Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Конкретный вид функции О(С) и величину $м определяющую положение фронтов соответствующей тепловой структуры, можно найти численно. Из формулы (!3.10) вытекают следующие свойства изучаемой тепловой структуры. Во-первых, эта структура развивается в режиме с обострением. Значение максимальной температуры в центре х=О структуры неограниченно возрастает по закону и (О, Г)= Е(Е)-~-)-оо при Г- Т,. 1 В-третьих, из последней формулы следует, что фронты тепловой структуры движутся со все увеличивающейся скоростью, в пределе, в момент обострения Г=Тм тепловая структура охватывает всю прямую Й', нагревая ее всюду до бесконечной температуры.
Такой процесс горения, описываемый уравнением (13.9), называется Н5-режимом. И наконец, рассмотрим уравнение (13.2) при р=4: и, =- (и'и„)„+ и'. (!3.1!) В этом уравнении мощность источника энерговыделения Я(и)= и4 при больших температурах выше, чем в Я-режиме (Я(и) = =из) и тем более НЯ-режиме (Я(и)=и'). Поэтому возникающие тепловые структуры должны быть локализованными, причем локализация должна проявляться более сильно, чем в Я- режиме горения с обострением. Уравнение (!3.1!)) допускает решение следующего вида; ил (х, г) = — Е я), т за — г ~'Т, — г где Т,>0 — время обострения решения.
Подставив (13.12) в уравнение (13.11), получим уравнение для функции О(5) >О: Во-вторых, в любой момент времени тепловая структура имеет конечные фронты в точках х (1), которые определяются из равенства !хт(Г) ДАТΠ— !=Ва. Следовательно, правый и левый фронты движутся по законам х+ (г) $о х (г) ~о То — г 70 — г (Взб ) — — '$ — ' В+ О4 = О. в з В отличие от случая Н5-режима функция О($) строго положительна всюду, причем при больших значениях !~! она имеет следующую асимптотику: ОЯ) С вЂ”, (в! — ~оо, 1 %!2 ' где Сд — постоянная, которую можно найти численно.
Из формулы (13.12) следует, что в отличие от 5-режима решение (!3.12) не может описывать локализацию процесса горения в строгом смысле. Локализация понимается в эффективном смысле. Решение растет со временем во всех точках, но неограниченный рост температуры в режиме с обострением имеет место только в одной точке х=О. Развитие тепловой структуры приводит к тому, что температура прямой К' остается ограниченной во всех точках, за исключением точки х=О. Температура ограничена сверху некоторым предельным распределением, которое получается из (13.12) после предельного перехода 1-~-Т,: Сл ил(х, 1)(ил(х, Т,)= —. ~х!' Процесс горения, описываемый уравнением (13.11), называется 15-режимом.
В энергетическом смысле этот режим определяет еще более сильную локализацию тепла, чем в случае 5- режима. В 5-режиме температура неограниченно растет на интервале длины (.,=л у'3, а в случае 1.5-режима — только в одной точке, и выделившаяся на развитой стадии горения тепловая энергия практически вся локализуется во все сужающейся со временем окрестности точки максимума температуры. Итак, при различных показателях интенсивности горения развивающиеся в режиме обострения тепловые структуры принимают формы 5-, Н5- и Е5-режимов, обладающие разными свойствами.
Исследование нелинейных математических моделей эволюции диссипативных процессов в сплошных средах позволяет сделать вывод, что на развитой стадии более сложных существенно нестационарных процессов, как правило, обнаруживаются черты, свойственные одному из этих режимов. Если задача допускает неограниченное решение, то она называется глобально (по времени) неразрешимой.
Исследования пространственно-временной структуры неограниченных решений вблизи момента обострения связаны с широким использованием в практике физических экспериментов разнообразных эффектов, порождаемых сверхбыстрыми процессами, например эффекта самофокусировки световых пучков в нелинейных средах, коллапса ленгмюровских волн в плазме и др. Большое значение имеет исследование особых режимов сжатия в задачах, связачных с лазерным термоядерным синтезом. Глава УП УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА' Целью настоящей главы является рассмотрение свойств и методов решения начально-краевых задач для уравнения колебаний р(М) ии — б1т(й(М) Нгаг) и)+д(М) и =-1(М, Г).
Это уравнение мы будем рассматривать как с постоянными, так и с переменными коэффициентами, в ограниченной области и в неограниченном пространстве. Причем рассмотрение будет одновременно проводиться для случая как одной, так и многих пространственных переменных. Мы начнем с рассмотрения обоснования постановки начально-краевой задачи для уравнения колебаний в ограниченной области.
5 Е ПОСТАНОВКА НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ В ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ (! 9) где !а! + ф!~ О. Определение классического решения задачи (1.1) — (1.3) было дано в гл, П1. Напомним его. 253. Пусть задана ограниченная область 0 с кусоч- но-гладкой границей 5, допускающей применение формул Гри- на. Начально-краевая задача для уравнения колебаний в обла- сти О заключается в определении в цилиндре От=ИХ[0, Тт1 функции и(М, Г), удовлетворяющей уравнению колебаний, на- чальным и граничному условиям: рии = г) !т (й игаб и) — Чи+ 1, (М, Г) ~ м (1.!) и(М, О) =-1Р(М), и,(М, О) = ф(М), М ~ В, а(Р) — "+р(Р)и=р(Р, 1), Ре5, 1е[0, со), (!.3) дл 0 п р е д ел е н и е. Классическим решением начально-краевой задачи (1.1) — (1.3) называется функция и(М, !), непрерывная вместе с первыми производными в замкнутом цилиндре гд, имеющая непрерывные производные второго порядка в открытом цилиндре Я, удовлетворяющая в Я уравнению (1.!), начальным условиям (1.2) и граничному условию (1.3).
