Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Для каждого р=л(а+1) из (7.29) получаем уравнение для Я (г): (7.30) решение которого должно удовлетворять согласно (7.27) гра- ничному условию при г=а: и естественному условию ограниченности при г=О: 1я(о)(< С помощью замены Я(г) == задача для Я приводится к следующей задаче Штурма — Лиувилля: г'у"+гу'+ [Хг' — (л+ — ) 1 у=О, сну'+(р — — ) у~ =О, (7.31) (7.32) )у(о)(=о.
(7.33) Общее решение уравнения (7.31) имеет вид (ср. п. 1) (23 Собственные функции должны быть ограничены в К, и перио- дичны по ф с периодом 2л. Поэтому из (7.29) для функции и получаем задачу Штурма — Лиувилля Ло„о+ро=О, 0(д<л, О~ф(2л, о(д, ф) =о(6, ф+2л), (о(0, ф)( < оо, (п(л, ф)( <оо, о(6, ф) =-л О, собственными функциями которой являются сферические функ- ции у(Г) =С(оп+1)2 (уГЛ))+СОМО.» (П Д/ГЛГ), Учитывая поведение функций Неймана в нуле и условие ог- раниченности (7.33), находим С,=О.
Будем считать С,=!. Для определения Л из (7.32) получаем дисперсионное уравнение ОО )) Л 7п+1!2 (!1 Ла)+ (11 — —" 7„+1)2 () Ла)=0. 2а / Пусть )г=аУЛ. Тогда функцию )с(Г) можно записать в виде / (и+1)2) ) )(г ) 12(Г)=)спг(Г) = ', п=О, 1,...,п=!, 2, ..., 'У-, где р(а+пи †-й корень уравнения (Ор 7„+1 (р) + (ри ) 2 +(Г (р) =О при фиксированном п=О, 1, .... Таким образом, собственная функция шара имеет вид ( „(и+1!2) иьпт (» О~ (Г) ап(.1)2 ~ Г )Гй (д~ (())~ а й=1, 2,...,п=О, 1,...,Гп=О, )-1„...,.+п, (7.35) (7.34) а собственные значения равны + (и+1/2) 2 )(г ' Лап а где р(п+иг) — корни уравнения (7.34).
Видно, что каждому собственному значению Лап соответствует 2п+1 линейно независимая собственная функция (гапп Ла,=2п+ 1) . Найдем норму собственных функций: а 2п и ((иа„„!|2= ~иаг (1о=~ ~ ~игг Ггз(пЫГ(ИО((р= ка О О О =! ', 7.+и ((' Р;"~! Значение Ц)Г( )Цг дается формулами (5.!0) или (5.!1). Вычислим = )и+1(г~ ~ Уг- 124 а = / л+ 1/2 ~~ = ~ Аз+1/2 ( ~ Л Г) Г()Г = 0 = — (7+1/2(а)/ Л)+ 1 — "+ ' 7„'»!/2(а [/ Л)[(7.36) 2 а»Л / / (использована формула (7.17) ). Рассмотрим, как и для круга, отдельно первую, вторую и третью краевые задачи.
Для задачи Дирихле (а=О, р=1) собственные значения определяются уравнением (л+1/2) !» ,7„+ „(р)=О, Л„л= ~"' а Поэтому ~м-" !1= 1 М аг = "л+!/2 ~~ — Ул+1/2 ())» + )' м-" (7.37) Для задачи Неймана (а=1, р=О) собственные значения определяются уравнением Для третьей краевой задачи (а=1, р=й) собственные значения Л определяются уравнением 7 (л+1/2) ! г )»'7л+1/2 (Р) + (о)2 Ул! 1/2 ()!) = 0~ Лдл = Выражение для квадрата нормы, так же как и для круга, для третьей краевой задачи можно записать по-разному: 1 ! аг ( а(а+1) +ад(1 — ад) ) 2 ~= ал+1/г ~ 7л+1/г (р) (7.39') 2 1 [и(л+1/2>12 или )2 ! (л+'/2)р — ( а+в 1 !г ໠— У„+!/2~ = — 11+ 4 [I/ ~ 2 л+1/г ',Г (р) (7.39") Формула (7.39') удобна при малых, а формула (7.39») — при больших 7).
