Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Таким образом, на плоскости, в отличие от трехмерного случая, внешняя задача Неймана разрешима не всегда, а если ее решение существует, то оно неедннственно. 6(М, Р) = +и, ~и"мв получим представление для функции и(М): и(М)=Гб ~ " б — и — ~Н5 — ~бЛигйг. (4.4) ;Г(ди ди) в Поскольку в задаче (4.!) известно значение и(з, а — ~ не задади ди но, наложим на функцию 6 дополнительное условие 6 (М, Р) ! раз = О. Тогда (4.4) дает и(М) = — $и (Р) д (М Р) 65Р— Г~6Лай'. (4.5) 3 о Оп р едел ение.
Функция 6(М, Я) называется функцией Грина внутренней задачи Дирихле для оператора Лапласа, если она удовлетворяет следующим условиям: ') 4 ай + мч где с — гармоническая всюду в 0 функция; 2) 6(М, РН„,=О. Функции Грина различных операторов будут неоднократно встречаться в нашем курсе.
Поэтому сделаем несколько замечаний по данному определению. Первое условие означает, что 6 является фундаментальным решением оператора Лапласа. Второе условие отражает тип граничных условий, для которых строится функция Грина. Если функция Грина существует, то решение задачи (4.1) .формально может быть записано в виде и (М) = — $ 1 (Р) — „(М, Р) Ы5г + ~ б (М, 5 Р (б) г(П (4. 6) При этом следует иметь в виду, что формула (4.6) получена с помощью формулы Грина, предполагающей выполнение опре- деленных условий в отношении функций и и 6 и поверхности да ~ 5.
Кроме того, формула (4.6) содержит значение — ~, сущедп ствование которого из определения функции 6 не следует. Для построения функции 6 достаточно найти функцию и, которая является решением следующей краевой задачи: л=овв, т48 1 о~э=в и" мР ~Р ез (4.7) бм6(М, Мо)= — б(М Мо), М Мо~'-', 6(Р, М,))„аз=О. 2. Свойства функции Грина задачи Дирихле Из определения функции Грина следует, что она положительна всюду в В: 6(М, Я) >О. Действительно, построим сферу Х.
достаточно малого радиуса в с центром в точке М. На сфере Х, и внутри нее 6>0, 6(э=О. В силу принципа максимума 6>0 между сферой Х, и Я, сле- довательно, и всюду в 6. Получим оценку для функции 6 сверху. Для функции о, являющейся решением задачи (4.7), справедлив принцип мак- симума. Поэтому о(0 всюду в 77. Следовательно, 1 1 4Ю + 4шЧ ма и МЕ Таким образом, для функции 6(М, Я) всюду в 0 справедлива оценка 0<6(М, 6)<, ' 4пймч Покажем, что функция Грина симметрична: 6(М, Е) — = 6(а, М). 149 В дальнейшем будет показано, что для достаточно широкого класса поверхностей, называемых поверхностями Ляпунова, задача (4.7) разрешима, т.
е. функция Грина существует. Заметим также, что для построения функции Грина нужно решить задачу Дирихле, но со специальным граничным значением, что во многих случаях значительно проще, чем решение задачи с произвольным граничным значением. При этом, найдя функцию Грина оператора Лапласа для данной области Р, на основании формулы (4.6) получаем решение целого класса задач Дирихле для уравнения Лапласа в области 6 с произвольными правыми частями Р(М) и функциями )(Р) в граничных условиях. Можно показать, на чем мы здесь не останавливаемся, что формула (4.6) дает классическое решение задачи (4.1) при ген е 6(5) и РенСгп(6).
Наконец отметим, что в терминах обобщенных функций функцию Грина можно определить как решение краевой за- дачи Аналогично и (М,) = — ~) (о — и — ) Ю. (4.10) Подставляя (4.9) и (4.10) в (4.8), получаем — и(М,)+и(М,) =О, т. е. б (М„М,) = б (М„М,). Функция Грина задачи Дирихле допускает очень простую и ясную физическую интерпретацию.
