Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Введем обозначения для открытых областей: К+=(0<х< ), К =( — оо<х<0), (1 = (О < х < оо, 0 < ! < оо) и соответственно замкнутых областей: К+ =- (О < х < оо), К =- ( — оо < х < 0), П !. = (О < х < оо, О < 1 < оо) . Мы будем рассматривать начально-краевые задачи с гра- ничными условиями первого, второго н третьего рода: и,= ати„,-)-((х, Г), (х, 1) ~ П~Г, и(х, 0)=гг(х), х~К+, ии (О, 1)+ри(0, Г)=р(1), 1~[0, оо), где (1! . 4) [а[ + [р [~ О. Напомним, что классическое решение задачи (11.!) — (1!.4), непрерывное в замкнутой области Я.(., может существовать лишь при выполнении условия согласования начального (1!.1) и граничного (11.3) условий: а(р' (0) + рф (0) = !( (0) .
(!1.5) В силу линейности задачи (!1.1) — (11.4) можно провести ее редукцию (см. гл. П!). 2. Однородные граничные условия Изучение уравнения теплопроводности на полу- бесконечной прямой начнем с начально-краевой задачи для однородного уравнения с однородным граничным условием: и,=а'и„, (х, ()~!г+, (11.6) и (х, 0) = ф (х), х е= $Г, (11.7) аи„(0, ~)+()и(0, 1)=0, (~[0, со), (11.8) где (а(+ !р1~0. (11.9) Предварительно докажем лемму относительно функции и(х, !), определенной интегралом Пуассона. Л ем м а 6.4. Пусть функция Ф(х) определена на бесконечной прямой ( — оо, +со), имеет на ней ограниченные производнь(е до й('-го порядка включительно, и линейная комбинация т а„Ф( 1(х), (1!.10) ь-о где аь=сопз1, й=О, 1,2, ...,йГ, нечетна относительно точки х=О. Тогда функция (х — ив и(х, Е)= ~ е ~'( Ф($)йК (1 1.1 1) удовлетворяет условию (х — 3)' 1 () е (а( 2а !/я( 6(х, $ удовлетворяет условию дьп ь дьп — (х, ~, ()=( — 1) — (х, $, ().
дхь дйо 230 о=о Доказательство. Прежде всего заметим, что функция Грина »-о Интегрируя (11.12) по частям и учитывая, что внеинтегральные слагаемые обращаются в нуль, получим М »с ໠— — — ~ б(х, $, 1)~~)~~а»Ф' '($)с($ (11.13) Е ° ""= дх» Согласно (!!.10) подынтегральная функция в (11.13) при х=О нечетна. Следовательно, Е д»и а — (х, 1) ! .=о = 0 ° дх» Лемма 6.4 позволяет указать следующий способ решения задачи для однородного уравнения теплопроводности: и,=а'и,„, х~О (11. 14) с заданным начальным условием и!с о=ср(х), х)0. (11.15) и однородным граничным условием вида »=о (11.16) Продолжим функцию ср(х), заданную при х)0, на всю действительную ось х, построив функцию Ф(х), которая удовлетворяет чсловням Ф(х)= — ср(х) при х)0, ~~„а»Фс ~(х) =- — ~' а„срсы(о) ), „при х(0 (11.
17) и непрерывна вместе с производными до Лс-го порядка включительно на всей оси. Теперь решим задачу Коши на бесконечной прямой: ус=а»у„„, — (х(~, (7 $ с-о = Ф (х) Согласно лемме 6.4 функция У(х, 1) удовлетворяет граничному условию (11.16) и, следовательно, при х) 0 и(х, 1) =— = — и(х, 1). (11.18) зз! В силу наложенных на Ф(х) условий функцию (11.11) можно дифференцировать У раз по х под знаком интеграла. Поэтому »с»с д»и кэч ~' » д»0 ໠— = Ра» 1 ( — 1)» — (х, $, 1)ФЯ)Щ.
(11.!2) дх» 1 ~ .1 дй» ~р(х), хан м Ф(х) = — ~р( — х), ха Й (11.19) и рассмотрим задачу Коши (11.18) Решение задачи (!1.18) можно записать в виде интеграла Пуассона (11.11). Функция (11.11), очевидно, удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности (11.6) в й~, непрерывна и ограничена в замкнутой области й~., удовлетворяет начальному условию (!!.7) и в силу леммы 6.4 однородному граничному условию Дирнхле. Тем самым она является классическим реше. нием задачи (11.6) — (!1.8) с граничным условием Дирнхле.
