Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Имеет место следующая теорема *>. Т е о р е м а (принцип максимума для общего параболического уравнения) Пусть функция и(М, !) непрерывна в замкнутом цилиндре дт=(М~К 0<!<Т) и удовлетворяет в открытом цилиндре Ят однородному уравнению ри, = а!У(я игад и) — уи, (2. 11) где р(М), !г(М))0, а д(М))0. Тогда функция и(М, !) может достигать своих положительного максимального и отрицательного минимального значения только либо при 1=О, либо на поверхности 5 границы области П. Отметим, что если функция и(М, !) имеет физический смысл температуры, то при положительной температуре и условии у~О член уравнения (2.!1) — ви описывает процесс поглощения тепла.
й 3. ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ И УСТОИЧ ВОСТИ Ра отрим начально-краевую задачу для уравнения теплопров ности с граничными условиями первого рода (задачу Дирихле) !98 ' См: В л а д и м и р о в В. С. Уравиеиии математической физики 4-е взд. Мл Наука. !988. ри,=гИч(йдгас(и)+~, (М, 1) ~ 1гт, (зл) и (М, О) = ср (М), М ен О, (3.2) и(Р, 1) = р(Р, Г), Ре 5, те= [О, Т).
(3.3) Если рассматривать классическое решение задачи (3.1) — (3.3), необходимо добавить условие согласования начального и граничного условий ~р (Р) = р (Р, О), Р е= Я. Докажем для задачи (3.1) — (3.3) теорему единственности. Теорема 6.5,Задача (3,1) — (3.3) может иметь только одно классическое решение. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим противное. Пусть существуют два классических решения задачи (3.1) — (3.3) и, (М, 1) и иг (М, 1), Рассмотрим функцию о=и,— иь Очевидно, о(М, 1) является классическим решением однородной начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности (3.1), непрерывным в замкнутом цилиндре сгт.
Применяя к функции о(М,1) принцип максимума, получим о(М, 1)<0, (М, 1) я6, а применяя принцип минимума, имеем о(М, 1))0, (М, 1) ~От. Из двух последних формул следует, что о(М г)=0, (М, г) е-=(гт, т. е. и, = и,, (М, г) ~ гт. Полученное противоречие доказывает теорему. Если существует классическое решение задачи (3.1) — (3.3), то оно устойчиво по начальным и граничным значениям. Т ео р е м а 6.6.
Классическое решение задачи (3.1) — (3.3) устойчиво по начальным и граничным значениям. Доказательство, Пусть и,(М, 1) — решение задачи (3.1) — (3.3) с начальной и граничной функциями р,(М), 1м(Р, 1), а иь(М, 1) — решение той же задачи с начальной и граничной функциями дз(М), 1ь,(Р,1). Предположим, что выполняются неравенства 1 рг(М) — ср,(МИ е.-.е, МенВ, /р,(Р, 1) — р,(Р, 1) / <е, Р я 5, У а=[0, Т[ Нам нужно доказать, что функции и,(М, С) и и,(М,1) удовлетворяют неравенству [и,(М, т) — и,(М, 1)) <е, (М, Г) ~(гт.
(3.4) 199 Неравенство (3.4) сразу следует из принципа сравнения 2, ес- ли его применить к функциям и,(М, 1) и иа(М, 1), $4. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В СЛУЧАЕ ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ 1. Построение формального решения начально-краевой задачи для однородного уравнения теплопроводиости с однородными граничными условиями Проведем редукцию (см. $ 1 гл.
111) общей начально-крае- вой задачи (!.1) — (!.3) и рассмотрим задачу для однородно- го уравнения теплопроводности с неоднородным начальным и однородным граничным условиями ри,= — г!1ч(lг дгаби), (М, Г) ее(г', и (М, О) = <р (М), М ~ О, а — +ри=О, Р е5, Г е [О, оо). д« (4.1) (4.2) (4,3) Для классического решения задачи (4.!) — (4.3) должны быть выполнены условия согласования начального и граничного ус- ловий а — +Ргр[з — — О.
