Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Пусть и — произвольное фиксированное целое положительное число. В силу ортогональности полиномов р„(х) и ре(х) =— 1 имеем ~р„(х) 1.р(х)дх=О, п)0. а Следовательно, полинам р„(х) меняет знак на интервале (а, Ь) в некотором числе й>1 различных точек х,,хз, ..., хч (х;ен(а, Ь) и х;~х~ при 1Ф1). Тогда полинам р„(х) имеет вид р„(х) =— (х — х,) (х — х.)... (х — хь) гр„(х), гь (х) = т а;р;(х), ~==О где аьФО. Так как й<п, имеем где ~р„(х) не меняет знака на (а, Ь).

Для доказательства теоремы достаточно показать, что й=п. Предположим противное: пусть й(п. Так как система классических ортогональных полиномов (р,(х)) содержит полиномы всех степеней, то для полинома гь(х) =(х — х,) (х — х,) ... (х — хч) справедливо разложе- ние ') р„(х)г„(х) р(х)с(х=)~ а; ') р„(х) р;(х) р(х)йх=О. и с=о а С другой стороны, ь ь ~ р„(х) га(х)р(х)с(х= [ г'(х) св„(х)р(х)с(хчьО, а а так как функция гаа(х)~р,(х)р(х) не меняет знак на интервале (а, Ь).

Сравнивая последние две формулы, получаем противоречие. Следовательно, й~ л, а поскольку полипом л-й степени не может иметь более л нулей, то й=л, Отсюда вытекает, что все корни простые. Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е. В силу основной теоремы высшей алгебры любой полипом л-й степени р,(г) на комплексной плоскости г имеет ровно л нулей*> (с учетом их кратности). Из доказанной теоремы следует, что все нули классического ортогонального полинома р„(г) сосредоточены строго внутри отрезка [а, Ь1 действительной оси комплексной плоскости г.

Так как между двумя нулями дифференцируемой функции )(х) по теореме Ролля**> имеется хотя бы один нуль ее производной 1'(х), то из этого свойства и доказанной теоремы получаем Следствие. Все нули производных классического ортогонального полинома р (х) прос~ые и расположены строго внутри отрезка [а, Ь1 3) Покажем, что производные р„'(х) также являются классическими ортогональными полиномами, заданными на отрезке [а, Ь), и ортогональными с новым весом р,(х) =-а(х) р(х). При т(л имеем ь ~ рв (х) х"'-'т (х) р (х) с(х = О. (3.6) ч Действительно, х 'т(х) есть полином степени лт и может быть представлен в виде х 'т (х) =,~ с;р; (х), с=в откуда следует (3.6).

Воспользуемся уравнением Пирсона (3.!) для т(х)р(х) и вычислим интеграл по частям. Учитывая, что в силу условия (3.2) подстановки обратятся в нуль, получим '~ См; Свешников А. Г., Тихонов А. Н Теория функций комплексной переменной. Мс Наука, !979. ео Смс Ильин В. А, Позняк Э. Г Основы математического анаоиза Ч 1. Мс Наука, 1982.

88 ь ь р„(х) х 'т (х) р (х) с(х = ~ р„(х) х — ' — (о (х) р (х)) Йх = чх а а ь ь = — ~ о(х) о (х) х — 'р„'(х) г(х — (т — 1) ~ о(х) р (х) х"'-'р, (х) ох. (3 7) О а Так как о(х)х" т — полипом степени не выше пт(п, аналогично формуле (3.6) получаем, что второй интеграл в формуле (3.7) равен нулю. Поэтому ь '1 р„' (х) х — 'о (х) р (х) с(х = О. а Следовательно, при т<п полинам р„'(х) степени и — 1 ортогонален ко всем полиномам меньшей степени и — 1 с весам р1 (х) =о(х) р (х), т.