Поскольку в формулировке задачи (1!.6) — (11.8) с однородными граничными условиями Дирихле функция Ф(х) не фигурирует, преобразуем формулу (1!.11), выражая Ф(х) через ~р(х) с помощью (11.!9): о и(х, Г) =У(х, Г) = ~ 6(х, $, г) гр(Е) й~ — ') 0(х, с, !) ~р( — $)г$== ~ея' о = ~ (б (х, ~, г) — б (х, — 1; г)) р ($) г!$. о Окончательно решение задачи (11.6) — (1!.8) с граничными условиями Дирихле можно записать в виде (11.20) Сформулированный в лемме 6.4 способ построения начально-краевой задачи (1!.6) — (!1.8) на полупрямой Р~- называется методом продолжения.
Отметим, что в случае однородного граничного условия Дирихле в формуле (11.16) а,=! и а,=О, 1=1, 2, ..., У. Но тогда согласно формуле (11.10) функция Ф(х) должна быть нечетной, т. е. функцию ~р(х) нужно продолжить на отрицательную полуось нечетным образом. В случае однородного граничного условия Неймана в формуле (11.16) а,=! и а,=О, й=О, я=2, 3, ...,М и согласно формуле (11.!0) функция Ф'(х) должна быть нечетной. Но поскольку производная четной функции есть функция нечетная, то функция Ф(х) должна быть четной.
Следовательно, функцию ч (х) нужно продолжить на отрицательную полуось четным образом. Применительно к задачам Дирихле и Неймана метод продолжения носит название соответственно метода нечетного и четного продолжения. Используя доказанную лемму, построим решение задачи (11.6) — (11.8) с граничными условиями Дирихле (сг=О, 8=1). Поскольку мы будем рассматривать классическое решение, предположим, что функция ~Г(х) удовлетворяет условию согласования начального и граничного условий: гр(0)=0. Введем функцию Ф(х), являющуюся нечетным продолжением функции ф(х): и(х, !) = ~ 6,(х, $, !)гр(е)Щ, о (11.21) где, учитывая (7.16) и (! 1.20), получим 6, (х, 1, Г) = 6 (х, $, !) — 6 (х, — $, !) = !.» — В' !»4-Р» (Е 4а ! С 4ап ) 2а»» й! (1 1.
22) (11.28) ! а и (х, ! ) = ! '1 6, (х, Э, ! — т) ! (Э, т) гК г(т. (1! .24) Решение задачи (11.6) — (11.8) с граничными условиями Неймана (а=1, р=О) строится аналогично, но начальная функция 4р(х) продолжается на всю бесконечную прямую четным образом: гр (х), х е К~, Ф (х) = 4р( — х), хс='К (1 1.25) 233 Функция 6, (х, 5, Г) называется функцией Грина задачи Дирихле для уравнения теплопроводности на полупрямой.
Заметим, что функция и(х, г), определенная интегралом Пуассона (11.21), удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности в 11+ и ограничена в Й+ и в случае ограниченной кусочно-непрерывной функции 4р(х) непрерывно примыкает при Г- 0 к функции 4р(х) в точках ее непрерывности. Очевидно, что это имеет место и в случае несогласования начальных и граничных условий: 4р(0)~0. При этом граничное условие и(0, Г)= =0 выполняется только при 1>0.
Физический смысл функции 6,(х, $, !) следует из формулы (11.22) — функция 6,(х, $, Г) дает значение температуры в точке х полубесконечного стержня в момент времени г>0, если в начальный момент г=О в точке х=а>0 мгновенно выделяется количество тепла, равное р=ср, а граничное сечение х=О все время поддерживается прн нулевой температуре, для чего в точку х= — С нужно поместить мгновенный точечный отрицательный источник. С помощью функции Грина 6,(х, $, !) можно построить решение задачи Дирихле для неоднородного уравнения теплопроводности на полупрямой с однородными начальными и граничными условиями: !!!=а'и +! (х, г), (х, !)~ й+, и (х, 0) = О, х ~ К+, сс (О, Г) = О, ! ен (О, 7'1.
