Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 27
Текст из файла (страница 27)
0 п р е д е л е н и е. Интеграл (6.2) называется равномерно сходящимся в точке Мь, если для любого е>0 существует такое б(е) >О, что неравенство ') г (М ф ) ((г) йто ~ ( е 'ьо~ где Гт(М)= ~Р(М, Я)~(Я)дт, 1',(М)= ~Р(М, Я)~(фдт. о', о, Рассмотрим разность )г(М,) — )г(М): 1)'(Мо) — ~'(М)1~(1~е (Мо) — )'е (М) 1+ 1)'з (Мо)1+ 1)г1 (М)1. В силу равномерной сходимости интеграла (6.2) в точке Мь существует такое 61 (е) >О, что 1$'1(М)1< — и 1)г,(М)1( — при )смм,(6,(е). з ' з Так как точка Мь-'" Р,, то интеграл Ъ',(М) является собствен- ным и, следовательно, непрерывен в точке М,. Поэтому сущест- вует бе(е) >О такое, что 1)'е(Мь) — )ге(М)1~( — прн )хмм. ~(бз (е).
Пусть 6(е) =щ1п(б,(е), бе(е)). Тогда 1)г(Мь) — )г(М)1(е при Ймм, ='6(е), что и означает непрерывность интеграла Г(М) в точке Мь ф~ 168 выполняется для любой точки М ~ Км*, и для любой области Оем| еп Кв~',н где Кь,'м — шар радиуса 6(е) с центром М„. м, м, Т е о р е м а 5.9. Интеграл (6.2), равномерно сходящийся в точке Мь, есть непрерывная функция в этой точке М,. Доказательство. Нужно показать, что для любого е)0 существует 6(е)>0 такое, что 1$'(Мь) — У(М)1<е при )кмм,( ~(б(е). Выберем внутри Р область О,, содержащую точку М, внутри себя.
Обозначим Р.=Р' О,. Интеграл У(М) представим в виде Эта теорема справедлива не только для интегралов по объему, но и для интегралов по поверхности или по контуру. Это обстоятельство будет использовано при исследовании поверхностных интегралов. 3. Поверхностные потенциалы Обычно рассматриваются поверхностные потенциалы двух типов: потенциал простого слоя и потенциал двойного слоя. Потенциалом простого слоя называется интеграл вида р'(М) =~ ц (Р) дмг где 5 — некоторая поверхность, р(Р) — функция, заданная на поверхности 5; функция р называется плотностью потенциала простого слоя. Очевидно, поверхностный потенциал простого слоя можно физически интерпретировать как потенциал, создаваемый зарядом, распределенным на поверхности 5 с поверхностной плотностью р(Р). В двумерном случае (на плоскости) потенциал простого слоя имеет вид ( М ) 1 р ( Р ) ! и ! ! МР с где С -- некоторая кривая.
Потенциалом двойного слоя в трехмерном случае называется интеграл вида К (М) = — ~ т (Р) с(5р, (6.3) ~~ма где 5 — двусторонняя поверхность, пг — внешняя нормаль к поверхности 5 в точке Р (в том случае, когда поверхность 5 незамкнута, внешняя нормаль выбирается произвольно), ч(Р)— функция, заданная на поверхности 5; функция т называется плотностью потенциала двойного слоя.
Еще раз подчеркнем, что потенциал двойного слоя определяется только для двусторонней поверхности. Вычисляя значение нормальной производной функции !(Рмг в точках поверхности 5, получим для потенциала двойного слоя выражение )Р (М) — ~ ч (Р) ~ г(5р тамг где р — угол между внутренней нормалью к поверхности 5 в точке Р и вектором Рйч. 169 Чтобы дать физическую интерпретацию потенциала двойного слоя, рассмотрим потенциал, создаваемый двумя точечными зарядами противоположных знаков 1-е и — е, помещенных в точки (,1, и Ям лежащие на нормали к поверхности 5 в точке Р, с разных сторон от этой поверхности, причем точка Щ находится на внутренней нормали к поверхности 5 (рис.
5.1). Очевидно, значение этого потенциала в любой точке ММ(,!ь г,!з равно й'о((7ь Яе М)= 1 1 йч.м йе,м ) Устремим точки 1,1, и Я, к точке Р„ одновременно увеличивая величину заряда е так, чтобы величина тз= =е!1, где с( — расстояние между точками Я~ и 1,!м оставалась постоянной. Так как е=т,/!(, то в пределе при г(-+.О для Ю'с(1,!ь Ям М) получим выражение 1пп )Р',(Яь Ям М)= О,.г7, е, д 1 — о(о )= — од г.м Рис в! Поэтому ядро интеграла (6.3) можно физически интерпретировать как потенциал, создаваемый вне точки Р, помещенным в эту точку днполем с дипольным моментом ть направленным по внешней нормали к поверхности 5 в точке Рс. При этом сам потенциал двойного слоя (6.3) представляет собой потенциал двусторонней заряженной поверхности 5 с плотностью поверхностного распределения дипольного момента, задаваемой функцией т(Р).