др д« Нз общей теории следует, что существуют счетное множество собственных значений (А„) и полная в области Р система собственных функций (о„(М)), Будем искать решение задачи (4.1) — (4.3) в виде разложения по этой системе: и(М, Г)='[, Т„(г)0„(М). «=1 (4.5) Для функции Т„(Г) получаем уравнение Т„+Е„Т„=О, 200 Построим методом Фурье формальное решение задачи (4.1)— (4.3), Общая схема метода разделения переменных приведена в $ 4 гл. 111. Рассмотрим в области О следующую задачу Штурма — Лиувилля: г!10(й пгаг(0)+Арф=О, М ~ О, (4.4) д« а — +ри[з — — О.
д« решение которого имеет вид Т„(1)=С„е ~ ~. Таким образом, и (М, 1) = ~ С е хо о„(М), (4.6) С„о„(М) = ф (М). и=! (4.7) В силу полноты системы собственных функций задачи Штурма — Лиувилля (4,4), если функция ~р(М) удовлетворяет условиям теоремы Стеклова (ч~епСпо(1э)) и удовлетворяет граничным условиям (4.3), то ряд (4.7) сходится к функции ф(М) равномерно.
Коэффициенты С„вычисляются по формуле С„=- 1 ф (М) о„(М) р (М) с(г'и, 1~ о~1Р й (4.8) где 11о„)) — ') о~ (М) р (М) ао а (4.9) — квадрат нормы собственной функции. Итак, формально построенное решение задачи (4.1) — (4.3) представляется рядом (4.6), коэффициенты которого определяются по формулам (4.8) — (4.9). Подчеркнем еще раз, что мы построили решение задачи чисто формально. Необходимо обоснование того, что функция и(М, 1), представимая рядом (4.6), является классическим решением задачи (4.1) — (4.3).
Оно может быть проведено при условиях гладкости функции ф(М), обеспечивающих не только равномерную сходимость ряда (4.7), но и удовлетворение функцией (4.6) уравнению всюду в цилиндре Я. Это обоснование будет проведено в следующем пункте для одномерной задачи Дирихле. 2. Существование классического решения уравнения теплопроводности на отрезке Рассмотрим задачу для уравнения теплопровод- ности с постоянными коэффициентами на отрезке при однород- ных условиях Дирихле: и,=а'и„„О<х<1, 0< 1< оо, и (х, 0) =- ф (х), 0 < х < 1, (4.10) (4.1 1) Коэффициенты ряда (4.6) определяются из начального условия (4.2): и(0, !) = О, и(Е, !) =О, 0 <(< оо, (4.12) где коэффициент ае=!е/ср, Й вЂ” коэффициент теплопроводности, с — удельная теплоемкость, р — плотность.
Коэффициент а' час- то называют коэффициентом температуропроводности. Формальное построение решения этой задачи методом Фурье было проведено в гл. П1. Оно имеет вид (ие ]а и(х !)=~Се ' ! 1 з(п х, (4.13) «=! где ! С„'= — т !р(х) 81п — хдх, и =-1, 2,... (4. 14) 1,1 'е Покажем, что при определенных условиях на функцию гр(х) ряд (4.13) с коэффициентами, вычисляемыми по формуле (4.14), представляет собой классическое решение задачи (4.10) — (4.12) .
Напомним, что необходимым условием существования классического решения задачи (4.10) — (4.12) является условие согласования начального (4.11) и граничных (4.12) условий: р(О) =р(1) =О. Предварительно сформулируем полезное вспомогательное положение — обобщенный принцип суперпозиции. Л е м м а 6.1 (обобщенный принцип суперпозиции). Пусть и„(х,1), п=1,2, ...,— частные решения линейного однородного дифференциального уравнения обьекновенного или в частных производных Т.[и„(х, 1)]=0 и пусть все дифференциальные операции над функцией и=) С„и„(х, 11, входящие в это уравнел=! ние, можно проводить путем почленного дифференцирования ряда.