126 7 (л+1/2) ) 2 р'/а+1/2 (р) /л+1/2 !))) = 0 Лдл = 2 а Следовательно, ~ — У„ »1/2(! = — 1 — /Л+1/2 (!)» ) (7.38) 1 12 аг 1 л(л+!) ) 2 (л+1/г> )/// . ([г 2 ! [„(л+1/2>р ~ Глава К УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА Как было установлено в гл. 11, уравнение и и Е',1 ~'.
д!и ъ1 ди ац — +~ Ь! — +си= — 1 " дх;дх| ' дх! !,у=! 1=-! является в точке М (хи..., хи~) уравнением эллиптического типа, если в этой точке квадратичная форма а!! (х!,..., х'„) $Д| !,у=.! знакоопределена. Простейшим примером уравнения эллиптического типа служит уравнение Лапласа д!и + д!и + д!и дх! ду! дг! С него и начнем изучение уравнений эллиптического типа. В этой главе рассмотрены общие свойства решений уравнения Лапласа, постановка внутренних и внешних задач для уравнения Лапласа, вопросы существования, единственности и устойчивости решения краевых задач и основы теории потенциала.
й 1. ОБШИЕ СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ О п р е д е л е н и е. Функция и (М), непрерывная в области В вместе со своими производными до второго порядка включительно и удовлетворяющая в этой области уравнению Лапласа, называется гармонической в области О. Рассмотрим основные свойства гармонических функций. Будем рассматривать трехмерный случай. 1.
Формулы Грина В гл. П1 выведены первая и вторая формулы Грина для общего оператора 1.и=!1|ч(!! Кга!(и) — ди. Напомним их для того случая, когда Т.и=би. 126 Пусть в области О, ограниченной замкнутой гладкой поверхностью 5, заданы функции и(М) и п(М), непрерывные вместе с первыми производными в замкнутой области Ю и имеющие непрерывные вторые производные в В. Тогда в области Р справедливы первая и вторая формулы Грина (см. (2.5) и (2.6) гл. 111): пбисйl = у в — сЬ вЂ” ~ ху в ху ш(У, =$ ди дп (1.1) и 5 О ди дв ') (пби — иузи)<К =.$ (и —" — и — ") ЙЗ, (1.2) дв дл 1 где и — единичная нормаль к поверхности 5, внешняя по отношению к области О.
Для вывода третьей формулы Грина нам потребуется специальное решение уравнения Лапласа„которое называется фундаментальным решением. Пусть Ма — фиксированная точка области 1). Найдем решение уравнения Лапласа, зависящее только от расстояния от точки М,. Рассмотрим отдельно трехмерный и двумерный случай. В трехмерном случае введем сферическую систему координат (г,б,~р) с центром в точке Мь Тогда задача сводится к отысканию радиально-симметричного решения и(г) уравнения Лапласа, которое в этом случае принимает вид Его решение имеет вид 121 Решая это уравнение, получаем „() С+с г г=)хмм,— расстояние от точки М до М,.
Решение и (М, М,) = 1 называется фундаментальным кмм, решением уравнения Лапласа в трехмерном случае. Заметим, что фундаментальное решение удовлетворяет уравнению Лап- ласа (т. е. является гармонической функцией) всюду, кроме одной точки Мм в которой оно неограничено (имеет особен- ность). 4 В двумерном случае введем полярную систему координат (г, ф) с центром в точке Мо и будем искать решение уравнения Лапласа, зависящее только от г. Уравнение Лапласа прини- мает вид и=С,!п — +С,. 1 г (иА — оаэи) Ю= ~) ( и —" — о —" ) е(5+ ди ди ') дл дл / о ям 3 е +~! (и —" — о — ) е(5. хе Так как на поверхности Х, то, используя теорему о среднем, получим $(и — — о — ) Н5 =$ (и — — — — )Ю= хе хе 1, 1 ди =- 1 — и (М') — — — (М')) 4пае, е' е дл (1.3) где М*енХ,. Поскольку в области 0~Ке' дев=О, то, переходя к пределу — м, в (1.3) при е-+-О, получим 3 +4ли(Мл), Мее=0.