Если вспомнить, что электростатический потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа, то становится очевидно, что первое слагаемое в представлении Функции Грина б= ' +д та~ма представляет собой потенциал точечного заряда, расположенного в точке Я, в неограниченном пространстве, а второе — потенциал поля зарядов, индуцированных на заземленной проводящей поверхности 5. Сама же функция Грина представляет потенциал точечного электрического заряда в присутствии заземленной проводящей поверхности 5. 3. Функция Грина внутренней третьей краевой задачи Для решения внутренней третьей краевой задачи Аи= — Рв Р, +Ьи!з=1 ди дл (4.11) функция Грина вводится аналогичным образом.
1зв Для доказательства этого введем обозначения и(М) =б(М, М,), и(М) =б(М, М,). Окружим точки М, и Мэ сферами Х, и Хх соответственно доста- точно малого радиуса. К функциям и и и в области между 5, Х, и Х, применим вторую формулу Грина. Учитывая граничные условия для функции Грина, получим ~ (и — о — )Ю+1~1 (и — ~ — а — ) г(5=0. (4,8) х, х„ Рассматривая о внутри Х, согласно (4.4), получим о (М,) = — ф ( и — — о — ) и5. да ди '1 (4.9) дл дл ) Согласно формуле (4.4) и(М) =16 ( —" 6 — и — ~ с15 — ~ 6йис(У= Т дп дп 3 О =~1 ~6 ( —.(-Ьи) — и ( — +й6) ~ НЯ вЂ” ~бои~(У, 'Я О где 6= +о, о — гармоническая в Р функция.
1 4пй Следовательно, чтобы получить решение третьей краевой задачи, следует функцию 6 подчинить условию — + 66(а =О. дп дп О п р е д е л е н и е. Функция 6 (М, Я) называется функцией Грина третьей внутренней краевой задачи для оператора Лапласа в области Р, если: 1 1) 6(М., Я)= +и, где в — гармоническая в Р функция; 4л11 „ 2) — "+й6(з=-О, й)О, й~О. дп Решение задачи (4.1!) записывается в виде н(М)=~6(М Р)~(о) "3п+~ 6(М Эп(Ф "Уе. Я О 4. Функция Грина внутренней задачи Неймана Перейдем к рассмотрению внутренней задачи Неймана ои= — г вР, — "~ =г.
(4.12) дп 1з Прежде всего заметим, что, как было показано ранее, задача (4.12) имеет решение не всегда, а в том случае, когда решение существует, оно неединственно и определяется с точностью до постоянного слагаемого. Снова рассмотрим формулу (4.4). Покажем, что в данном случае нельзя наложить на функцию 6 дополнительное условие — дп) =о, (4.13) дп чтобы исключить слагаемое, содержащее и1з (аналогично тому, как зто было сделано для первой и третьей краевых задач). Действительно, если потребовать удовлетворения функцией 1 6= — +в дополнительного условия (4.13), то для опреде4пк ления функции в получим краевую задачу 151 ссп = 0 в Р, (4.14) Проверим разрешимость этой задачи. Необходимое условие раз- решимости имеет вид — сЮ = О.
дсс Для вычисления интеграла 1 Г д 1 — сЮр, М~Р, 4п (1) дсср ссмр воспользуемся третьей формулой Грина, положив в ней и=1. Тогда получим — сс с — — Ы~ = — 1 чь О, М еи Р. 4п '1' дсср ссмр (4.15) Следовательно, задача (4.14) решения не имеет. Это означает, ! что функции 6 = + и, удовлетворяющей условию (4.13), 4сс1с не существует. Снова обратимся к формуле (4.4): и(М) =с6 сс " 6 — сс — 11 с(о — ~6ссисйс, :с" ( дп дл ! 3 и 6= -(-и,. сзп=0 в Р. 1 4я1~МЧ (4.16) 152 Напомним, что основная цель, которую мы преследуем при введении функции Грина, состоит в получении интегрального представления решения задачи (4.12). Нам нужно избавиться от слагаемого, содержащего и)з. Мы установили, что функции дп ~ 6, удовлетворяющей условию — ~ =О, не существует.
