Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Следовательно, по непрерывности, при достаточно малых !«! контур С всегда можно выбрать так, что внутри него будет находиться единственный простой полюс 1м являющийся корнем уравнения 1 — х — «о(1) =О. (3.22) Очевидно, (а=(а(х, «), где !з(х,«) означает тот корень уравнения (3.22), который при малых !«! близок к г=х. Вычисляя интеграл в (3.2!) с помощью вычетов, получим общее выражение производящей функции классических ортогональных полиномов: х'(х «)— р (х) 1 — 70 (1р) (3.23) где та — — !а(х, «) — корень уравнения (3.22).
Перейдем теперь к рассмотрению конкретных систем классических ортогональных полиномов, наиболее важных для приложений. 4. Полиномы Якоби р(х)= ехр Д, х(х~, Поскольку Ах+В А-~-В ~ Нх  — А ~ Нх д.х = 1 — х~ 2 1 — х 2 1+х в-л = 1п ((1 — х) (1+ х) ), то р(х) =(1 — х)" (1+х)~, (3.
24) где В+А  — А а= — ' — 1, р= 2 2 Пусть а= — 1, 6=! (к этому случаю, очевидно, приводятся все конечные интервалы). Тогда по формуле (3.4) а (х) = (х+ 1) ( — х+ 1) = 1 — х~, и для линейной функции т(х) =Ах+В в силу (3.5) получим Выражая из последней формулы коэффициенты А и В через а. и (1, получим линейную функцию т(х) в следующем виде; т(х) = — (а+~+2) х+~ — а. Заметим, что условие (3.2) будет выполняться, если постоянные а и р удовлетворяют условиям а> — 1, (1> — 1. О п р е д е л е н и е. Классические ортогональные полиномы, заданные на отрезке [ — 1, 11 и ортогональные на нем с весом р(х)=(1 — х)" (1+х)', называются полиномами Якоби и обозначаются Р„'"'~) (х).
Для полиномов Якоби нормировочный множитель выбирается в виде Сл =- 2" л! Тогда получаем явное выражение полииомов Якоби с помощью формулы Родрига (3.16): 2лл( (1 — х)а (1 З- х)а лхл Из формулы Родрига несложно получить полезную формулу дифференцирования для полиномов Якоби Р~~ли(Х) (и+а+р+1)Р~ Ж~ .и-, '1(Х) ах 2 Используя формулу (3.12), запишем задачу Штурма — Лиувил- ля для полиномов Якоби ах-1 л ) — ~(1 — х)а' (1+х)а' " ~+)„(1 — х) (1-~-х) Р„'аиН=.О, ах ах — 1 <х(1, 1Р(а,а) (~1)(( (3. 26) Полиномы Якоби являются собственными функциями задачи Штурма — Лиувилля (3.26), отвечающие собственным значениям ).„, имеющим в силу формулы (3.13) следующий вид: Лл = п (и+ а+ р+ 1). (3.27) Поскольку система полиномов Якоби задана на конечном интервале [ — 1, 11, то в силу теоремы Вейерштрасса оиа является полной, а следовательно, замкнутой и исчерпывает все собственные функции задачи (3.26) .
Выражение для квадрата нормы полиномов Якоби имеет следующий вид: 1(р<а, 1(!х 2 1 Г (л+а+ 1) Г (л+Р + 1) (3 26) л! (2л -,'- а —, б -'; 1) Г ( л -)- и + () -1- 1) ' т(х) = — а(х) = — 2х. !( пх Тогда уравнение (3.11) принимает вид — 1(! — х') " 1+)„Рп=О. !(х [ !(х . Уравнение (3.29) носит название уравнения Лежандра. Краевая задача Штурма — Лиувилля для полиномов Лежандра соответственно имеет вид (3.29) ! — [(! — х) — ~+)„у=О, — 1(х(1, |( Г х лп ! (3.30) )и Ф1) (( Собственные значения Х, определяются формулой (3.27) при а=р=О: Л„=и (и+ 1) .
