Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 44
Текст из файла (страница 44)
7.2). Значение функции (7.6) в точке М(хо, !о) равно ~6~;-а(„47 .~х с~ 07 х Х2 Рис. 7.2 Рис, 71 и (хс гс) = 71(хс а!с) + (с(хс+ а!с). чм образом, значение функции и(х, !) в точке М(хо, !с) [еляется значениями функций 1,(х) и 1,(х) в точках (, — а!с, О) и 9(ха+а!с, О) соответственно, являющихся верми треугольника МРЯ, образованного отрезками двух хазристик н отрезком оси х (см. рис. 7.2). Этот треугольник ,вается характеристическим треугольником точки М(х„!с).
формулы Даламбера (7.!О) видно, что отклонение и(х,, 7с) чкн х, струны в момент времени !с зависит только от значений начального отклонения в вершинах Р(х,— а!с, О) и Я(хст +а!с, О) хаРактеРистического тРеУгольника МРЯ и от значений начальной скорости на стороне РЯ. Поэтому формулу ! 7. ! О) удобно переписать та к: 273 и (М) = + — !р (2) !72. 2 2а .) (7.
14) 5!пх, х ~ [О, л), !р (х) = ~ [ О, х4~ [0, л). Обратимся снова к фазовой плоскости. Проведем через точки Р(0, 0) и Я(л, 0) правые и левые характеристики. Эти характеристики разобьют верхнюю полуплоскость фазовой плосности на шесть областей (рис. 7.3). Рассмотрим, чему будет равно отклонение и(х, !) струны в каждой из этих областей. хс и хс х!!~с Рис. 7.4 д л Рис. 7.3 Так как начальная скорость равна нулю (ф(х) =0), из формулы Даламбера (7.10) следует, что отклонение струны в каждой из областей есть сумма левой и правой бегущих волн: и (х, !).= — (!р(х —,а!)+!р(х+а!)).
! (?.1 5) Из формулы (7.!4) следует, что в областях 1, П1 и Ъ' отклонение равно нулю. В самом деле, если взять в любой из этих областей точку М (хс, гс) и построить для нее характеристический треугольник, то вершины при основании этого треугольника на оси 7= =0 лежат вне отрезка [О, л), на котором функция начальных условий отлична от нуля.
Из аналогичных построений вытекает, что в области П будет существовать только правая нол- 274 Начальные данные !р(х) и ф(х), заданные вне отрезка РЯ, не оказывают влияния на значения функпии и(х, !) в точке М(х,, 1,). Физически это связано с конечной скоростью распространения возмущения вдоль колеблющейся струны. Рассмотрим два примера. П р и м е р 1. Пусть начальные скорости равны нулю: ф(х)=0, а начальное отклонение струны является локальным. т. е. отличным от нуля на отрезке [О, л) и равным нулювнеэтото отрезна. Пусть, например, функция !р(х) имеет следующий вид: ! на и (х, 1) = — <р(х — а(), а в области 1Ч вЂ” левая волна 2 1 и(х, 1)= — ~р(х+аг). Если, наконец, построить характери- 2 стнческий треугольник для любой точки М(хе, ге) области Ч1, то обе вершины при основании этого треугольника будут находиться в пределах отрезка 10, п].
Следовательно, в области 'т'1 отклонение будет представлять собой сумму правой и левой волн (7.16). Итак, в различных областях отклонения будут иметь следующий вид: и(х. 1) =О в области 1, 11! и Ч; ! и (х, 1) = — е!п(х — аг) в области 11; 2 ! и (х, () = — гйп(х+а1) в области 1Ч; 2 и (х, 1) = — (з(п(х — а()+з!п(х+а!)] =е!ихсозаг в области Ч1, 1 2 т. е. в этой области суперпозиция правой и левой бегущих волн дает стоячую волну. П р и м е р 2. В качестве второго примера рассмотрим случай, магда начальное отклонение тождественно равно нулю ч (х) =— О, а начальная скорость отлична от нуля и равна постоянной аре только в е-окрестности точки ха.. (7.16) ( ф,, х ~(х,— е, х,+е). В этом случае из формулы Даламбера (7.10) следует, что возмущение струны можно записать следующим образом: ка-а! и, (х, Г) = — ~ кр (г) е(г.
