Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 48
Текст из файла (страница 48)
(10 9) Уравнение (!0.9) является интегродифференциальным уравнением Вольтерра. Одним из способов приближенного построения решения уравнения (!0.9) является метод последовательных приближений, когда каждое последующее приближение строится по предыдущему согласно формуле ил=А[ил !]+Ф, и,— задано, и=1, 2, ... (10.!0) Выберем в качестве нулевого приближения функцию ио(х, у)= =О. Тогда, реализуя схему (10.!0), получим и, = ) '1 !" ($, !))с$а!т1+Ф(х, у), д о х у дил — ! дил и„=и,— ~~ [а " +Ь " +сил,~ Що(т).
(10.!1) д$ дч о Заметим, что из формул (10.11) вытекают следующие соотношения: и, дил ! дил- ! ди„ди! ~~~ (,) л ! !1(, „) л !! ( ) )~ дх дх ) ~ дх д$1 л (10.12) дил ди! [' [ дил — ! +, дил — 1 + о Покажем, что последовательности (и„(х, у)), ~ л (х, у)], [ л (х, у)! сходятся равномерно. Рассмотрим разность двух последовательных итераций гл= =и „,— и..
Из формул (10.11), (10.!2) следует, что дол-! дол-! ал(х, У)= — [ '! [а($, !1) " +Ь($, о1) " +с$, т))г„!, Жо(о1, до дп о о ЗОО дхп дхп ! (х у)= — ') (а(» т)) +Ь(х !)) +с(х т))г — ~ "и) дх ~ дх дч о (10.13] к — п(х, у) = — ~ ~а($, у) +ЬД, у) — +с(~, у) гп ! ~ о(Е ду ) ! д$ ду о (! О. 14) Предположим, что в некотором квадрате хоп(0, Е), уя(0, Е) выполнены неравенства ( а (», у) ! < М, ! Ь (х, у) ( < М, ! с (х, у) ! < М, )го)(Н ) о )(Н ) о )(Н где М)0 и Н)0 — некоторые постоянные. Очевидно„при соответствУющих Условиах на входные данные !Р!(х), 4!о(У) и ((х, у) условия (10.14) на го будут выполнены. Из формул (10.13) и (10.14) следуют мажорантные оценки: ! г, ! ( 3НМху ( ЗНМ ' ~(ЗНМу(ЗНМ(х+у), !"'- дх ! дх11 1 ' 1 < ЗНМх < ЗНМ (х+ у).
ду По индукции легко доказать, что для любого и) 1 имеют ме- сто следующие оценки: )г„)(ЗНМ"К" ( +У) (и+ 1)! ! —.~- дхп ) ЗНМ»К»-! (х+ у)п дх и! Ы- до )(ЗНМ К вЂ” ! (х+ ду и! где К=(.+2. Учитывая, что точки (х, у) лежат внутри квадрата со стороной Е, из последних неравенств вытекают окончательные неравенства: ЗН (2К1 М)п 1-! ) дхп ) ЗН (2КСМ)п К'М (и+1)! ' ) дх ! К и! дхп ! ЗН (2КЕМ)п В правых частях неравенств (10.15) с точностью до множителей пропорциональности стоят общие члены разложения 301 экспоненты ехр (27Ц.М). Следовательно, последовательности функций и„=ио+г,+...
+г„ дип дио дх, дхп — 1 — "= — + — + + дх дх дх дх — = — + — + + дип дио дго дхп — ! ду ду ду ду равномерно сходятся к предельным функциям, которые обозначим через и(х, у), о(х, у), ю(х, у): и(х, у)=!пп и„(х, у), о(х, у)=1пп —" (х, у), и дх оо(х, у)=1'пп —" (х, у). и ду Перейдем в формулах (10.1!) и (10.12) к пределу при пои. В результате будем иметь к у и(х, у) =и,(х, у) — ) '1 (а($, о))о+о(Е, о))оо —;с%, т)) и) ЩсЬ), (!0.16) о о ди1 о(х, у) = — '(х, у) — ~ (а(х, т!)о+(о(х, о))ос+с(х, о))иг1с(о), дх о к оо (х, у) = — ' (х, у) — ~ (а Я, у) о + д (5, у) го+ с Я, у) и) ~Ц, дд откуда следует, что о=и„ш=иу и функция и(х, у) удовлетворяет интегродифференциальному уравнению Вольтерра (10.9).