Отсюда и (Ме) = — ~У ( — — и — ) е(5— ! ГГ 1 ди д 1 4лУ~ймм дл дл ймм мм, 1 Г. йи — — ~ — е('й, М,ен0, о е (1.4) 128 ! Функция 1и л называется фундаментальным решением мм, уравнения Лапласа в двумерном случае. Перейдем к выводу третьей формулы Грина. Как и ранее, будем рассматривать трехмерный случай. Пусть о= лмм, фундаментальное решение с особенностью в точке Ме. Будем считать, что Ме — внутренняя точка области О. Окружим точ- ку Ме сферой Х, радиуса е с центром в точке Ме, целиком ле- жащей в области О. Область между 5 (границей О) и сферой Х, обозначим 0' К,'.
В области 0~,Ке ' применим вторую ме — м, формулу Грина (1.2) к произвольной функции иенСз(0)ПС'(ге) и построенному фундаментальному решению о(М, Ме): (интеграл по области Р понимается как несобственный интеграл второго рода). Формула (1.4) называется третьей формулой Грина. Относительно третьей формулы Грина сделаем следующие замечания.
Формула (1.4) выведена в предположении, что точка Ме 'является внутренней точкой области Р. Если точка Ме 1 расположена вне области Р, то функция о= й является мм, гармонической функцией всюду в области Р, и поэтому по второй формуле Грина получаем — — аР, М,~ Р. 4и д 11мм О е (1.5) и (М,) = — у ( — — — и — — ) е(5 — — ~ — Л' (1,6) 1 Г11 ди д 11 ! Г Ли 2и 9 (, й де дл й ) 2и ,) 11 (при этом следует иметь в виду, что поверхностные интегралы в формуле (1.6) являются несобственными; их исследование будет проведено позже (см. 2 6)). Объединяя все три случая, третью формулу Грина запишем в виде и(М), М,еР, и 1х4о) и 2 а~ О, МОФ Р+5. (1.7) Заметим, что третья формула Грина справедлива для произвольной достаточно гладкой функции, Она показывает, что в 5 змь ем 129 Рассмотрим теперь случай, когда Ме принадлежит поверхности 5.
Будем считать, что поверхность 5 имеет в точке Ме касательную плоскость с непрерывными угловыми коэффициентами. Дальнейшие рассуждения совпадают по схеме с только что проведенными. Применим вторую формулу Грина к функциям о(М, Ме) и и(М) в области Р'~Ке'. При этом поверхностный интеграл берется по границе 5'+Е,', где Х,' — часть сферы Х., находящаяся внутри области Р, а 5'=515ен где 5, — часть — м, поверхности 5, расположенная внутри шара К,'. При достаточно малом е поверхность Е,' близка к полусфере с центром в точке Ме и радиусом е.
Поэтому в окончательной формуле, полученной при предельном переходе е-+.0 и аналогичной (1.4), множитель 4п заменится на 2и: любой внутренней точке области функция и может быть выражена через свое значение и значение нормальной производной на границе и значение оператора Лапласа от этой функции во всей области й. Для гармонической функции (бы=О) третья формула Грина принимает более простой вид.
Например, при Моя0 сс (Мо) = — ф ( — — сс — ) с(5. (1.8) 1 с с 1 ди д 1 4я . (, 12мм дл ди Сумм 0 е В двумерном случае третья формула Грина выводится аналогично. Она имеет следующий вид: 1 к! 1 ди д 1 — — сс — 1и ) (!в 2Я У (, СУММ дл дп 12ММ с ч а и(М,), Мое0, и(Мо) Ма~С 1 2 О, — — ~ сзи 1п Йт= 1 г 1 2 ) !т сз Моч- П+ йи= — 6(М, М,), (1.9) где б(М, Мо) — дельта-функция Дирака. 1 Покажем, что функция о= 4 и удовлетворяет уравнению (!.9).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