На плоскости потенциал двойного слоя имеет вид )Г(М) = — ~ (Р) 1п Л~ =- ( т(Р) Ж~, с с где п, — внешняя нормаль к кривой С в точке Р, !р — угол между внутренней нормалью в точке Р и вектором РМ. В случае незамкнутой кривой направление внешней нормали, так же как и в трехмерном случае, выбирается произвольно. Перейдем к исследованию свойств поверхностных потенциа.лов. Из их определения следует, что в том случае. когда точка М не принадлежит поверхности 5 (или кривой С), потенциалы имеют производные всех порядков, которые можно вычислять дифференцированием под знаком интеграла, и являются гармоническими функциями М' = О, ЛК = О, М ф 5 (М ~ С).
170 Отметим также, что при М- оо для поверхностных потенциалов в случае ограниченной поверхности справедливы оценки в трехмерном случае: )г=О( — 1, )г'=О( — ), г — ~ о; в плоском случае: )Р'=О ! — ), г-~-оо. г Потенциал простого слоя в плоском случае )г(М)=1р(Р)!п ! Жр МР с па бесконечности является, вообще говоря, неограниченной функцией и возрастает как !и г.
Если же его плотность удовлетворяет условию )р(Р) (1,=0, с 1 то )Г=О ( — ) при г-э со. Действительно, введем полярную систему координат, и пусть М=(г, <р), Р=(р, а). Тогда 1п )с,щ, — — ! и )''г'+о' — 2го соз йр — а) = 1 з Р Р = — 1п ~г' (1 — 2 — 'соз(<р — а)+ —" Р =!пг — соз(<р — а)+О ( — ) / 1 г 1гзг' при г- оо (использовано соотношение 1п(1+х)г х+О(х') при х -~ О). Следовательно, г 1 )г=О ( — ) при г- оо. г В дальнейшем свойства поверхностных потенциалов будем рассматривать в трехмерном случае, а для плоского случая формулировать только окончательные результаты.
4. Непрерывность потенциала простого слоя Если точка М лежит на поверхности, то потенциал является несобственным интегралом, сходимость которого подлежит исследованию. Пусть Я вЂ” гладкая поверхность, т. е. поверхность, в каждой точке которой существует непрерывная нормаль (или касательная плоскость). 171 Т ео р ем а 5.10. Потенциал простого слоя с ограниченной непрерывной плотностью, заданной на гладкой поверхности, является непрерывной функцией во всем пространстве. Д о к а з а т е л ь с т в о. Мы установили, что потенциал простого слоя является непрерывной функцией вне поверхности 5. Остается показать, что при выполнении условий теоремы потенциал простого слоя непрерывен на поверхности 5 и его значения вне поверхности 5 непрерывно примыкают к значениям на 5.
Для этого в силу указанных ранее свойств равномерно сходящихся несобственных интегралов достаточно показать, что интеграл (т(М) =~а(Р), )р((А ~ми равномерно сходится в точках поверхности 5. Пусть Мс — произвольная точка поверхности 5. Построим сферу Х радиуса б с центром в точке Ма Обозначим через 5, ту часть поверхности 5, которая расположена внутри Х, 5,= =5~51 (рис. 5.2). Тогда Рис 52 Рис. 5.3 (т (М) = ~ р "' + ~ р "' = р, (М) + р, (М). мР ц мР з з Пусть М вЂ” произвольная точка, отстоящая от точки М, ие более чем на Ь: Пмм, (6 Нужно показать, что для любого г)0 существует б(г) >О такое, что при всех М, для которых )смм,(б. Введем локальную систему координат (х, у, г) с началом в точке Мс, направив ось г вдоль внешней нормали к поверх- ности 5 в точке М, (рис. 6.3). Пусть в этой системе координат М=(х, у, г), Р=($, и, ~), 5; — проекция 5, на плоскость (х, у), с(5=ЩИ/сову, где у — угол между нормалью в точке Р и осью в.
Оценим У~. .1 ~~ У( — $1'+ ( + 1'+ (' — ~1' сБ 5 <А 4нч С05т )/(х — $) + (н ч) Пусть Км — круг радиуса 26 с центром в точке М'=(х, у, О), лежащий в плоскости (х, у) и содержащий 5,' внутри себя. Величину 6 выберем настолько малой, что сову)'/з, что возможно, поскольку поверхность гладкая.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