Решение задачи (!1.23) имеет внд и(х, С)=у(х, !)= ~ (0(х, $, с)+6(х, — в, 1)) срано(о. «на' Таким образом, решение рассматриваемой задачи можно за- писать в виде О и(х, с)=~ бо(х, $, с) ср($)с1$, о (11.26) где ссо(х, $, с) =а(х, $, !)+6(х, — $, С) = со — н' сА+м* 4оч ) е сач 2о (/пс (11.27) Функция Оо(х,$, С) называется функцией Грина задачи Неймана для уравнения теплопроводности на полупрямой. Отметим, что в случае непрерывной при хенмо функции ср(х) н выполнении условия согласования ср,(0)=0 формула (11.26) определяет классическое решение и(х, !) задачи (!!.6) — (11.8) с граничными условиями Неймана (ос=1, р=0).
Если эти условия не выполнены, то функция и(х, С) удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности в ос.ы ограничена в й о и непрерывно при 1- 0 примыкает к функции ср(х) только в точках ее непрерывности. Если условия согласования не выполнены, то граничное условие выполняется лишь при С)0. С помощью функции Грина 6,(х, $, !) выражается решение задачи Неймана для неоднородного уравнения теплопроводности на полупрямой с однородными начальным и граничным ус- ловиями и,— аоа +С (х, С), (х, С) о= Г1.о, и(х, 0)=0, хе=к+, сс„(0, С) = О, С е [О, Т).
Решение задачи выписывается в виде а(х, С)=~ )ссо(х $ с т)7$, т)ссйс(т, о о (11.28) 234 Рассмотрим снова задачу Коши (11.18) на бесконечной прямой, где начальная функция Ф(х) определяется формулой (11.25). Записывая решение в виде интеграла Пуассона (11.11) и рассматривая функцию У(х,1) на положительной полуоси, получим решение задачи (1!.6) — (11.8) при ос=1, р=0. При этом граничное условие Неймана выполняется в силу леммы 6.4. С помощью формулы (11.25) получим причем формулу (11.28) можно получить, воспользовавшись интегральным преобразованием Фурье на полупрямой с ядром соз йх. Физический смысл функции Оз(х,$,1) ясен из формулы (11.27).
Функция Грина представляет собой температуру в точке х положительной полуоси в момент времени 1, если в начальный момент времени 1=0 в точке х=$ мгновенно выделяется количество тепла, равное р=ср, а поток тепла через сечение х=О все время равен нулю, для чего в точку ~ нужно поместить мгновенный точечный положительный источник мощностью р. Доказанная лемма позволяет использовать метод продолжения в случае однородных граничных условий более сложного вида.
Рассмотрим, например, начально-краевую задачу на полупрямой К+ для однородного уравнения теплопроводностн с однородными граничными условиями третьего рода: и,=а'и„, (х, !)ен().ь, и(х, 0) =~р(х), хеп ц+, (1! .29) и,(0, г) — йи(0, !)=О 1~ [О, Т). Предположим, что функция ~р(х) удовлетворяет условию согласования начального и граничного условий: р (О) — йр(0) =О.
Согласно лемме 6.4 нужно так продолжить функцию у(х) на отрицательную полуось, чтобы была нечетной функция Ф'(х)— — ЙФ(х), где Ф(х) — продолжение функции ф(х) на всю ось. Очевидно, Ф(х)=~р(х) при 0(х(со. Для определения функции Ф(х) при отрицательных значениях аргумента получим задачу Коши Ф'(х) — ЙФ(х)=7" (х) х~О, Ф(0) =(р(0), где 7(х)= — <р'( — х)+Ьр( — х), решение которой имеет вид к Ф(х)=-~р( — х)+2п '!е"~" — '>~р( — г) дг, х(0. о Итак, функция Ф (х) определяется следующим образом: ~ ср(х), х) 0 Ф(х) =< (11.30) ~р ( — х)+ 2й ~ е"м — '>гр( — г) г(г х(0 о Записывая решение задачи (11.29) в виде интеграла Пуассона (1!.! 1), где функция Ф(х) определяется формулой (11.30): и(х, 1)= ~ 6(х, $, г)Ф(е)иф=~ 6(х, $, г)трф)Щ+ О а а а + ~ 6(х, $, Г) ар( — $)Щ+2Й ~ 6(х, $, !) ) е"ц — '~тр( — г)тЫй, а после преобразований получим и(х, 1)= ~(6(х, $, т)+6(х, — $, г)— а — 2)т ~ б (х, — $ — т), т) е "ч ттт)~ тр Я) а(~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
