Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Отметим только, что оно может быть проведено методами теории потенциалов, которые будут изложены в гл. Н. Общую краевую задачу для эллиптического уравнения заменой неизвестной функции всегда можно свести к задаче (7.1), (7.2) . Для того случая, когда задача (7.1), (7.2) имеет и при этом единственное решение (с~А„при всех п=1, „, оо), решение (7.7) приведем к интегральному виду. Подставляя в (7.7) явное выражение для !. и меняя порядок суммирования и интегс рирования, получим где Ю 0(м а)=Ч "*(М)пп(О) . хп л=! О п р е д е л е н н е. Функция 6 (М, Я) называется функцией Грина оператора 7.и+си с граничными условиями (7.2). 5 8.
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ШТУРМА-Л ИУВИЛЛЯ Как было показано в предыдущих параграфах, если известны полные системы собственных значений и собственных функций соответствующей краевой задачи, то решение начально-краевой задачи или краевой задачи для эллиптиче-, ского уравнения можно построить в виде ряда.
В этом параграфе рассмотрим задачу Штурма †Лнувил для оператора Лапласа в простейших областях. 1. Одномерный случай: отрезок. В одномерном случае рассмотрим общую схему нахождения собственных функций и собственных значений следующей задачи Штурма — Лиувилля: ).у+Хру= — ~й(х) ) — др+Хру=0, 0(х(й (8.!) г ау' нх ах Р,(у)=а,—" — р,у! =О, /а,/+!р,! ФО, (8.2) нх !я=О Р, (у) = — аз †" +~,у = О, /а.,! + ~ ~з! чь О, у (х) =- О.
(8.3) ах ~~-с Обозначим через (у1(х, Х), уз(х, Х)) фундаментальную систему решений уравнений (8.1). Фундаментальные решения у1 и уз зависят от Х как от параметра. Общее решение уравнения (8.1) можно записать в виде у(х)=С,у,(х, Х)+С,у,(х, Х). (8.4) 56 Подставляя (8.4) в граничные условия (8.2) — (8.3), получим С,(а,у,'(О, Л) — рдуд(0, Л))+С,(а,у'(О, Л) — рдуд(0, Л)) =О, (8.5) Сд(а,у,'(1, Л)+рдуд(1, Л))+С,(аду,'(1, Л)+рдуд(Е, Л)) =О. Соотношения (8.5) представляют собой однородную систему ли- нейных алгебраических уравнений относительно С, и С,. Эта си- стема имеет ненулевое решение только в том случае, когда ее определитель равен нулю: ! а,у,'(О, Л) — ~,у,(0, Л) а,у,'(О, Л) — ~,у, (О, Л) =О. (8.6) а,у,'(1., Л) + Ддуд (1, Л) а,у,' (1, Л) + Ц,уд (1, Л) Тогда, подставляя (8.4) в граничное условие (8.2), сразу находим С,=О. Следовательно, собственная функция согласно (8.4) должна представляться в виде у(х) =С,у,(х, Л).
Подстановка этого выражения в граничное условие (8.3) дает днсперсионное уравнение для Л: Р, (у,) = — а, — ' (х, Л) + (З,уд (х, Л) („=д = О. дх Рассмотрим теперь частный случай д.у=у", р= — 1. В этом случае общее решение (8.4) может быть записано в виде у(х) =С, соз Р Лх+Сдз!пуЛх (р= 1). Коэффициенты С, и Сд определяются из системы — СА+С,а, У Л=О, С, ( — а, у' Л з1п )/ Л 1+ рд соз у' Л 1) + +С,(а, у'Лсоз у'Л1+рдз!п)/Л1)=0. (8.8) Соотношение (8.6) представляет собой уравнение для определения собственных значений Л. Это уравнение называется дисперсионным. Пусть (Л,) — корни уравнения (8.6). Каждому Л, соответствует ненулевое решение системы (8.5) и, следовательно, ненулевое решение уравнения (8.!), представимое в виде (8.4).
Выше был рассмотрен общий алгоритм построения собственных значений и собственных функций. В ряде случаев его можно упростить. Пусть фундаментальная система уравнения (8.1) выбрана так, что на одном из концов отрезка, например прн х=О, функции у,(х, Л) и уд(х, Л) удовлетворяют граничным условиям Уравнение (8.8) имеет вид (аа,Л вЂ” Щ) 1д г' Л1 = 3Г Л (ас(1с+ Псс~). (8.9) Легко убедится, например графическим методом, что уравнение (8.9) имеет бесконечное счетное множество корней 1Л„),', Для каждого корня Л„находим ненулевое решение системы (8.8): С=С '~ ", С=С 1 с г»с. +й' с'с: »и' (8.10) где С вЂ” произвольная постоянная, отличная от нуля (С~О).
