Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Покажем теперь, что при ()1, где 1>0 — любое число, сходятся равномерно ряды из производных й 6. ФУНКЦИЯ ГРИНА Вернемся к решению начально-краевой задачи (4.1) — (4.3). Пусть система собственных функций (ил(М)) задачи Штурма — Лиувилля ортонормирована: !!о„!!=1. Решение задачи (4.1) — (4.3) дается формулой (4.6): л ы(М 1) — 2 С е л вл(М) л=! с коэффициентами, вычисляемыми по формуле Сл = ~ ф (ф !зз, (1;!) О (~) тй'Ф И = 1, 2, . о (5.1) Используя асимптотику собственных функций ол(М), можно доказать*1, что при достаточных условиях гладкости функций *! См., например: М и х а й л о в В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных.
Мз Наука, 1976. 206 ! л ) Т (2М ( — ) иге (4. 18) Из формул (4.!7), (4.!8) вытекает, что для доказательства равномерной сходимости рядов (4.16) нужно доказать сходимость мажорантных рядов вида !ллл г- лл !впге ( г,! =~ ал, (4. 19) л=! л=! ! н ! пота где тт'=2М ( — ) для первого мажорантного ряда из!~=2М ( — ) ) для второго. Сходимость ряда вида (4.19) следует из признака сходимости Даламбера, так как — !гл+!! С а„! л ! л Поскольку при 1>1>0 мажорантные ряды для рядов (4.16) сходятся, то сами ряды сходятся равномерно и ряд (4.!3) можно дифференцировать почленно дважды по х и один раз по 1 при 1-.-1 или, ввиду произвольности 1>0, в области ь1= = (О, 1) Х (О, оо) . В силу обобщенного принципа суперпозиции функция и(х,г), представимая рядом (4.13), удовлетворяет уравнению (4.10).
Итак, мы доказали, что при условиях теоремы функция и(х,1), представимая формулой (4.13) с коэффициентами (4.14), является классическим решением начально-краевой задачи (4.10) — (4.12). ° гр(М) ряд (4.6) представляет классическое решение задачи (4.1) — (4.3). Подставим (5.1) в (4.6) и поменяем порядок интегрирования и суммирования: и(М, 1)= ~ Д е " 'о„(М)ов(ф~грф)р(Я)Ю)г,, о Введем обозначение 6(М Я 1)=.~ е "о (М)о (Я) о=! (5.2) Тогда (М, 1) = ~ й (М, О, 1) <р (О) р (Я) ~()го. (5.3) о Можно доказать, что если функция гр(М) непрерывна в области О, то формула (5.3) определяет классическое решение задачи (4.1) — (4,3). Определение.
Функция 6(М, Я, 1), определяемая формулой (5.2), называется функцией Грина, или функцией источника задачи (4.!) — (4.3). Для начально-краевой задачи общего вида функция Грина была введена в $ 5 гл. П1. Рассмотрим физический смысл функции Грина. Выберем в качестве начальной функции непрерывнаую в области Р функцию зр,(М), равную нулю вне шара Кз' радиуса н с центром в точке М,, принадлежащего области Р, и положительную в этом шаре. Предположим, что функция ер,(М) удовлетворяет условию нормировки: для любого е)0 ') р,(())р(о) (Р=1. .Мч Согласно формуле (5.3) решение и,(М, 1) задачи (4.1) — (4.3) с начальной функцией гр,(М) имеет вид ие(М, Г)=) а(М, (), 1) р,Д)рД)(),= о = ~ б(М, Я, 1)Ч.(Я)р(Я)л'о км' Применяя к интегралу (5.5) формулу среднего значения ', получим с учетом (5.4) (5.5) 200 е~ Смз Илья н В.
А., Поз н я к Э. Г. Основы математического анализа. Ч 1. 4-е нзд М.: Наука, 1982. ие(М, Г)=б(М, М*, Г) 1 ф,(Я)р(Я)А~=О(М, М', 1), (5.6) м, к.' где точка М* принадлежит шару К,'. М ен Ке'. Перейдя в формуле (5.6) к пределу при е- О, получим ма(М, Г)=1ппм (М 1)=б(М Ма е). е а (5.7) при этом мы учли формулу (5.4).
Итак, функция Грина 6(М,Ма,() представляет собой температуру тела Р в точке М в момент времени 1 при мгновенном выделении единичного количества тепла в точке Ма в момент времени 1=0. Из физического смысла функции Грина становится ясным ее второе название — функция источника. 3 а м е ч а н не. Рассмотрим функцию фа(М), являющуюся пределом при в- 0 функции ф,(М): ф,(М) =1ппф,(М). е а Согласно определению дельта-функции Дирака *> функция фа(М) выражается через дельта-функцию б(Я, М) следующим образом: р,(М)= ' б(М,, М).
р(м) Итак, функция фо(М) является обобщенной функцией. При этом формулу (5.7) можно сразу получить из формулы (5.3), пользуясь известным свойством дельта-функции. Если ввести обобщенную функцию ио(М, 1) как решениеследующей начально-краевой задачи: ризе=с)1у(йдгабна), (М, 1) ~ Я *> См: В л а д и м и р о в В. С.
