Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Будем считать, что фундаментальная система решений (Т„р(!)), 1=0, 1, ..., т — 1, удовлетворяет начальным условиям дй — Т«г(Г)1~ о=бы, й=О, 1,...,гп — 1. дм (4.1 1) Таким образом, вспомогательная задача (4.4) — (4.6) решена и найдена бесконечная счетная система решений и(М, !) =и«(м, I) =о„(м) Т„(!), (4.!2) где о (М) — собственная функция, Т (!) определена соотношением (4.1!). Решение и(м, !) исходной задачи (4.1) — (4.3) будем искать в виде разложения в ряд по системе (4.12): Ф и(м, Г)=~)~ Т«(Г)о„(м)=у )~ С„тТ„,(!)с«(М).
(4.13) «=1 — 1 !«=и Из начальных условий (4.3) для коэффициентов С„, получаем С«хо«(М)=<рх(м) А=О, 1,...,т — !. (4.14) «=! Умножая (4.14) на р(М)о (М), интегрируя по )3 и используя ортонормированность собственных функций, определяем коэффициенты С «. с.,=(р,)„=- (' р,(м) ..(М) рл. о (4.15) 49 Итак, пусть задача Штурма — Лиувилля (4.8) — (4.9) решена. Обозначим через (Л„), собственные значения и через (и.
(М))1 ортонормированные собственные функции данной задачи Штурма — Лиувилля "Таким образом, формальное решение задачи (4.1) — (4.3) имеет .вид (4.13), где С»1 определяются соотношениями (4.15). Если функции ф»(М) удовлетворяют условиям, при которых ряд (4.13) можно нужное число раз почленно дифференцировать по М и 1, то ряд (4.13) дает классическое решение поставленной задачи.
Эти исследования в общем виде мы проводить не будем. Для простейших случаев уравнения теплопроводности и уравнения колебаний они будут проведены позже. Выпишем выражения функций Т»(г) для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Для уравнения теплопроводности с постоянными коэффици- ентами "Следовательно, уравнение (4.9) имеет вид Т„-1- а'Л»Т„= О :и его общее решение Т„(1) =С„е '*~»', .Для уравнения колебаний с постоянными коэффициентами 1 д»и И а» дП Уравнение (4.9) принимает вид Т„+а'Л»Т» =О ги его общее решение Т„(1) =С„,сова)Г~.„1+С„, "" а у'Л» й а.
метОд РАзделения пеРеменных для НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ (5.2) ,50 Теперь рассмотрим метод Фурье решения неод- нородного уравнения с нулевыми граничными и начальными условиями (задача (1.7)): рР,(и) =(и+~ в Я, сс — "+()и! =О, (а1+1р1чьО, — ! =О, А=О, 1,...,т — 1, (5.3) дм ~с=о Основу метода разделения переменных составляет задача .Штурма — Лиувилля. Будем считать, что она решена. Обозна- чим (Л,) и (о„(М)) — собственные значения и ортонормированные собственные функции задачи Штурма — Лиувилля (4.8)— (4.9) .
Решение задачи (5.1) — (5.3) будем искать в виде разложения по собственным функциям: (5.4) коэффициенты и (1) которого, естественно, зависят от переменной й Функции и (4) нужно выбрать так, чтобы ряд (5.4) удовлетворял уравнению (5.1). Формально подставляя (5.4) в уравнение (5.1), получим ) (Р, [и„]+Л„и„) ро„(М) =1(М, 1). (5.5) л=! Уравнение (5.6) для коэффициентов Фурье и (1) можно получить и другим путем, не предполагая возможность почленного дифференцирования ряда (5.4). Для этого уравнение (5.1) умножим на о (М) и проинтегрируем по области Р: ~ ро,„Р![и] <(г'= ~ о 1и!1[/+ ~ го„сУ.
о о В (5.7) Согласно второй формуле Грина (2.4), учитывая однородные граничные условия на поверхности 5, имеем ~ о 1.ис(У = ~ иЕх йг'= — Л,„1 ио рг)У= — Л и (1). о й о Поскольку коэффициенты оператора Р![и] не зависят от М, то ~ ро Р,[и]!Л/ =Р, ~~ ио„р!(У1 =Р![и ]. Поэтому из (5.7) получаем Р, [и ]+ Л и =1 (1). Изложенный метод получения соотношения (5.6) называется энергетическим, или методом Галеркина.