Величина М„= Пу„П = Д у„' (х) с1х~ г » представляет собой норму собственной функции. Если постоянная С выбрана так, что )У„=1, то собственные функции у„(х) будут ортонормированными. Итак, ненормированные собственные функции задачи Штурма — Лиувилля у" +Лу=О, О(х(1, а,у' — б,у~, с=О, асу'+Псу~,=с=О можно записать в виде у„(х)— рс 5! и сс Л» х+ Яс р Л» »05 1с Л» х $' Л„сс,+В, (8.11) при зтом „1 Эссекс+ Ьх ) (Л асас+ йсйс) (8 12) У»~ 2 2 (Л щз 1 йс)(Л ос где ˄— корни уравнения (8.9).
Уравнение (8.9) имеет нулевое решение Лв=О. Ему будет соответствовать ненулевая функция ус(х), определяемая (8.11), если р,=О и бе=О и эта функция равна 1. Следовательно, при Л.=О Пу.П =1. Выделим частные случаи. 1. Граничные условия у(0)=у(1)=0 (а,=.а =О, 8,=Ос=1): 58 у„(х)=з1пМЛ„х, Л„= ( — ) Пу»П'= — я=1, 2,..., оо. Ж 2. Граничнвсе условия у'(0) =у'(1) =О (а,=а =1, ~,=П»=О): у„(х)=сов')ЛЛ„х, Л„= ( —" (, Пу„П =1 ', я=О, 1,..., ос». Заметим, что в этом случае существует нулевое собственное значение Ло=О, которому соответствует собственная функция уо(х) = 1. 3.
Граничные условия у(6) =у'(1) =0 (а,=()з=О, Р,=а,=1): ую (х) = з1п У Ло х Ло = ~ — ~п + — ) ~ ~ ПупП'= —, п=О, 1, 2,...,оо. 4. Граничные условия у'(0) =у(1) =0 '(Ц,=а,=О, $),=а,=1): у„(х) = сов у Л„х„Л„= ~ — ( п + — ) 1, ЦУ„Ц' = —, п=О, 1, 2,....со. 5. Граничные условия д(0)=0, у'+Ь,у!х=!=-0 (а~=О Рз=1 а,=1, Р.=Ь,): у„(х)=яп'(/Л„х, Пу П'= — + ', п=1, 2,..., оо; г г(л„+ й~) х— Л вЂ” корни уравнения 1д у Л 1= — —. П йа 6. Граничные условия у'(0)=0, у'(/)+Ь,у(1)=0 (Ц,=О, а,=1, а,=1, (3а=Ь,): у„(х) =сов у'Л„х, Цу„1('= — +, п=1, 2, ..., оо; г г (л ( аз) ' ˄— корни уравнения 1и УЛ1= — Ьр )/Х ' 7. Граничные условия у'(0) — Ь,у(0) =О, у(1) =0 (а,=1, Ц, =Ь,, х,=О, рз=1): у„(х)=яп)7Ло(1 — х), ПУ„П'= — + ', и=1, 2,, оо; г г(Л (аз) ' — г — 1'Л Л вЂ” корни уравнения 1и у Л1=— о й, 8.
Граничные условия у'(0) — Ь,д(0) =О, у'(1) =0 (а, =1, (), =Ь,, а2=1, Рз=о): у„(х)=сот~Э.„(1 — х), ЦУ„Ц'= — + ', п=1, 2„..., оо; г г(Л„+Ьт) ' — и, ˄— корни уравнения 1я ф'"Л1= — '. 9. Граничные условия у'(0) — Ь,у(0) =О, у' (1)+Ь,у(1) =0 (а,= ()~ з 1 ~ ЦЗ 2) у„(х)= (тяп Л„х+КЛ„еозф'Л„х), Ло+ а~ ((2 1 + 1 (й1+ ИД (Ли+ йЩ (и„+ йз) (Л + й2! — й~+ йз ˄— корни уравнения (д УЛ1=)' Л ' ' . Заметим, что в этом л — й,й, случае собственную функцию можно записать также в виде у„(х)= (й,з(п~/Л„(1 — х)+'(/Л„соз'р Л„(1 — х)), '(/Л„-(- и'.,- где ˄— корни уравнения (8~1Л1= р' Л Л+й,й, ' 2. Одномерный случай: периодические граничные условия.
