Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Характеристиками являются два семейства прямых: х — а~ = С„х+ а2 = С2, где С, н С2 — некоторые постоянные. Введем новые переменные $=х — ай Ч=х+ай Тогда уравнение колебаний (7.3) преобразуется к виду (?,„= о. (7. 5) где Уф, 21)=и(х(Ц, Ч), у($, 2))). Найдем общий интеграл уравнения (7.5). Для всякого реше- ния уравнения (7.5) получаем (?~ (в Ч) = 1 (Ч) где 1(Ч) — функция одного переменного Ч. Интегрируя по- следнее равенство по Ч при фиксированном $, получим (?($ ч) =~,г(ч)2(ч+12%) =1 6)+12(ч). где функция 1,(~) является функцией только переменного $, а 12(Ч) — функция только переменного Ч. Верно и обратное: ка- ковы бы ни были дифференцируемые функции 12(9) и 12(ч) функция У(~, Ч), определяемая формулой (7.6), представляет собой решение уравнения (7.5). Так как всякое решение урав- нения (7.5) может быть представлено в виде (7.6) при опре- деленном выборе функций 1, и 12, то формула (7.6) является общим интегралом этого уравнения.
Следовательно, функция и (х,1) = 1, (х — а1) + 1, (х+ аГ) является общим интегралом уравнения (7.3). Определим функции 1, н 12 таким образом, чтобы удовлет- ворялись начальные условия (7.4): и(х, 0) =1,(х)+1,(х) =29(х), (?.7) и,(х, 0) = — а12(х)+а12(х) =ф(х), хан К2, где штрих означает производную по полному аргументу соот- ветствующей функции.
Обозначим аргументы функций 1, и 12 через ~. Тогда, инте- грируя второе из равенств (7.7), получим 1! (2) + 12(2) Ч'(2) — 12(~)+1,('„') = — ~ф(г) 2(г+С, м где ьа и С вЂ” некоторые постоянные. Вычитая и складывая равенства (7.8), получим ),(!) =- — ф("-) — -"ф(г) йг —, 2 ' 2аг 2' к (7.9) г 0 ф (ь) с С "Р (г) йг + —, 2 2а,) 2 ' причем последние два равенства должны выполняться при любом значении аргумента 1~1'. Подставляя найденные выражения (7.9) для функций ), и )г при значении их аргументов соответственно ~=х — а1 для 1,($) и с=х+аг для ),($) в формулу (7.6), получим к-к а К и(х, !) — ф( ) ф( + ( ф(г)йг.
(7.10) 2 2а .1 к — ы С Заметим, что постоянные .+ —, входящие в формулы (7.9), 2 ' в выражении (7.10) для решения исходной задачи сократи- лись. Формула (7.10) называется формулой Даламбера. 3. Существование, единственность и устойчивость решения задачи Коши гто Формула Даламбера (7.10) дает возможность доказать единственность, существование и устойчивость решения задачи Коши (7.3), (7.4).
Т е о р е м а 7,4. Пусть функция ф(х) дважды непрерывно дифференцируема, а функция ф(х) непрерывно дифференцируема на бесконечной прямой К'. Тогда классическое решение задачи Коши (7.3), (7.4) существует, единственно и определяется формулой Даламбера (7ПО). Д о к а з а т е л ь с т в о. Единственность. Предположим, что классическое решение задачи Коши (7.3), (7.4) существует.
Тогда оно представимо в виде (7.10). Если существует второе решение задачи (7.3), (7.4), то оно также должно представляться формулой (7.10) и тем самым совпадать с первым. Существование. Пусть функция ф(х) дважды непрерывно дифференцируема, а функция ф(х) непрерывно дифференцируема на бесконечной прямой. Тогда непосредственной проверкой легко установить, что функция и(х, 1). представимая формулой Даламбера (7.!О), является классическим решением задачи Коши. ° 3 а и е ч а н и е. В формулировке теоремы условия, накладываемые на начальные функции ф(х) и ф(х), менее жесткие, чем в теореме существования решения начально-краевой за- дачи для уравнения колебаний на отрезке. Это связано с различными методами доказательства соответствующих теорем.
Формула Даламбера дает возможность доказать устойчивость решения задачи Коши (7.3), (7.4) по начальным данным. Обозначим через и,(х, 1) решение задачи Коши (6.3), (6.4) с начальными функциями !рк(х), фк(х), з=!, 2. Тео ре м а 7.5. Пусть начальные функции !р,(х) и фк(х) (з=1, 2) двух задач Коши (7.3), (7.4) удовлетворяют услови!срк(х) — !р,(х) ! (е, хан(4! ~ !фг(г) — аР,(г)!'дг(ва(Ь вЂ” а)' (7.1 !) к — а! Оценивая интеграл в правой части с помощью неравенства Коши — Буняковского к+а! к-';-а! кЧ-а! (ф! (г) — фа (г) ! дг ( ( ~ ! ф! (г) — фа (г) !' дг)'" ~ ~ Йг) "г к — а! к — а! к — а! и учитывая неравенство (7.1!), имеем оценку )иг(х, 1) — и,(х, 1)! ( (— + — + — 2ас(е(! +Т).