е. '1 р'(х) р' (х)р,(х)с(х=О, п~пь. О Осталось показать, что весовая функция р,(х) удовлетворяет уравнению Пирсона (3.1). Имеем (орД' = о'о, + ор', = о'р, + о (ор)' = о'р, + отр = (о'+ т) р, = т,р,, (3.9) где т~=о'(х)+т(х) — линейная функция. Очевидно, что произведение х"о(х)р|(х), т=О, 1, ..., обращается в нуль в точках а и Ь. 3 а меч ание. Методом математической индукции легкопоказать, что т=е производные классических ортогональных полиномов р~"ч(х) образуют на отрезке (а, Ь1 систему классических ортогональных полиномов ортогональных с весом р~(х)= =о"'(х)р(х) (очевидно, р,(х) =р(х)).

4) Получим дифференциальное уравнение для классических ортогональных полиномов. Запишем формулу (3.8) в виде ь ~ р„' (х )' о (х) р (х) дх = О. а Интегрируя по частям, получим ь о(х)р(х)р„'(х)х ~,— Сх ~ ~ор р". ~ ь( дх 1 дх Р откуда, используя уравнение Пирсона (3.1), находим ь ') х (орр„"+ р„'(ор)') с(х = ~ х (ор„"+ тр„') р дх =- О при всех т<п. Обозначим д„(х) = о(х) р„+ т (х)р,'г Полинам и-й степени д (х) разложим по системе классических ортогональных полиномов: л д„(х) =~ а;р; (х).

~=1 Учитывая (3.9), получим ь л В ь ') д„(х) р (х) !1 г(х = ~) а; ~ р; (т) р„, (х) р г(х = а„3 р'„(х) о г(х = О, а ю=О а П откуда а =0 при т<п и, следовательно, д„(х)=а„р,(х). Обоз- начив Х = — а„, будем иметь п(х) р„"+ г(х) р„'+Х„р„=О. (3.10) Уравнение (3.10) можно записать в самосопряженной форме. Для этого умнвжим (3.!0) на р(х) и, используя уравнение Пирсона (3.1), приведем его к виду нРп — (ор — ") +Х„рр„=О.

дх ~ дх (3.11) ! — !!ор "~ 1-';Хру=б, хеп(а, Ь), , 1, 1р(а) !(со !у(Ь)(< со (3 Рй) При постановке задачи Штурма — Лиувилля граничные условия выделяют одно из двух линейно независимых решений линейного дифференциального уравнения второго порядка. В силу леммы 4.1 в случае, когда граничные точки являются особыми точками уравнения, условия ограниченности достаточны для выделения единственного решения. Поскольку в силу теоремы Вейерштрасса ортогональные полиномы образуют на конечном отрезке полную и замкнутую систему, для ник имеет место теорема разложимости Стеклова и они исчерпывают все собственные функции краевой задачи (3.12). В самом деле, если предположить, что при некотором значении параметра Х, отличного от Х., существует собствен- 90 5) В случае конечного отрезка !"а, Ь1 в силу поведения функции р(х)а(х) при х-+а или х — Ь граничные точки отрезка (а, Ь) являются особыми точками уравнения (3.1!).

Тем самым классические вртогональные полиномы являются собственными функциями краевой задачи Штурма — Лиувилля для уравнения (3.11) на отрезке 1а, Ь1 с условиями ограниченности в граничных точках: пая функция у(х) задачи (3.12), не являющаяся классическим ортогональным полиномом, то в силу общих свойств собственных функций непрерывная функция у(х) должна быть ортогональна ко всем функциям системы классических ортогональных полиномов (р„(х)) и в силу замкнутости этой системы тождественно равна нулю. Постановку краевой задачи Штурма †Лиувил в случае бесконечного или полубесконечного интервала мы рассмотрим позже на примере конкретных классических ортогональных полиномов.

Найдем выражение для собственных значений задачи (3.12). Выпишем коэффициент при х' в уравнении (3.10). Поскольку о(х) =о(0)+хо'(0)+ — "о", т(х) =т(0)+хт', 2 то, подставляя эти выражения в (3.10), получим коэффициент при х" в виде 1 ~ — о"и (и — 1) + т'и + Л„~ а„, где р„(х) =-а„х" +а„~х" — '+..., а„Ф О. Отсюда, приравнивая коэффициент при х" в уравнении (3.10) нулю, получим Л„= — и (т'+ о"), 6) Уравнение (3.11) можно записать в виде — (р,(х) — "~+Л„рр„=О, и ( ар„ ! и где р,(х)=о(х)р(х). так как производные т-го порядка рь"1(х) классических ортогональных полиномов снова являются классическими ортогональными полиномами, то, повторяя рассуждения п. 4), получим для них уравнение ,1 1т) 1 (3.1 4) где Л„„= — (и — иг) ~ (и — т — 1) — + т' ~, ги = О, 1, о" Ра — = Р Лп~о — = "..