Тогда функция и(х, 1) также удовлетворяет уравнению а.[и]=0. Локазательство. При выполнении сформулированных в лемме условий получаем 1. [и] = Е ~ ~~ С„и„1 = '~ С„1. [и„] = О. ° л=! в=! В качестве достаточного условия для возможности почленного дифференцирования ряда будем пользоваться равномер\ ной сходимостью ряда ~Я С„1[и„], получаемого в результате и=! дифференцирования *!.
"' См ! Ил ьи и В. А, Поз и як Э. Г. Основы математического аиализа. Ч 2. 2-е изл. Мз Наука, !980. 202 Напомним также известное свойство рядов Фурье*!. Если периодическая с периодом 21 функция т"(х) имеет на отрезке [ — 1, 11й непрерывных производных, а (я+1)-я производная ее на этом отрезке кусочно-непрерывна, то сходится числовой ряд ).' и'((а„(+ !Ь„~), (4.15) л=О где а„и о„— коэффициенты Фурье в разложении функции пп, пп г'(х) по тригонометрической системе [соз — х, гйп — х~, 1 Если функция ((х) задана на отрезке [0,11 и разлагается в ряд Фурье только по з1п — "х, то сформулированные требоваиия должны выполняться для функции т (х), являющейся нечетным продолжением функции с (х), В частности, для непрерывности и периодичности с периодом 21 функции с (х) необходимо, чтобы 1(0) =0 и 1(1)=0. Непрерывность первой производной в точках х=О и х=1 при нечетном продолжении получается автоматически.
Теорема 6.7. Лусть функция !р(х) непрерывна на отрезке [О, 11, имеет на нем кусочно-непрерывную производную и удовлетворяет условиям !р(0) =гр(1) =О, Тогда существует классическое решение задачи (4.10) — (4.12), представимое рядом (4.13) с коэффициентами (4.14). Доказательство. Ряд (4.13) с коэффициентами (4.14) удовлетворяет однородным граничным условиям (4.12), поскольку им удовлетворяют все собственные функции з(п — х, и при 1=0 переходит в тригонометрический ряд Фурье на отрезке [0,11 для функции гс(х), удовлетворяющей условию разложимости в ряд Фурье: <р (х) = ~~ С„э)п — х.
п=! Остается доказать, что ряд (4.13) сходится в области Й= =[О, 1)Х[0, со) и функция и(х, 1), представимая этим рядом, непрерывна в области Й, обладает непрерывными производными, входящими в уравнение (4.10), и удовлетворяет однородному уравнению (4.10) в области ьг=(0,1) Х(0, о). Так как каждый член ряда (4.13) является частным решением однородного уравнения (4.10), то в силу обобщенного принципа супер- позиции достаточно показать, что в области (г существуют производные функции и(х, 1), входящие в уравнение (4.10), и их можно вычислять путем почленного дифференцирования ряда (4.13) .
! Там же. воз Покажем прежде всего, что функция и(х, 1), представимая рядом (4.13), непрерывна в области й. Из формулы (4.15) следует, что мажорантным для ряда (4.13) будет ряд из модулей коэффициентов Фурье функции ч!(х) ! ~' (С„), л=! Е''' ъ '' длил (х, !) %Ч ди„(х, !1 и ~. дх! ллл) д! л=! л= ! (4.16) где — ~ — ) а'! и„(х, ()=С„е ' яп — х — обший член ряда (4.13). Поскольку функция !р(х) непрерывна на отрезке )0,(), то она ограничена на нем ! % ( х ) ! < М х е ( О 1 где М ) 0 †некотор постоянная н )С„! = — ~~!р(х)яп — х!(х)(2М.
о Поэтому при ( ) ( получаем 'ъ~л х " (=) — С„( — ) и'е з(п ~ х)< <2М ( — ) п'е (4.!7) ! — '"" Н вЂ” С„( — ")'е ' яп — "" х < 204 который сходится в силу условий, наложенных на функцию !р(х), и сформулированных выше свойств рядов Фурье. Тем самым ряд (4.13) сходится равномерно к функции и(х, () в области Й и функция и (х, г) непрерывна в Й. Следовательно, при ( — !-0 функция и(х, () удовлетворяет начальному условию (4.11), а при х- 0 и х- 1 функция и(х, () удовлетворяет однородным граничным условиям (4.12).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
