Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Следовательно, его общее решение имеет вид и=-С,Н1," (йг)+СоНо!" (йг) или и = Агро (Ь') + Аой1о (Ь'). При с= — х'<О (2.6) есть уравнение для функций Бесселя чисто мнимого аргумента нулевого порядка, и его общее решение можно записать в виде и = С,1о (хг) + СоКо (хг). уравнения Ли— При с= — хо<О фундаментальным решением — хоп=О называется функция ! Решение — е — г"'+ма представляет собой сферическую волну, расходящуюся от точки Мо (волну, уходящую на бесконеч- 1 ность); решение — е-! ' — пн представляет собой волну, сходящуюся к точке Мо (приходящую из бесконечности); решение .вг ооо Йи е-'" й — стоячая волна с особенностью в точке Мо (содержащая волну, приходящую из бесконечности).
Если мы считаем, что все источники волн расположены в конечной области пространства, то два последних решения, содержащие приходящие из бесконечности волны, не имеют физического смысла. Решением, имеющим физический смысл, является ре- шение Ко (кймм,), экспоненциально убывающая на бесконечности и при М-э-Мо имеющая особенность вида К (кКмм,) — !п 1 клемм, . При с=но>0 ситуация аналогична трехмерному случаю. В ограниченной области решения Но '(йНмм,), Но '(йймм,), )Уо(Ммм.) эквивалентны и являются фундаментальными решениями уравнения Гельмгольца Ьи+)оои=О.
Напомним, что эти функции при М-оМо имеют логарифмическую особенность, поскольку иго) 2) 1 2 1 Но ' (х) = ч= — 1п —, Уо(х) = — — !п — при х-+.+О. и к к х В неограниченной области фундаментальным решением уравнения Гельмгольца Ли+йои=О при )оо>0 является одна из функций Н, ' (яймм,) в зависимости от того, какое дополни- (1,2) тельное условие поставлено на бесконечность. Напомним также поведение этих функций на бесконечности: Н,' (х)= 1 — с 4 ~ при х-о.+ оо. пх Отметим, что все фундаментальные решения уравнения Ьи+си=О на плоскости имеют такую же логарифмическую особенность, как и фундаментальное решение уравнения' Лапласа на плоскости.
2. формулы Грина В гл. П! получены первая и вторая формулы Грина для общего эллиптического самосопряженного оператора. Естественно, что они справедливы и для оператора !.и= =Ли+си. При выводе третьей формулы Грина использовалось фундаментальное решение уравнения Лапласа. Мы только что установили, что особенности фундаментальных решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца совпадают.
Поэтому для вывода третьей формулы Грина для оператора Ли+си нужно повторить все те же рассуждения, которые проведены в $ 1 гл. ч'. Мы этого делать не будем, а приведем в качестве примера окончательную формулу для случая с=но. Она имеет вид езл 4пи(М), Ме=Р, — ~ (Ьи+й'и) — 'е Д$'= 2пи(М) М ен5 й о О Ме=Р (МййР) (2.7) 1 . 'елмр + — ~ 7(Р) ' е('г'р 4п О ~мр (2.8) в любой внутренней точке области Р.
Отсюда, так же как и для гармонических функций, получаем, что любое решение уравнения Гельмгольца в любой внутренней точке области Р имеет производные всех порядков. 3. Потенциалы уравнения Гельмгольца Из соотношения (2.8) видно, что произвольная достаточно гладкая функция и может быть представлена в виде трех слагаемых, называемых потенциалами: объемного потенциала, потенциала простого слоя и потенциала двойного слоя. Потенциалами Гельмгольца называются следующие потенциалы: мимо о(М) = ~ р(Я) е е(г'о — объемный потенциал, о пмч е мр $'(М) = ~ р (Р) е е(5р — потенциал простого слоя, пмр д млмр Ж'(М) = — ( т (Р) — ' а15р — потенциал двойного слоя.
дп ~м Поскольку ядра этих потенциалов имеют ту же особенность при совпадении точек М и Р, что и потенциалы для уравнения Лапласа, то они обладают теми же свойствами, за исключением того, что они удовлетворяют другим уравнениям. Перечислим эти свойства. 331 В формуле (2.7), как и прежде, и(М) — дважды непрерывно дифференцируемая в Р функция, непрерывная вместе с первыми производными в Р05, 5 — поверхность Ляпунова, п — внешняя нормаль к 5 (внешняя по отношению к области Р), )7= =)7мр. В формуле (2.7) можно использовать и другое фундаментальное решение.
Аналогичная формула имеет место и при с= — х'. Из (2,7) сразу получается интегральное представление решения уравнения Аи+йеи= — 7: 1 ~(ди е 'елм р д е и "мр и(М)= — ь! — — и — ~ е(5р+ 4п Х ( дп ймр дп. ймр Объемный потенциал о(М) с непрерывно дифференцируемой плотностью р(Я) является дважды непрерывно дифференцируемой функцией, удовлетворяющей уравнению Ао+ я'о = — 4лр (М). При МФЯ потенциалы простого слоя У(М) и двойного слоя )Р'(М) удовлетворяют однородному уравнению (и'+Ит=О, А)Р+йЧР=О. Потенциал простого слоя т'(М) с непрерывной плотностью р(Р), заданной на поверхности Ляпунова, является непрерывной функцией во всем пространстве, а его нормальная производная имеет разрыв при переходе через поверхность 5, величина которого определяется формулами ( — (Р) ) = ( — (Р)) — 2лр (Р), Р ~ Я. Здесь использованы те же обозначения, что и в 5 6 гл.