Уравнения математической физики, М.: Наука, 1988. 207 Из формулы (5.7) следует„что функция Грина 6(М,Ма,() с физической точки зрения представляет собой температуру тела Р в точке М в момент времени 1, если возбуждение тела производится мгновенным точечным источником, действующим в момент времени (=О в точке Ма. Подсчитаем мощность точечного источника. Напомним, что коэффициент р(М) равен р(М)=с(М)р(М), где с(М) — удельная теплоемкость тела Р, а р(М) — его плотность.
Количество тепла е7, сообщенное телу Р в начальный момент 1=0, равно д=!'пп1с(фо(Я) ф„(Я)дР=!пп ~р(Я)ф,(фс((е=1, (5.8) е ао е ай по(М, 0)= б(Мо М) М~ О, Мое= ст Р (Мо) а(Р) — +(1(Р) по= О, Р ~ 3, Г я (О, оо), дп то Гз'(М, М„Г) =и'(М, Г). й 6. НЕОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И НЕОДНОРОДНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 1.
Неоднородное уравнение теплопроводности Рассмотрим задачу для неоднородного уравнения теплопроводности с однородными начальным и граничным условиями: ри,=йу(инсаг)и)+Г, (М, Г)~с) (6.1) и (М, 0) = О, М е= О, а (Р) — + Р (Р) и = О, Р— Я, Г ~ (О, оо). дл Предполагая, что классическое решение задачи (6.1) — (6.3) су- ществует, получим его представление через функцию 1(М,1) методом Фурье. Заметим, что согласование начального (6.2) и граничного (6.3) условий происходит автоматически, Общая схема построения методом разделения переменных решения краевых задач для неоднородного уравнения дана в гл.
П1. Так как классическое решение является дважды непрерыв- но дифференцируемой по координатам точки М функцией, удов- летворяющей однородному граничному условию (6.3), то для него имеет место разложение и (М, г) = ~ и„(г) г „(М), л=1 (6.2) (6.3) (6; где *~ См: Ильи н В. А., Позняк Э Г. Основы математического анализа. Ч. 2. М.: Наука, 1990.
208 ил (Г) = ~ И (Я, Г) О„(СГ) О (Я) ОЛ/, П = 1, 2, ..., и для а (о„(М)) — ортонормированная система собственных фун. 4ач задачи Штурма — Лиувилля (4.4). В силу известных свойств собственных интегралов, зави щих от параметра для коэффициентов ио(1), выполнены уел, вия теоремы о дифференцируемости интеграла по параметру*'.
Следуя схеме, изложенной в $5 гл. 1П, подставим разложение (6.4) в уравнение (6.1). После преобразований для коэффнцнентов ип(1) получим неоднородное дифференциальное уравнение и„'(1)+Х„ип(!) =Г„(г), где ип(0) =О. Решение задачи Коши (6.7), (6.8) можно записать с помощью нмпульсной функции о и„(1)=) е " "Г„(т)с(т, и=1, 2, ... о Подставляя формулу (6.9) в формулу (6.4) н меняя порядок интегрирования н суммирования, получим п(М, г)= ! ~ б(М, Я, 1 — т)Г(Я, т)с('у'о(В (6.!0) д' б (6.8) (6.9) где функция Грина сг(М, Я,1) определяется формулой (5.2).
Замечания. 1) Доказательство существования класснческого решения задачи (6.1) — (6.3) н представление его формулой (6.10) мо- "~т быть проведены с помощью метода Фурье для достаточно ткой границы 5 области 11 н достаточно гладкой в цнлнндфункции У(М, 1), удовлетворяющей граничным условиям н . Введем понятие фундаментального решения задачи нес" -(6.3) как решение задачи рис с)!ч(йягабпо)+б(М Мо)б(' го) (М 1) ~ Я, огр." ио(М, О)=О, М =О, а(Р) — +р(Р) ив=О, Р он 5, уев [О, оо) дп г„(1) = ~, ~ Я, 1) о„(Я) с(Р, и =!, 2, ... о Из формул (6.2) н (6.5) следует также, что и„(0)=0, и=1, 2, ...
Итак, для коэффициентов и„(1) получается задача Коши и„'+Х,и„=1„, уев (О, оо), (6.71 '1 Си, Тихонов А. Н., Васильева А. Б,, Свешников А. Г. Лифференииальные уравнения. Мс Наука, 1985. Функция ио(М, 1) является обобщенной функцией и ио(М, 1) -~(М, МО, 1 — 10) 2. Неоднородное граничное условие Рассмотрим, наконец, начально-краевую задачу для однородного уравнения теплопроводности с однородным на- чальным и неоднородным граничным условиями: ои, =Жч(сс дгас(сс), (М, с) 0== с',с„, (6.11) сс(М, О)=0, М я О, (6.12) а(Р) — +(1(Р)и=1с(Р, с), Р 0=5, 1ео(0, оо). (6.13) до С помощью замены и(М, 1)=ис(М, с)+о(М, 1), где пс(М, 1) — достаточно гладкая функция, удовлетворяющая неоднородному граничному условию (6.13), задача (6.11)— '(6.13) сводится к начально-краевой задаче с однородными гра- ничными условиями: рос=с(1ч(йдгас)о)+~(М, с), (М, с) ~ Я, о(М, 0)=-ф(М), МенО, а(Р) — "+р(Р)о=О, Ре 5, с 0=10, оо), до где ~(М, 1) =с(1ч(йпгас) ис) — рпсс, ср(М) = — пс(М, 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