Получим выражение для нормы полиномов Лежандра, для чего используем формулу (3.17): +! !)Р„!!х=( — 1)" а,л!Сл ~ (1 — х')"!!х. — ! (3.32) Из (3.31) имеем 1 !(л „ 2п (2п — 1)...(л + 1) 1 (2л)1 л а„х" = — — х'" = хл = — — х", 2"п! ахл 2"и) 2"и1 л) откуда 1 (2л)! а„= — —. 2лп! п! Вычислим интеграл в правой части (3.32): +! +! 7„= — ~ (1 — х!)л г(х = х (1 — хзУ' !+! -1- л ~ (1 — х!) ! 2хх г(х = — ! -! +! +! =2и ~ (! — хх)" дх — 2л ) (1 — х')" с(х=2л(„! — 2л7„, — ! — ! т. е.
2п 7„ 2л+ 1 Из (3.25) получается формула Родрига для полиномов Лежандра Р„(х) = 1 '1 (х' — 1У'. (3.31) 2лл! пхл 4 злк. 36! 97 и, применяя последнюю формулу и раз, будем иметь 2п (2л — 2)...2 (2»)о(п!)о » го= .2, (2л + 1) (2л — !)...8 (2» + 1)! поскольку +! ') !гх=2. — 1 Окончательно получаем (! Р !!— (3.33) Заметим, что формула (3.33) сразу следует из формулы (3.28) при а=р=О. Производящую функцию для полиномов Лежандра получим, воспользовавшись формулой (3.23). Уравнение (3.22) в случае полиномов Лежандра принимает вид г! +! — (г+х) =О. Нетрудно показать, что ближайшим к корню (=х при малых (г! будет корень !+> — 1 + г ! + 4хг + 4гг го 2г Из (3.23) имеем 1 1 Ч'(х, г) = 1+ 2г!о )Г1-(-4хг+ 4гг и поскольку » ( ) г»» г» Р (х)( 2г)» п) С„л! то Ч" (х, г) = =о9)Р„(х) ( — 2г)".
К'1+ 4хг+ 4гг 4 ! »=-о г Сделав в последней формуле замену г на — — и сохранив 2 обозначение для производящей функции, получим Ч' (х, г) = ~ Р» (х) г» = 1 (3.34) ')/! — 2хг+ гг »=О Производящая функция полиномов Лежандра имеет простой геометрический смысл. Пусть г» и го — радиусы-векторы точек Р и Я в сферической системе координат, а Π— угол меж- 98 га Яра — — ЪггРр+гэ — 2гргасозб=гр ~22 1 — 2 — '1 созб+( — а) р гр гр и Ю 1 1 1 г х — ( — ) Р„(соз 0). 'р.а '..
Г г а ~/ 1 — 2 — соя Гг+ [ — ) =ь гр г Сравнивая последнюю формулу с формулой (3.34), получим — = — Ч' [созда,— 'а ! г„г, [ .,). Из обшей теоремы для классических ортогональных полиномов следует теорема о нулях для полиномов Лежандра. Теорема 4.2. Полинам Лежандра Р„(х) имеет ровно и простых нулей расположеннь2х строго внутри отрезка [ — 1, 1). Из общих свойств классических ортогональных полиномов вытекают следующие свойства полиномов Лежандра: система полиномов Лежандра полна на отрезке [ — 1, 11; система полиномов Лежандра замкнута; система полиномов Лежандра исчерпывает все собственные функции краевой задачи Штурма — Лиувилля (3.30); для системы полиномов Лежандра имеет место теорема разложимости (Стеклова). Т е о р е м а 4.3.
Всякая дважды непрерь2вно дифференцируемая на отрезке [ — 1, 11 функция )(х) разложима в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по полиномам Лежандра !'(х) =~ [„Р„(х), Х=О где +! ~ [(х)Р„(х)йх, п=О, 1, — 1 — коэффициенты Фурье функции Г(х). Формула (3.34) позволяет получить полезное рекуррентное соотношение для полиномов Лежандра. Продифференцируем (3.34) слева и справа по га Ю Х вЂ” 2 (Х вЂ” 2) Х (Х, 2) (1 — 222+ 22) ~!~ 1 — 222+ 22 ь=! Ч',(х, г) откуда ду этими радиусами-векторами.
