Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 47
Текст из файла (страница 47)
(9.24) Рассмотрим теперь одномерный случай. Будем снова ис- ходить из формулы Пуассона (9.21). Пусть входные данные задачи (9.1), (9.2) зависят от одного пространственного пере- менного х: 2р=2р(х), тр=тр(х), 1=)(х, !). Введем сферическую систему координат с центром в точке М(х), ось которой напра- вим по оси х. Очевидно (рис. 7.10), ОЬ = гт йо = г' з1 п 0 216 Йр.
Из рисунка следует, что ~=х+гсозб, !!с=- — гз1пб220, поэтому г 2(то = г з! п б т(б т(тр = — т($ г)тр. Из формулы Пуассона (9.21) получим и (х, Г) = — ~ — ~ гтр ОЬ+ ~ гтр с(то ~ + ! д г 4ла ! д! ьм а! а! 2л к — а! + — ~О(т ~ 7 (Я, ! — — ') гт(то= — ' ~ — ~ О(тр ~ 2р(Ь)( — тф)+ О О х+а! ат 2л к — а! 2л к — аи — О +~ 21 ~ тр(Ь)( — оа)~+ —,~2( ') т(ф ~ 2(ь ')'(ь= О к+а! О О к+ам — П х+а! к-та! х-'ат 2а ~ д! О д ~ 2а х — а! к — а! О к — ат (9.26) Проднфференцнруем п рвый интеграл в правой части формулы (9.26) по 1 и сделаем в последнем интеграле замену г — т на т. В результате потучим хорошо нам известную формулу (7.24): к-~-а! и(х, г)=- ~ ) ' ~( ) + ' ~ тр5)222+ 2 2а к — а! кта2! — т! — 12( '1 1(Ь, )214 О к — а<! — т! ц, в частности, при г'=— 0 формулу Даламбера (7.10).
Отметим, что уравнения колебанпй с тремя, двумя н одним проетранствениым аргументом часто называют уравнениями сферических, цилиндрических и плоских волн. Метод, заключающийся в получении из формулы решения с большим числом пространственных переменных формулы ре- щения с меньшим числом пространственных переменных, носит название метода спуска Адамара. Этот метод применим не только к уравнению колебаний, но и к другим типам уравнений.
5. Локальные начальные условия Пусть в задаче (9.1), (9.2) функция 7'(М, 1) тождественно равна нулю. Рассмотрим случай локального начального возмущения, когда функции рр(М) и рр(М) отличны от нуля только в некоторой ограниченной области Рр. Будем изучать изменение состояния и(Мр, 1) в точке Мр=(хр, ур, ар) трехмерной области, лежащей вне области Ор. Формула Пуассона (9.21) при 7'(М, 1) = — 0 имеет вид " "= — '( — 'Р"'Р"'1 М, „м, ар -аг Функция и(Мс, 1) отлична от нуля только в том случае, если сфера Хаг' пересекает область начальных значений О,. Пусть и', и с(р — расстояния от точки Мр до ближайшей и наиболее удаленной точек области О,: 4= ппп р(М„М), ди= шах р(М,, М), мепр меп где р(М„М) — расстояние между точками М, и М (рис.
7.11). Если 7(1,= —, то Х',г'П О,= Я др м, й и и(М„г)=0, т. е. возмущение до точки М, еще не успело дойти. Если 1, =- — (1 ( 1 = —, то 4 ~~а а' а а г ХД' П О, Ф 8 и, вообще говоря, ! и(Мр, 1) ~0 — точка М, находится мр в возмущенном состоянии. Юр 'гг Если 1) гр= — ', то Х.г'ПО,= и и(М„1) =0 — возмущение прошло точку'М,.
Таким образом, прн распространении локального возмущения в трехмерном пространстве отсутствует явление после- Рис. 7.11 действия. Если точка М, принадлежит области Р„ то возмущение в ней отличие от нуля вплоть до момента времени 1 = †, где д = и = гпах р(М,, Р) †максимальн расстояние от точки М, до грани- Рез цы области О,. 29$ з'(з, ч) Жкч цм, м (9.28) т. е. начальными значениями в точках РД, т)), принадлежащих м, кругу Уи' радиуса аГ с центром в точке Мо. Пусть г(1 — расстояние от точки Ма до ближайшей точки области Ов Если Г ~!, = — ', то Ом' () О, = 8 и и (М„!) =Π— возмущение еше не дошло до точки М,. Если ) ) Го то (/~~' П О, ~ Я и и (Л(„Г) ~ О.