7) Получим явное представление для классических ортогональных полиномов. В силу уравнения (3.14) р .'"'= — — — (р + р„'+и) 1 И Л~ги и, в частности, рекуррентно применяя последнюю формулу, на- ходим ! А ! 1 ~Р (х) = — рхр!а) = — — (р1р„'!') = (р р!'!) = дх " Х„,Ь„, дх' (3. 157 где Так как р„'"! =и!а„, то, полагая в формуле (3.16) гл=п, получим л!д ! дх р, (х) = — '" — (р„(х)), Апл р(х) хы„ или, обозначая С„= — '": А„„ р„(х) = " — (а" (х) р (х)).

р (х) Нх" (3.16) ') р„'рх(х=а„'! х"р„р х(х+ ~ р„!)„!р!(х=а„'! х"р„р!(х. Отсюда, используя формулу Родрига (3.16), будем иметь (( рДх = ~ рзр Нх = а, С, ~ х" — (а" р) !(х. Интегрируя и раз по частям и учитывая, что в силу условия (3.2) подстановки обратятся в нуль, получим формулу для квадрата нормы классических ортогональных полиномов 1( р„)('.=( — 1)" и!а„С„(~о (х) р (х) с(х.

а (3. 17) Формула (3.16) называется обобщенной формулой Родрига. Коэффициенты С в формуле (3.16) определяются из условия нормировки, поскольку классические ортогональные полиномы как решения однородного уравнения определяются с точностью до множителя. 8) Формула Родрига позволяет получить значение квадрата нормы классических ортогональных полиномов. Учитывая, что р (х) =а„х" +д„ч(х), где д„!(х) — полипом степени и — 1, получим 3. Производящая функция классических ортогональных полиномов 1р( ) 1) рх(Х) х и! (3.18) л=в где р„(х) = р„(х). с„ Получим производящую функцию классических ортогональных полиномов. Будем исходить из обобщенной формулы Родрига (3.1б). Заметим, что в силу формулы (3.5) функция а" (г)р(г) является аналитической функцией комплексной пеоеменной г в окрестности отрезка (а, Ь] действительной оси комплексной плоскости г.

Воспользуемся для ее и-й производной интегральным представлением Коши — (о" (х) р(х)) = "' ( ) Р„„, Ж, (3.19) лхх 2ю,) П вЂ” х)" ( ! где интеграл берется по контуру, содержащему точку Г=х внутри себя. Из формул (3.16) и (3.19) вытекает, что р„(х) = — ', Ж. ! л! (' а" (() р(!) р (х) 2л! .) (! — х)"+! с Подставляя (3.20) в (3.18) и меняя порядок интегрирования н суммирования, получим Ч'(х, х) = — ' !((. (ар): ) ° р(х) 2л(,) ! — х ~,~ ] ! — х с л=О При достаточно малом (г~ х (а(!)г)" ! ! — х ! — х ) ! а(!)х ! — х — а(()г п=а ! — х и окончательно (3 20) 93: Мы ввели классические ортогональные полиномы как ортогональную с весом р(х) на отрезке )а, Ь] систему полиномов, для которой вес р(х) подчинен определенным условиям.

С другой стороны, мы установили, что классические ортогональные полиномы можно ввести как собственные функции задачи Штурма — Лиувилля на конечном отрезке (а, Ь]. Возможен еще один способ введения классических ортогональных полиномов — с помощью производящей функции. О п р е д е л е н и е. Производящей функцией классических ортогональных полииомов называется функция Ч'(х, г), разложение которой в ряд Тейлора при достаточно малых г имеет вид Ч" (х, «)= ( х(д 1 ( р(11 2п)р (х) ) 1 — х — хо 11) (3АП) При «=О подынтегральная функция в (3.21) имеет внутри контура С единственный простой полюс )=х.

Характеристики

Список файлов книги