дл 1з Вспомнив, что решение внутренней задачи Неймана определено только с точностью до произвольного постоянного слагаемого, заметим, что получим интегральное представление решения, подчинив функцию 6 граничному условию д6 — ~ =С,=сопя!~0, дл поскольку в этом случае слагаемое в формуле (4.16), содержащее значение и)з, дает постоянную.
Постоянную Са выберем так, чтобы была разрешима внутренняя вторая краевая задача для сп Для этого должно выполняться соотношение $ — "" (5=(~~С,— — ' —," — '~ (5,=О. В силу равенства (4.18) отсюда получаем 1 Со —— — —, Юо где 5о — площадь поверхности 5.
Определение. Функция 6(М, 6) называется функцией Грина внутренней задачи Неймана для оператора Лапласа, если: 1) 6(М, 6)= +19 где и — гармоническая в 0 функция; 1 4я1о д0! 1 2) — ~ = —, где 5,— площадь поверхности 5. д. ~з В, Подставляя функцию Грина в (4.16), получим выражение для решения задачи (4.!2): и (М) = ~! 76 о(5+ Г6 и Ю+ ~ 6г" о(г'. (4.17) ~о У и (М) = Г~ 67 о(5+ ~ 6Г сУ (4.18) дает то решение задачи Неймана, которое имеет среднее зна- чение на поверхности 5, равное нулю. Общее решение задачи Неймана имеет вид и = 1р 61Ю+~ бг гйг+ сопз!. (4.19) Заметим, что функция Грина 6(М, Я) внутренней задачи Неймана определена с точностью до постоянного слагаемого, точнее, до слагаемого, зависящего от координат точки („1.
Это слагаемое можно выбрать так, чтобы 1ВЗ Слагаемое — у ип5 есть среднее значение функции и на поверхг до ности 5. Оно является некоторой постоянной (вообще говоря, неизвестной). Но само решение задачи Неймана определено с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Это слагаемое можно выбрать так, что среднее значение решения на поверхности 5 будет равно нулю. Формула (4.20) Этим дополнительным условием функция Грина определяется однозначно. Теперь можно показать, повторив рассуждение п.
2, что функция Грина внутренней задачи Неймана симметрична: б(М, Я) =6ф, М). Напомним, что внутренняя задача Неймана пи=О в О, — ~ =~(Р)1з (4.21) да разрешима только при условии р1" (Р)г(5=0. Функция и(М), определенная формулой и (М) = р ~ (Р) 6 (М, Р) г(Бр, существует и является решением уравнения Лапласа при лю- бой непрерывной функции ((Р). Возникает вопрос: какое реше- ние уравнения Лапласа дает формула (4.22), если 1(Р)г)БМО, т, е, когда задача (4.21) не имеет решения? Можно показать, что 1пп '" (М)=~(Р) — '(6~(Р)с(~, и нез дп 5о 7 где Я, — площадь поверхности Я.
Следовательно, формула (4.22) дает решение следующей задачи: Ли=О в О, 1 дл — 'ф ~о Т для которой условие разрешимости, как легко проверить, вы- полнено автоматически. 5. Функции Грина внешних краевых задач Для внешних краевых задач функции Грина вводятся аналогичным образом. Прн этом заметим, что поскольку в трехмерном случае все три основные краевые задачи имеют единственное решение и разрешимы при любой непрерывной граничной функции, то функция Грина для них вводится единообразно. О п р е д ел е н и е. Функция 6(М, Я) называется функцией Грина оператора Лапласа для внешней краевой задачи в области .()е, если: 154 1) Р(М, Я)= „+о, где о — гармоническая в Р, функция; 1 4я1г 2) а — +рб(з — — О, 1а(+ )~)чьО; дб до 3) б(М, Я) — регулярна на бесконечности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