(7.17) 2а,) к — аа Снова рассмотрим фазовую плоскость (х, 8) и проведем через точки Р(хе — е, 0) и Я(ха+а, 0) характеристики, моторые разобьют верхнюю полуплоскость на шесть областей (рис. 7.4). В области 1 выполнены неравенства х+а()х — а1)хе+а. Поэтому согласно формуле (7.!6) подынтегральная функция в интеграле (7.17) равна нулю и и,(х, 1) =О. В области П выполнены неравенства хе — е<х — а(<хе+а< <х-'аг, н согласно формулам (7.16) и (7.!7) будем иметь к*-~-а и, (х, г) = — аг (г) е(г = — ' (х, + е — (х — а~)), 2а,) 2а к — а! 2тз т. е.
правую бегущую волну, профиль которой при фиксированном е е е > !е = — линейно изменяется от — фе до О при х, — е < х— а а — а!<хе+в. В области 11! выполнены неравенства х — а!<хе — в<хе-ге< <х+а1, откуда хк+к и,(х, 1)= 1 ф(г)е(г= — ф,. (7.18) 2а,3 а х,— е Тем самым в области !!1 смещение точек струны не зависит ни от х, ни от г. В области 1Ъ' имеем неравенства х — а!<хе — е(х+а!(х,+е и «+а! и,(х, !) = ~ ф(г) де=- — '(х+а! — (х,— е)), 2а кк — к т.
е. в области 1Ъ' существует левая бегущая волна. В области Ъ' выполнены неравенства х — а!<х+а!<хе — е, поэтому согласно (7.16) подынтегральная функция в интеграле (7.17) равна нулю и и,(х, !) =О. Наконец, в области Ъ'1 имеем неравенства хе — е<х — а!< <х+а!<хе+в, откуда ае (х Г) ) Ф (г) е(г = кто. ! 2а к — а~ Таким образом, смещение всех точек х струны, попавших в эту область, линейно растет во времени, достигая в точке хе в мое мент времени !е = — (точка М,(хе, !е) фазовой плоскости а принадлежит областям 11, 111, !Ъ«и Ъ'1 одновременно) значения — т. е.
значения постоянного смещения точек струны в а области 111 фазовой плоскости. Отметим, что эффект постоянного смещения точек струны в области 1!1 фазовой плоскости при локальном возбуждении начальной скоростью очевиден, поскольку пределы интегрирования в формуле (7.18) не зависят ни от х, ни от б Если начальная к,-~-е хг(г)е(г=О, то эффекта последействия нет, в противном к,-е случае точки струны получают постоянное смещение, расплывающееся по струне в обе стороны со скоростью а вдоль характеристик х — а!=хе — е и х+аг=хе+е. Замечание. В рассмбтренных примерах начальные данные не удовлетворяют условиям гладкости, которые были сформулированы в теореме существования классического ре- 27Е шения задачи Коши. Однако в силу доказанной выше теоремы устойчивости проведенное рассмотрение вполне правомерно, поскольку оно дает качественную картину поведения классического решения с гладкими начальными условиями, сколь угодно точно аппроксимирующими рассмотренные разрывные начальные функции в формуле Даламбера (см.
замечание к и. 3). б. Колебания струны под действием мгновенного сосредоточенного импульса Предположим, что в начальный момент 1=0 точкам однородной струны х~[хс — е, хи+а] сообщают постоянную скорость фс, например, ударяя по струне молоточком. Тем самым к этому участку струны прикладывается импульс 1„равный измерению количества движения при 1=0: 1с=2арфс, где р — постоянная линейная плотность струны. Таким образом, нужно решить задачу о колебаниях бесконечной струны с нулевым начальным отклонением ч~(х)= — 0 и начальной скоростью, равной постоянной фс=1с12ер на интервале (хс — е, хо+в) и нулю вне этого интервала. Решение этой задачи проанализировано в примере 2 п. 4.
Если теперь совершить предельный переход при е- О, увеличивая одновременно начальную скорость фс так, чтобы суммарный начальный импульс 1и сообщенный струне, оставался постоянным, то в пределе из шести областей верхней полуплоскости остаются только три; первая, третья и пятая (рис. 7.5).