Начиная с момента Г=гь в точке М, возникает возмущение, которое сначала возрастае~, а затем, начиная с некоторого момента из-за наличия величины (аГ)' в знаменателе подынтегральных выражений, постепенно убывает до нуля при Г- о. В этом явлении последствия и заключается отличие плос. кого случая от пространственного. Мгновенная картина воз- 296 Рассмотрим теперь мгновенную пространственную картину возмущения и(М, га) в некоторый момент времени гв Точки М, находящиеся в возбужденном состоянии, характеризуются м тем, что сферы Х,и пересекают область начальных возмуще- ний Ов Таким образом, множество точек )г', в которых возму- щение отлично от нуля, состоит из точек М, находящихся на сферах Хи, радиуса алло с центрами в точках М' области О;.
)Р= Ц Е."„' м ео, м. Огибающие семейства сфер Х„„ЛГ г:-О,, являются граница- ми области Ю'. Внешняя огибаюптая называется передним фронтом, внутренняя — задним фронтом распространяющейся волны. Следовательно, в трехмерном случае начальное возмуще- ние, локализованное в пространстве, вызывает в каждой точке М, пространства действие, локализованяое во времени. При этом имеет место распространение волны с резко очерченными передним и задним фронтами — выполняется принцип Гюй- генса. Перейдем к случаю двух пространственных переменных Пусть локальное возмущение задано в двумерной области О, на плоскости (х, у).
Рассмотрим изменение состояния и(М„Г) в точке Мм лежащей вне О,. Возмущение и(М,, Г)=и(хм уа, () в точке М, в момент г определяется согласно формуле (9.25) выражением ~а ч (я, ч) гайдн и(х, у, г)= — 1— ь 2яа ( д~ .) 7 (а~)' — (хо — $)' — (уо — Ч)' им ы 6. Установившиеся колебания Рассмотрим в заключение задачу (9.1), (9.2) с нулевыми начальными условиями и правой частью, являющейся периодической функцией времени: ~(М, 1)=7(М)е- ~, (9.29) где 1(М) — финитная функция с локальным носителем в области Й: зцрр(с:О а1.
Формула Пуассона (9.21) дает 1 — и п(М, 1)= ' 1' "0' ау. ) и (9.30) к/и а~ Обозначим через е(, и дз соответственно минимальное и максимальное расстояния от точки М, не принадлежащей носителю функции 1, до носителя: дз= ппп о(М, Я), йа= гпах р(М, О). Оезчрр1 Оезнрр1 Тогда, учитывая формулу (9.30), получим О, 0<1< — ', а ' —,Ям е гм 1(О)е ' ч 4~ нз и(М, 1)= — <1< —. (9.31) о а ) ! е-з"')1 (М), 1) — "', а м Смз Владимиров В С.
Уравнения математической физики. М: Наука, 1989. мущений на плоскости имеет резко очерченный передниув фронт, но не имеет заднего фронта. Влияние начальных возмущений, локализованных на плоскости, не локализовано во времени и характеризуется длительно продолжающимся после- действием.
Принцип Гюйгенса не выполняется, Наличие последействия в двумерном случае, в отличие от трехмерного, когда последействие отсутствует, легко объяснить. Двумерный случай является частным случаем трехмерного, когда начальные условия заданы в бесконечном цилиндре, который пересекает сфера любого сколь угодно большого радиуса с центром в точке Мо, где функция )к(М) имеет вид ~ми у (М)= ' (' )(О' а, (9.32) 4аак,) имс й Интеграл в средней строчке формулы (9.31) зависит от 1, поскольку от ! зависит область интегрирования, в то время как функция У(М) от времени не зависит.