Непосредственным дифференцированием уравнения (10.9) по х и у устанавливается, что функция и(х, у) удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению (10.5). Удовлетворение условиям (10.6) следует из формул (!0.7), (!О.!!) и вида функции Ф(х, у). Локажем теперь единственность решения задачи (10.5)— (10.7). Пусть существуют два различных решения задачи (10.5) — (10.7) и,(х, у) и и,(х, у). Рассмотрим их разность У= =и,— и,. Функция (к'(х, у) удовлетворяет однородному интегродифференциальному уравнению Вольтерра к у (7(х, у) = ! ~ (аИ!+д(/„+с(/)г(сс(г! о о На основании оценок (10.14) легко показать справедливость. оценки: 302 где Н,)0 — некоторая постоянная.
Тогда, аналогично тому, как были получены оценки для г„(х, у), для любого а можно построить следующую оценку при хан(0, В), уен(0, В): 2Кгм л-~;~ (10. 17) 1 К2М (л+1)! Из формулы (10.17) следует, что (7(х, у)=0 или и,(х, у) =и,(к, у), что и доказывает единственность решения задачи (10.5)— (!0.7). й 11. ОБЩАЯ ЗАДАЧА КОШИ. ФУНКЦИЯ РИМАНА В этом параграфе будет дано обобщение задачи Коши, рассмотренной в ф 7.
Пусть на плоскости (х, у) задана бесконечно гладкая кривая С, удовлетворяющая следующим условиям: а) кривая С не является характеристикой уравнения (11.5) где д"'[и, о[=и„и — ии„, 17[и, п[=ш1„— и„и. 303 и„„=г(х, у); (1!.1) б) любая характеристика уравнения (1!.1) пересекает кри- вую С только один раз. Кривая С делит плоскость (х, у) на две криволинейные полу- плоскости В+ и Е)-.
Рассмотрим задачу: .„=1(, у). (, у) Т1+ и (х, у) = ~р(х, у), (х, у) ен С, — (х, у) = Ф (х, у), (х, у) ~ С, дп д где — — производная по нормали к кривой С, направлендп ной внутрь области 17ь. Дополнительные условия (11.3) и (11.4) задаются на кривой С. Построим формулу, выражающую решение задачи (11.2)— (1!.4) в любой точке М области Р+. Проведем через точку М характеристики уравнения (1!.1), пересекающие кривую С в точках А и В, и обозначим через В область, ограниченную уча- стком АВ кривой С и отрезками МА и МВ характеристик (рис.
7.12). Рассмотрим следующее выражение: 1 1дО дн 2 [ дх ду Проинтегрируем выражение (11.5) по области Р, границу которой обозначим через Г: ХУ=Р()Г, используя формулу Грина *> ~(ои„,— ио,„) с(хс(у =. О ! пгдсх дбз' — — — — ~ с(хс(у=- 2 о , дх ду о 2,1 = — ( (Вз гХх+ Д с(у).
(1! .6) О ~и и Формула (11.9) является тождеством для любых достаточно гладких функций и и о. Пусть теперь функция и (х, у) является решением задач (11.2) — (1!А), а функция о(х, у) — решением следующей зада чи с данными на характеристиках (задачи Гуров), рассмотре нойв$10: ,„ = 0, (х, у) Р, о„! л,м — — О, ок(вм=0* о(М)=1.
(11. 10) Легко видеть, что функция о=— 1 в области Р удовлетворяет всем условиям задачи (11.10). Функция о, удовлетворяющая условиям (11.!О), представляет собой частный случай функции Римана. *~ Смс Ильи и В. А. Поз и як Э. Г. Основы математического аиализа Ч. 2. Мл Наука, !980 304 Рассмотрим интегралы вдоль ото резкое характеристик АМ и ВМ.
Рис. 7. !2 Интегрируя по частям, получим л А А ~ Вз с(х = 1 (ив„— и„о) г(х = и (Л4) о (М) — и (А) о (А) + 2 ! ио, г(х, (1! . 7) м м м ,и м м ~ Д с(у = ! (и о — но ) с(у = и (М) о (М) — и ( В) и (В) — 2 ! иок г(у. (1! . 8) в в и Из соотношений (11.6) — (11.8) вытекает формула (о脄— ио„„) гХх г(у = и (М) о (М) — — (и (А) о (А) + и (В) о (В)) -гА м + — ~ Рг(х+Яг(у+~по,с(х — ~гго„г(у.