Предположим для определенности, что гр>го. Тогда расстояние между точками Р и Я имеет вид Ю Ю (х — г)~ Рь(х)г =(1 — 2хг+г'),~ йР,(х)г~ — '. ь=о э=1 Приравнивая в последней формуле коэффициенты при одинаковых степенях г, получим искомое рекуррентное соотношение (п+!)Р„+~ (х) — (2п+1)хР„(х)+пР„~ (х)=0, п=!, 2, ... Полагая в формуле (3.34) х=1, получим Ч' (1, г) = ~~! ! Р„(1) г" = = кэ ! г", 1 — г С.~ м=о и=О Р,(х) =х, Р, (х) = — (Зхз — 1), 1 Р, (х) = — (5х' — Зх), 1 2 Рэ (х) = — (35х4 — 30х + 3). 8 6. Полиномы Лагерра Пусть а=О, 5=со. В этом случае (см.
(3.4)) а(х) =х и из формулы (3.5) вытекает р(х)= — ехр ~~ (л+ — ) 1(х~, ~ (А+ — ) дх=Ах+ 1пхв, о (х) = х'е"", Поскольку то где а= — 1, Потребуем, чтобы 1пп х"о (х) р (х) = О, и = О, 1, 1ОО откуда Р„(1) =1,-п=О, 1,..., и, следовательно, Р,(х) =— 1. В силу формулы Родрига (3.31) Р„(х) в зависимости от четности или нечетности индекса п являются четными или нечетными функциями. Поэтому Р~(х)=х и Р,( — !)=( — 1)", п=О, 1, ... Используя формулу Родрига (3.31), выпишем явные выражения для первых пяти полнномов Лежандра: Р (х) 1, Для выполнения последнего условия достаточно положить А= — 1.
Тогда получим р(х) =х"е — ", а) — 1. (3.35) Классические ортогональные полиномы, заданные на полу- прямой 10, оо) и ортогональные на ней с весом р(х)=х е-, называются обобщенными полиномами Лагерра и обозначаются 7.,'"'(х). 1 Выбирая нормировочный множитель С„= —, получим из ал формулы Родрига (3.16) явное выражение для обобщенных полиномов Лагерра Е~"' (х) = — х-ое" — (е — 'х"+о). сл ~~~п (3.3б) При постановке краевой задачи Штурма — Лиувилля для полиномов 1.„(х) нужно учесть, что эти полиномы заданы на (а) полупрямой и необходимо определить поведение решения на бесконечности.
Введем О п р е д е л е н и е. Будем называть функцию 1(х) квадратично интегрируемой с весом р(х) на интервале (а, Ь), если существует интеграл ь '1 7' (х) Р (х) дх. о Тогда, используя (3.11), можно так сформулировать постановку задачи Штурма — Лиувилля для обобщенных полиномов Лагерра. Найти значение параметра Х и отвечающие им нетривиальные решения уравнения (хо+1е — х " ) +Ххое — ку 0 0 с х(оо, (3.37) ох ох ~ог непрерывные и квадратично интегрируемые с весом р(х)= =х"е-" на полупрямой 10, оо). Отметим, что условие квадратичной интегрируемости функций у(х) с весом х"е —" на полупрямой (О, оо) допускает их рост при х- оо.
Заметим, что обобщенные полиномы Лагерра определены на полубесконечном интервале, и, следовательно, мы уже не можем, ссылаясь на теорему Вейерштрасса, доказать, что они образуют полную систему на полупрямой 10, оо), а также что эта система замкнута и исчерпывает все собственные функции задачи (3.37). Однако замкнутость системы полиномов 1.,'"~(х) несложно доказать аналогично тому, как это будет сделано в следующем пункте для полиномов Эрмита, определенных на всей бесконечной прямой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