° 2 2 2а 3 а м е ч а н и е. Сформулированная теорема устойчивости справедлива для любых функций и,(х, !) и и,(х, !), представимых формулой Даламбера. Поэтому можно расширить понятие решения задачи Коши (7.3) — (7.4) для случая негладких начальных функций !р(х) и !р(х). Решением задачи Коши в случае негладких начальных функций будем называть предел выражений, представленных формулой Даламбера (7.10), полученных для сглаженных начальных функций !р(х) и кр(х), сколь угодно близко аппроксимирующих функции гр(х) и ф(х).
271 для любых постоянных а и Ь. Тогда для решения этих задач при (~'!О, Т'! выполняется неравенство )и,(х, !) — и,(х, 1)! (е(1+Т), (х, !) е!1, (7.12) Д о к а з а тел ьс т во. Записав решения и!(х, !) и иг(х, 1) задач Коши (7.3), (7.4) с помощью формулы Даламбера и оценивая модуль разности, получим ) и,(х, 1) — и (х, 1)) ( — (<р! (х — а1) — !р,(х — а1)! + 1 к+а! + — !!рг(я+ а!) — <р, (я+ а!) (+ — ~ )кр! (г) — ф,(г) ! дг. 1 1 2а 4. Физическая интерпретация решения Функция и(х, Г), определяемая формулой (7.!0), представляет процесс распространения начального отклонения и начальной скорости. Если фиксировать некоторый момент времени Г=(м то функция и(х, Г,) дает профиль струны в момент времени (ь Зафиксировав точку х=х„мы получим функцию и(хм Г), которая описывает процесс движения точки хм Предположим теперь, что некоторый наблюдатель, находившийся в точке х=0 в момент времени Г=О, движется со скоростью а в положительном направлении оси х.
Введем систему координат (х', К), связанную с наблюдателем. Для зтого положим х'=х — а(, В системе координат (х', К) функция и(х, 1) =)(х — аг) определяется формулой и=((х'), т. е, наблюдатель все время видит тот же профиль, что и в начальный момент. Следовательно, функция и(х, Г)=1 (х — аГ) представляет собой неизменный профиль ) (х), который перемещается вправо (в положительном направлении оси х) со скоростью а. Иными словами, функция и(х, ()=1(х — аГ) представляет собой бегущую волну, распространяющуюся в положительном направлении оси х сд скоростью а. Для краткости мы будем называть ее правой бегушей волной. Аналогично функция и(х, г)=1(х+аг) представляет сооой бегущую волну, распространяющуюся со скоростью а в отрицательном направлении оси х, т.
е. левую бегушую волну. Таким образом, общее решение (7.6) задачи Коши для бесконечной струны (7.3), (7.4) есть суперпозиция двух бегущих волн; правой волны 1 7, (х — аГ) .= — ~р (х — а1) — Ч'(х — а ~) 2 и левой волны ! ,', (х + а() = — ~р (х+ аГ) + Ч' (х+ а ,'), 2 где функция Ч' имеет вид Чг (ь) = — 'т' (2) г( 2а .1 г ."о — некоторая постоянная. Для выяснения характера решения (7.6) задачи К, от. (7.3), (7.4) удобно пользоваться плоскостью состояния (хр нли фазовой плоскостью. Как было отмечено в п. 2, прям;„ х — а(=Сь х- аг=Сь где С, и С, — некоторые постоянные, я„ ляются характеристиками уравнения (73). Функция и= =1(х — аг) вдоль характеристики х — аГ=С, сохраняет постоянное значение )(С,), функция и=((х+аг) постоянна вдоль характеристики х+а(=Сз и равна 1(Сз).
272 Пусть функция !(х) отлична от нуля в интервале (хь хс) н равна нулю вне этого интервала. Проведем на фазовой плоскости через точки (хь О) и (х,, О) соответственно характеристики х — а1=х, и х — а!=ха Эти характеристики разбивают верхнюю полуплоскость !>О фазовой плоскости на три области (рнс. 7.!). функция и(х, !) =1(х — а!) отлична от нуля только в области П, где выполняются неравенства хг<х — а!<х,.
В областяк 1 и П1 выполняются соответственно неравенства х — а!>х, и х — а!<х, н функция и(х, !)=!(х — а!) равна нулю. Характеристика х — а7=х, представляет собой передний фронт правой бегущей волны и=!(х — а!), а характеристика х — а!= =х, — ее задний фронт. Аналогичным образом можно дать интерпретацию левой бегущей волны на фазовой плоскости (х, 7). Выберем на фазовой плоскости некоторую фиксированную точку М(х„!с) и проведем через нее характеристики х — а)=- =хс — а!с и х+а(=ха+а!с. Эти характеристики пересекут ось х соответственно в точках Р(хс — айь О) и Я(ха+асс, О) (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