(!1.9) Если подставить функцию Римана о(х, у) =1, являющуюся решением задачи (11.10), в формулу (11.9), то получим в и„у с!х г(у = и (М) — — (и (А) + и (В)) + — ) ( — и, с!х+ и„с(у), ! о л или, учитывая, что функция и(х, у) является решением задачи (11.2) — (11.4), и(М)= — (гр(Л)+!р (В))+ — д! и,г(х — и,с(у+ ~Г(х, у) с(хс(у. (!!.11) ! г лв о и(х, у) = !р(х, у), (х„у) ~ С, — и (х, у)=ф(х, у), (х, у) енС, дв (11.14) (ге контур С выбирается так же, как и для задачи (1!.12)— 11.14) . О п р е дел е н и е.
Два дифференциальных оператора В и называются сопряженными, если разность ойи — иКо !вляется разностью первых частных производных по х и у от некоторых выражений У и Ц: ! /дУ дУ' ! ойи — иКо = — ~ — — ), 2 ~дк ду ) причем й. не содержит производной и„, а 6с не содержит производной и„. Сопряженным к оператору В будет оператор К следующего вида: (11. 15) Формула (!!.11) дает решение задачи (11.2) — (11.4) через входные данные, поскольку на дуге АВ выражения и„= и, соз (т, "х)+ и„соз (и, х) и„= и, з!и (т, х)+ и,, а!п (и", х) известны. 3 а меч ание. Из формулы (11.!1) следуют: !) теорема единственности решения задачи (11.2) — (1!.4), 2) теорема устойчивости решения задачи (11.2) — (!1.4), 3) теорема существования решения задачи (11.2) — (1!.4) прн выполнении условия гладкости входных данных.
Рассмотрим теперь более сложную задачу: !. (и) = — и„„-1- а (х, У) и„ч> Ь (х, У) ив+ с (х, У) и = ) (х, У), (х, У) ~ Л+' (1!.12) (11,13) Ко =— о,„— (ао)„— (Ьо)„+ со. (1! .! 6) зоз Непосредственной проверкой легко устанавливается, что для операторов Е и К выполняется равенство (11.15), где ! г / д'~ д.У (о!.и — иКо) /!х/(у = — ~ ~ — — ) /(х/)у = 2 д ~ дк дУ ) о о А м 2,1 2,1 = — ( д'/(х+/2 с(у = — [ Р /(х+ — 1 У /(х+ /2/(у+ — [ /2/(у.
2,1 2,1 г м лв в (11.17) Интегралы по отрезкам характеристик АМ и ВМ проинтегрируем по частям. В результате получим л А ~ Ж/!х= и (М) о(М) — и(А) о(А)+2 ) Ф [о] и/(х, м м м м '! б//(у=и(М)о(М) — и(В) о(В) — 2 ~ б/ [о]и/!х, в (11.18) тде д [о] = о„ вЂ” до, Д [о] = о„ вЂ” ао. (11.19) Рассмотрим теперь следующую задачу с данными на характе- ристиках (задачу Гурса): Ко = О, (х, у) ~ Р, Ф [о]] вм — — О, 4[о]!мв=-О, о(М)=1. (11. 20) Задача (11.20) является обобщением рассмотренной в э 10 общей задачи с данными на характеристиках (10.5) — (10.7), и поэтому, повторяя с необходимыми уточнениями приведеннгяе при исследовании этой задачи рассуждения, можно показать, что решение задачи (11.20) всегда существует.
Оно называется функцией Римана. Зная функцию Римана, легко построить решение задачи (11.12) †(11.14). Из формул (11.17) — (11.20) с учетом (11.12) получается 306 У[и, о[=ив„— и„..о — 2дио, Д [и, о] = ои„— о,и + 2аио. Проинтегрируем равенство (11.15) по области Р, воспользовавшись формулой Грина: и(М)=ч'( ) '( )+ Р( ) ( )+~п(х, У)1'(х, У) ЫхйУ— 2 в — — ' ~З'(х+а у, 2 ) (11.21» и(А) о(А)+и(В,) о(В,) у и (М,) 2 + в, — 1 айаг(хг(у — — ~ У дх+г) с(у г2,) в Л с начальным значением, заданным на дуге АВ, и функцией 1(х, у), заданной в области 1)ь— криволинейном треугольнике М,В,А (рнс. 7.13).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