Рассмотрим задачу Штурма — Лиувилля на отрезке (О, 1! с условиями периодичности у" +Лу=О, 0<х<1, (8.(3) (8.!41 у(х) =— у(с+1) при любом х,~ [О, 1), у(х) ф О. Заметим, что условия периодичности (8.(4) можно заменить граничными условиями у(0)=у(1), у (0)=у (1). Общее решение уравнения (8.(3) у (х) = С, соз (/Л х+ С. яп у' Л х (8.(5) подставим в условия (8.(4): С, соз )/ Л (х+ 1) + С, з ! п )ГЛ (х+ 1) = С, соз ~Г Л х + С, з! п у' Л х. Воспользовавшись линейной независимостью функций соз )~ Л х и з(п (IЛх, отсюда получим С1 (соа (/Х1 — !)+С25(п у Л 1= О, — С, з(п ~ГЛ1+С,(еоз у'Л'1 — !) =О. Система (8.(6) имеет ненулевое решение только при условии !=Π— 51П )l Л1 соз )ГЛ1 — ! ~ или соз у Л1= !.
Отсюда находим Л„=~ — ),п=О, (,2,. 60 а,=( ' )-(') с,=( (8. 17) Подставляя (8.17) в (8.15), находим собственные функции Да (Х) =СО5 Р ).а Х Уа (Х) =5!П Р' ).ах. Заметим, что собственному значению ).о — — 0 соответствует вдна собственная функция уо(х)=1, в то время как все ненулевые собственные значения ).„имеют ранг, равный двум. Таким образом, задача (8.13) — (8.14) с периодическими граничными условиями имеет следующие наборы собственных значений и собственных функций: ),=~ — ), п=О, 1, 2, 2па СО5 — Х, ! у (х)= — 1, уа(х)= 2по ейп — х, йу!! -1 ау!! 2 и 1 2 Прн 1=2п, й„=п' у„(х) ( у, 1, и 1,2,,оо. 5!П ПХ, 3. Прямоугольник.
Рассмотрим задачу Штурма — Лнувилля для оператора Лапласа в прямоугольнике: (8.18) Ли+Ли=О, 0<х<а, 0<у<Ь, Р,(и)=а,—" — р!и! =О, Р,(и)=ао — "+р и =О, (8.!9) дх ~ц=о дх ха а Р,(и)=ао — — ~ои =О, Р,(и)=а, — +()ои =0,(8.20) где ас, р; — постоянные, причем /а!!+ /Дг!ФО, о=1, 2, 3, 4.
Задачу (8.18) — (8.20) будем решать методом разделения переменных. Найдем ненулевые решения уравнения (8.18), представимые в виде (8.2 1) и (х, у) = Х (х) У (у) ф О. а! При найденных значениях 1. система (8.16) имеет два линейно независимых ненулевых решения: Подставляя (8.21) в уравнение (8.18) и разделяя переменные, получим Х" (х) ) (у) — Л =- — )ь. Х (х) У (у) Следовательно, для функций Х(х) и У(у) получаем одномерные задачи Штурма — Лиувилля для отрезка: Х" +рХ=О, 0<х<а, У" +чУ=О, 0<у<Ь, Р,(Х) („я=О, Р,(У)„,=0, Р,(Х)),=0.
Р4(У)!чья=О, тгде т=Л вЂ” р. Решив каждую из этих задач, собственные функции задачи (8.18) — (8.20) найдем согласно (8.11), а собственные значения Л вычислим по формуле Л=р+т. Таким образом, справедливо следующее утверждение: собственные функции оператора Лапласа для прямоугольника равны произведению собственных функций по каждой переменной с соответствующими граничными условиями и (х, у) = =Х,(х) У,(у), а собственные значения равны сумме собственных значений одномерных задач Л,=р.+ч .
В качестве примера приведем собственные функции и собственные значения для задач Дирихле и Неймана: а) задача Дирихле и(с=О, где С вЂ” контур прямоугольника: ль . 3юи и„,„(х, у) = з)п — х з! п — у, а Л„=( — ") +( — ), а, т=1, 2,..., )(и„(!'=(яп — х~) ~з)ц ™ )~= —; ди б) задача Неймана — ~ =О, где и — внешняя нормаль к .контуру прямоугольника: пл пи и„(х, у) =сов — хеоз — у, И ь Л„=( — ) +( — ), и, т=О, 1,..., ((и„(!'=)(Х (!' ((У (!'. Собственные функции и собственные значения для других гра,ничных условий легко выписать, используя результаты п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