'Ч. Потенциал двойного слоя )(т(М) с непрерывной плотностью ч(Р), заданной на поверхности Ляпунова, претерпевает разрыв при переходе через поверхность 5, величина которого определяется соотношениями В'; (Р) = К (Р) + 2 ля (Р), К, (Р) = Ж' (Р) — 2 лч (Р), Р е= Я. Аналогичным образом вводятся потенциалы при с= — х'<О и для плоского случая. 4. Принцип максимума для уравнения Аи — хзи=-О Для уравнения Лапласа справедлив принцип максимума. Для уравнения Ли+си=О принцип максимума имеет место только при с<0. При с)0 принцип максимума несправедлив, в чем легко убедиться на конкретном примере. Действительно, в круге О~с<а решением уравнения Аи+язи=О является функция У,(яг), имеющая абсолютный максимум при с=О (в центре круга).
Итак, рассмотрим уравнение Ьи — лги=О. Т ео р е м а 8.2. Решение уравнения Ьи — лги=О, определенное и непрерывное в замкнутой области й()5, не может достигать во внутренних точках области г. положительных максимальных и отрицательных минимальных значений. 332 Доказательство. Доказательство проведем от противного. Пусть в некоторой внутренней точке М, области Р решение и(М) уравнения Ли — хаи=О достигает своего положительного максимального значения: и (М,) = гпах и (М) ) О. (2.9) о Следовательно, в этой точке — (М ) < О, —, (М ) < О, — (М ) < 0 (или Ли (М ) < 0), (2.10) Рассматривая уравнение Ли — х'и=О во внутренней точке Мз и учитывая (2.9) и (2.10), убеждаемся, что оно в точке Ма выполняться не может.
Это противоречие показывает, что исходное предположение неверно. ° 3 а м е ч а н и е. Аналогичным образом доказывается невозможность достижения во внутренних точках отрицательного минимального значения. Принцип максимума удобно записать в следующем виде: всюду в 0 справедливы неравенства и(М) <гпах(гпахи(з, 0), (2.11) и (М) ) ш 1п (ш)п и ~ з, О).
(2. 12) Заметим, что принцип максимума справедлив и для общего эллиптического уравнения дивергентного вида: б! ч (й дгад и) — ди = 0 при й) О, о) О, йее С'1' (О). Доказательство его проводится так же, как в предыдущей теореме. й 3. ВНУТРЕННИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ Г ЕЛЬМ ГОЛ ЬЦА Перейдем к изучению внутренних краевых задач для уравнения Ли+си=О.
При этом будем отдельно рассматривать случаи с<0 и с)0. 1. Внутренняя задача Дирихле для уравнения Ли — х'и=0 Сначала исследуем случай с<0. Начнем с зада- чи Дирихле Ли — х'и=О в О, (3.1) и|э=). (3.2) Напомним, что классическим решением задачи (3.1), (3.2) называется функция и, дважды непрерывно дифференцируемая в области й и удовлетворяющая в ней уравнению (3.1), непре- ззз рывная в замкнутой области Р()5 и удовлетворяющая условию (3.2) на 5. Теорема 8.3, Задача (3.1), (3.2) не может иметь более одного классического решения.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу линейности достаточно показать, что однородная задача Ли — хи=О в Р, и! =0 имеет только тривиальное решение. Воспользуемся принципом максимума. Функция и не может внутри Р достигать положительного максимума. Следовательно, в силу граничных условий и(0 в Р.
Она не может также внутри Р достигать и отрицательного минимума. Следовательно, из:О в Р. Объединяя эти два неравенства, получаем и= — 0 в Р, т. е. однородная задача имеет только тривиальное решение. ° Из принципа максимума сразу вытекает устойчивость решения задачи Дирихле по граничным условиям. Теорем а 8.4. Пусть и„(а=1, 2) — классические решения задач Ли — х'и =0 в Р, и (з=1, а=1, 2, Если 1,Г,— ), ~ < в всюду на 5, то !и,(М) — и,(М)! < е всюду в Р, Доказательство. Пусть о=и,— и,.
Согласно (2.!1) всюду в Р о(М) <шах(тахо! ., 0) <тпах(е, 0) =е. Согласно (2.12) о (М) ) ш! и (ш!и о / з, 0) ) ш(п ( — е, О) = — е. Следовательно, всюду в Р— а<о<а, т. е. (и,— из(~е в Р. Следовательно, решение задачи Дирихле устойчиво в равномерной норме. ° 2. Вторая и третья краевые задачи для уравнения Ли — х'и=О Исследование единственности решения второй и третьей краевых задач будем проводить одновременно, используя энергетический метод. Рассмотрим третью краевую задачу: Ьи — х'и=О в Р, (3.4) — +тш!з=Р. дь Классическим решением задачи (3.3), (3.4) называется дважды непрерывно дифференцируемая в Р функция и(М), удовлет- 334 воряющая в П уравнению (3.3), имеющая непрерывные первые производные в замкнутой области П1 )5 и удовлетворяющая граничному условию (3.4) на 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