Следовательно, в кажк!к (А4) дой точке М, начиная с момента времени !о(М)= ' ', под а действием локального периодического возбуждения устанавливаются периодические колебания с той же частотой. Амплитуда этих колебаний определяется формулой (9.32). Средняя строчка формулы (9.31) определяет процесс перехода к установившимся периодическим колебаниям. й 10. ЗАДАЧА С ДАННЫМИ НА ХАРАКТЕРИСТИКАХ (ЗАДАЧА ГУРСА) В $ 7 явное аналитическое выражение решения задачи с начальными условиями для уравнения колебаний на бесконечной прямой было получено методом интегрирования по фазовой плоскости. Этот метод оказывается удобным и в ряде других задач, в частности для решения простейших задач с дополнительнымн данными, заданными на характеристиках.
Начнем с решения простейшей задачи, заключающейся в определении для х>0 и у>0 решения неоднородного уравнения и„„=- ! (х, у), х > О, у > 0 (1О. 1) с заданной правой частью и дополнительными условиями: и(х, О)=<р,(х), и(0, у)=~р,(у), (10.2) ~р, (0) =<р,(0) =и(0, О). (10.3) Так как прямые х=сопз( и у=сонэ! являются характеристиками уравнения (10.1), то задача (10.1) — (10.3) называется задачей с данными на характеристиках, нли задачей Гурса. Существование и единственность решения задачи (10 1)— (10.3) будет следовать из дальнейших рассмотрений Пусть решение задачи (10.1) — (10.3) существует. Получим его явное представление через входные данные.
Для определения решения задачи (10.1) — (1О.З) в произвольной точке (х, у) проинтегрируем (10.1) по прямоугольнику 0=(0<а<х, 0<я<у). Интеграл от левой части уравнения (10.1) с учетом дополнительных условий (10.2) дает к д ~ и„„к(з =- ~ ~ ик„Щк(я =и(х, у) — и(х, 0) — и(0, у)+ и (О, 0) = и о о =и(х, у) — кр, (х) — <р,(у)+~р,(0), 2во откуда и получается явное аналитическое выражение для решения задачи (10,1) — (10.3) через входные данные — функции ф,(х), фт(у), 1(х у): и(х, у) =фт(х)+фт(у) — фт(0)+ ') '11(5, т1)Щг1т). (10.4) о о В предположении существования решения задачи (10.1)— (10.3) формула (10.4), так же как и формула Даламбера (6.10), доказывает единственность решения этой задачи.
Для доказательства существования решения можно воспользоваться прямой проверкой, из которой следует, что при условии дифференцируемости функций ф,(х) и ф,(у), условии согласования входных данных ф|(0)=фт(0) и непрерывности функции 1(х, у) формула (10.4) определяет функцию, удовлетворяющую всем условиям задачи. Итак, простейшая задача с данными на характеристиках решается достаточно просто. Значительно сложнее обстоит дело в случае уравнения более общего вида. Даже для линейного уравнения и,„+а(х, у)и,+6(х, у) и„+с(х, у)и=7(х, у), где а(х, у), Ь(х, у), с(х, у) — гладкие функции х, у, в общем случае не удается получить явного аналитического представления решения, и при решении практических задач необходимо использовать различные методы построения приближенных решений.
Рассмотрим общую задачу: и„„+а(х, у) и,+5(х, у) и, +с(х, у)и=1(х, у), х)0, у)0, (10.5) и(х, 0)=фт(х), и(0, у)=фт(у), (10.5) ф, (0) = ф, (0) = и (О, 0). (10.7) Перенеся все члены уравнения (10.5), кроме первого, в правую часть и обозначив г (х, у, и, и„, ит) =1 — аи — би„— си, можно формально рассматривать полученное уравнение, так же как и уравнение (10.!), и записать его формальное решение в следующем виде: и(х, у) =ф1 (х)+ф,(у) — ф,(0)+ ) Естес(т)= ~ ~ ГЩЬ1+Ф(х, у), о о о (10,8) где Ф (х, у) = ф, (х) + ф, (у) — ф, (0) . 299 Если ввести интегродифференциальный оператор А по формуле А [и] = ) ') Е ~$ Й), о о то уравнение (10.8) можно записать так: и =А [и]+Ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