При этом в областях 1 и Ч решение Рис. 7.5 Рис 7.6 равно нулю, а в области П! равно предельному значению при е- 0 решения примера 2 п. 4: и (х, 1) =! (гп и, (х, 1) = —" с-~с ' 2ар Можно условно говорить, что эти отклонения вызываются мгновенным точечным импульсом 1с. Рассмотрим на фазовой плоскости две характеристики, проходящие через точку М(хс, 1с) (рис.
7.б): 277 х — а/=х,— аа„х+а1 =х,+а1,. к-, 'а(1 — к) и, (х, г) = — ~ /(а, т) ((в ва а — а(1 — к) и нулю при 1<т. Если внешняя сила, распределенная непрерывно в пространстве и во времени, начинает действовать в момент времени /=О, причем начальные смещения и скорости точек струны нулевые, то в силу принципа суперпознцни отклонение равно 1 к+а(1 — 1) и(х, 1) = ) ~ /(а, т)(ка((т. (7. 19) а к — а(1 — к) Отметим, что нз формулы (7.!9) следует, что отклонение точек струны под действием распределенной с плотностью /(х, 1) силы определяется лишь значениями функции /(х, Г) внутри нижнего характеристического угла точки (х, Г) на фазовой плоскости н не зависит от распределения этой силы вне данного характеристического угла.
В этом проявляется эффект конечной скорости распространения внешних воздействий на точки струны. Формула (7.19) получена на физическом уровне строгости. Получим теперь строго математически более общую формулу, из которой будет следовать формула (7,19). 278 Эти характеристики определяют два угла а, и аь называемых соответственно верхним и нижним характеристическими углами точки М(х„ /а). Действие мгновенного точечного импульса /()=р в точке М(хм /а) вызывает отклонение, равное и,(х, 1) = =1/2а внутри верхнего характеристического угла точки М(хо, /о) и нулю вне его.
Эту функцию и()(х, 1) естественно называть функцией мгновенного сосредоточенного импульса, приложенного к точке ха струны в момент времени 10. С другой стороны, из этих рассуждений следует, что отклонение в произвольной точке х струны в момент времени 1, вызываемое мгновенным импульсом /„в точке х() в момент времени Гм зависит от того, находится ли точка фазовой плоскости М (х, г) внутри верхнего характеристического угла точки М (х,, /()) или нет. Если точка М(х, 1) расположена внутри верхнего характеристического угла точки М(х,, (а), то и(х, /) = =/о/2ар, если нет, то и(х, 1) = — О. Предположим теперь, что в момент времени (=т струне сообщается распределенный импульс с плотностью распределения р/(х, т).
Отклонение, вызываемое таким импульсом, на основании принципа суперпозиции равно при /)т — ~(х, 7) с(хй. (7.21) 1 2а длвм Применим к интегралам в левой части формулы Грина (7.20): и иггг(хг(7 = — ') иггтх— д лвм л Рис. 7.7 — 1 игг(х — ) иге(х, в м (7.22) в л и м гг„„г1хв2 = '1 гг„г11 + 1 гг„сИ+ 1 и,Ж.
л й м Поскольку на отрезке 4В г(7 =0, а на отрезках характеристик ВМ и МА имеют место соотношения с(х= — аг(г и г(х=ас(1 из формул (7.22) имеем (ии — а и„,) с1хЖ = — ~с иге(х + а ~ (игг(7 + и„г(х)— д лам л в ч Смс Ил ь и н В. А. Поз н н к Э. Г. Основы математического анализа. Ч, 2. М: Наука, г980. 279 Напомним известные из курса математического анализа формулы Грина* >, которые сформулируем в удобном для нас виде. Пусть функция Е(х, 1) непрерывно дифференцируема в области Р и непрерывна в области ьтгВ(х, 1)евСгп(Р)ДС(ьг), где Р= — Р()à — двумерная область с границей Г в плоскости (х, 1). Тогда имеют место следующие формулы: г(хс(1 = — ~ г" (х, 1)г(х. (7.20) дг В г '"" 0 (х(7=1Р(х, 1)ж, дх о г где контур Г проходится в положительном направлении (чтобы область Р находилась слева от направления движения).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
