) гз где 1 д Г . ди ! 1 дзи Ле и= .
— [япΠ— )+ з«пО дО [ дО ) япзО д«рз — угловая часть оператора Лапласа в сферической системе координат. 11. НЕКОТОРЫЕ ФОРМУЛЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА Обозначения: а — векторная функция, и — скалярная функция. ЦаЬ] с]=(ас) Ь вЂ” (Ьс) а„ (а [ЬсЦ =Ь (ас) — с(аЬ), дга«1 (ип) .= и дга«( о+ о дга«( и, Йч (иа) = а дга«( и+ и «1!ч а, го1 (иа) = [а ига«( и] + и го1 а, йч [аЬ] = Ь го1 а — а го1 Ь, го! го1 а = дга«( йч а — чг за, дгаг( (аЬ) = а йч Ь+ Ь йч а + [а го1 Ь] + [Ь го1 а], го1 [аЬ] = а йч Ь вЂ” Ь йч а+ (Ь «7) а — (а «у) Ь, где (Ь«г) а=Ь,— + ܄— + Ь, —. да да да дк " др дг 351 Учебное издание СВЕШНИКОВ Алексей Георгиевич, БОГОЛЮБОВ Александр Николаевич, КРАВЦОВ Владимир Владимирович ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОИ ФИЗИКЕ Зав.
редакцией Л, А. Николова Редактор Р. А. Б у н а т я н Художественный редактор Ю. М. До б ран с к а я Технические редакторы Т. А. Корнеева, Г. Д. Колосков а Корректоры И. А. Муш никона, В, В. Конкина ИБ № 6210 ЛР 040414 от 27.03.92 Сдано в набор 18.11.92 Подписано в печать 30.08.93 Формат 60зс90/16. Бумага тип. № 2. Гарнитура литературная.
Высокая печать. Уел. печ. л, 22,0 Уч.-изд. л. 21,38 Тираж 3000 экз. Заказ № 361. Изд. № 2426 Ордена «Знак Почета» издательство Московского университета. 103009, Москва, ул. Герцена, 6/7. Типография ордена «Знак Почета» изд-ва МГУ. 119899, Москва, Ленинские горы .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