Если граничное условие (1.3) есть условие Дирихле (а=О), то непрерывность первых производных по М в замкнутой области Й не требуется. Заметим, что для существования классического решения необходимо (но недостаточно) выполнение условия согласования начального и граничного условий следующего вида: а +РР)раз=И(Р, ОИреэ, Я вЂ” +Дерез=Р!(Р, 0)(раз.
д<р д!Р да дл Будем предполагать, что к(М)>0, р(М)>0, д(М)>0, Мее0 и сс(Р))0, р(Р))0, Р я 5, причем а+р>0. В силу линейности начально-краевой задачи (!.!) — (1.3) можно провести ее редукцию и представить решение и(М,() в виде суммы решений трех задач (см. гл. П1); и (М, !) =- и, (М, Г) -)- и, (М, Г) + иа (М, Г), .где и,(М, !) — решение начально-краевой задачи для однородного уравнения колебаний с неоднородными начальными и однородными граничными условиями, и,(М, () — решение начально-краевой задачи для неоднородного уравнения колебаний с однородными начальными и граничными условиями, из(М,!)— решение начально-краевой задачи для однородного уравнения колебаний с однородными начальнымн и неоднородными граничными условиями.
Причем с помощью методов, изложенных в гл. П1, третья задача может быть сведена к первым двум. Поэтому в этой главе мы сосредоточим внимание на построении и изучении решений первых двух задач. й 2. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ Докажем следующую теорему. Т е о р е м а 7.1. Задача (1 1) — (1.3) может иметь только одно классическое решение. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что задача (1.1)— (1.3) имеет два классических решения: и!(М, 1) и из(М,(). Рассмотрим их разность: о(М, Г)=и,(М, Г) — и,(М, Г).
В силу линейности задачи (1.1) — (!.3) функция о(М, !) является классическим решением следующей однородной начально- краевой задачи: (2.1) ро!!=со, (М, !) ~11, п(М, 0)=п,(М, 0)=0, М а=0, (2.2) а — +ро(з — — О, 1е=(0, оо), дл (2.3). где Ео =Жч(й вегас( и) — дп. Используя функцию о(М, 1), построим интеграл Е (1) = — ( (роз+ й (ту~)'+ 4~') Л'.
2,) й (2.4) Функция Е(1) неотрицательна: Е(1) )О и в силу начальных условий (2.2) Ото — ( Е (1) + — ~ Ыю' гЬ) =- О. Следовательно, Е (1) + — г6 Ип' сЬ = сопз(. 2 Т (2.9) 2зв Е(0) =О. (2.5) Покажем, что интеграл Е(1) не изменяется во времени. Для этого вычислим его производную (дифференцирование по 1 под знаком интеграла в (2.4) возможно) — = ( (Ро,он+А туп хуг,+допДйг. чЕ (2.6) о Согласно первой формуле Грина (см. (2.2), 8 2 гл.
1П) (й суп туг', + аоо,) ~Л/ = ф йо, — сЬ вЂ” ~ с, Ео гЛГ, (2,7) до ди о 5 О Подставляя (2.7) в (2.6) и учитывая уравнение (2.!), получаем — =( о,(реп — Ео)~Л'+Г6йо,— "гЬ=Г$/и, ' Нь. (2,8), 3 ди,т' дп о 3 5 Для первой краевой задачи (а=О, 8= 1) и для второй краевой дЕ задачи (а=1, ()=0) в силу (2.3) нз (2.8) находим — (1) =О. Следовательно, Е Я =сонэ(. Согласно (2.5) сопя(=0.
Поэтому Е(1)=0 при всех 1)0. Для третьей краевой задачи (а=1, 8= =й(р) ~0) согласно (2,3) и (2.8) получаем — = — Х йЬл, гЬ =- — — — гп япо' гЬ. лг у 2 чг .г 5 3 Из (2.5) и (2.2) следует, что сонэ!=0. Поэтому прн всех Г Е (1)+ — 41 Иш' дз == О.
2,Т Так как ЕЯ > О, й>0, й) О, отсюда вытекает, что Еи =0 при всех Е Итак, для всех трех краевых задач Е(!) =О. Учитывая выражение (2.4) для Е(1), получаем и, = О, с7в ю О, (М, 1) ен Я . Следовательно, в(М, 1) =сапа(. В силу (2.2) сопз(=0, т. е. и(М,()= — 0 в Я . Таким образом, задача (2.1) — (2.3) имеет только тривиальное решение, а решение задачи (1.1) — (1.3) единственно. ° Замечания. 1) Доказательство теоремы единственности не зависит от размерности пространственной области Т1. 2) Используемый при доказательстве теоремы 7.1 интеграл Е(1) имеет физический смысл полной (кинетнческой и потенциальной) энергии колебаний системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