Он часто используется при построении различных алгоритмов численного решения краевых задач. Домножив (5.5) на о (М) и проинтегрировав по )), получим Р,[!г,]+Л.,г! =Р (Г), (5.6) где ~„(1) = ~ ~ (М, 1) о„(М) Яг. о Подставляя (5.4) в начальные условия (5.3), имеем — (О) = О, й = О, 1,..., и! — 1. (5.8) Таким образом, для каждой функции и„,(!) (т=1, 2, ..., со) получаем задачу Коши (5.6), (5.8), решение которой можно .записать в виде и„, (!) = ~ К,„(1, т) /„, (т) о(т, о (5.9) о л=! Обозначим б(М, Я; Г, т)=~!~ К,(!, т)и„(М)и„(Я). (5.10) л=! Тогда и(М, Г)=-~ ~ 6(М, Я; 1, т)~Д, т)Жгсг(т.
(5.!1) о о 0 п р е д е л е н и е. Функция О (М, Я; 1, т) называется функцией влияния точечного источника, или функцией Грина. Формула (5.10) показывает, что она может быть построена в виде ряда по собственным функциям задачи Штурма — Лиувилля. Вопросы существования функции Грина и представимости ее в виде разложения (5.10) здесь при изложении формальной схемы метода Фурье обсуждать не будем. Для конкретных начально-краевых задач эти вопросы будут рассмотрены в следующих главах курса, Соотношение (5.11) дает представление решения задачи (5.1) — (5.3) через функцию Грина.
Из формулы (5.11) следует, .52 тде К (г, т) — импульсная функция уравнения (5.6). Подстав.ляя (5.9) в (5.4), получим формальное решение задачи (5.1)— (5.3). Исследования условий, при которых формула (5.4) дает классическое решение, мы здесь не проводим. Преобразуем решение (5.4). Подставим (5.9) в (5.4) и изменим порядок интегрирования и суммирования: и (М, !) = ~ ~ К„(!, т)1„(т) и„(М) о(т = о й=! что функцию Грина 6(М, Мо, Г, го) можно определить как решение задачи: РР,(6(=т+б(М, М,)б(г — г,) в 0, до дпм (5.12) =О, /г=О, 1,..., лг — 1, дм 'р= о где б(М, Мо), б(1 — го) — б-функции Дирака, определенные в области й и на оси 1 соответственно (определение и свойства б-функции Дирака см., например,е>). Функция Грина 0(М, Мо., 1, (о) определена при (Мо.
Учитывая (5.12), естественно доопределить ее нулем при 1<1о. О(М, Мо, г, го) — = О ОРи г<го. б б. НЕОДНОРОДНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ (6.3) '~ Смс В п ад и ми ров В. С. Уравиеиии математической физики. Мз Наука, 1988. До сих пор рассматривались задачи с однород- ными граничными условиями. Теперь рассмотрим задачу с не- однородными граничными условиями (задача (1.8) ): РР,(м)=1.и в 1,1, а — +Ри~ =р(Р, 1)!лез, !а1+1~! мьО, (6.!) дп — ! =О, юг=О, 1, ...,пг — 1. дои дге г=о Решение этой задачи можно свести к решению уже рассмотрен- ных задач. Для этого решение будет искать в виде и(М, г) =(У(М, 1)+У(М, 1), (6.2) где (у'(М, 1) — новая неизвестная функция, а функция У(М, 1) выбрана таким образом, чтобы она удовлетворяла граничному условию о — +~У~ =р(Р, Г)!лез дк' дл и обладала нужным числом непрерывных производных по М и Е Подставляя (6.2) в (6.1), получим задачу для У(М, 1): РР,(и) =Ш+)(М, г) в а се — +(1(т'1 =О, дп — ) = — — ), А=О,1,...,лг — 1, догу ~ деу дге !г=о дге г=о' где 1(м, 7)=1.У вЂ” рР~(У1.
Задача (6.3) может быть решена из- ложенными выше методами, поскольку она может быть разби- та на две задачи: и=и,(м, 7)+и,(м, 7), ( рр,(и~) =(-иь решения которых рассмотрены в 5 4 и 5. й 7. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В случае эллиптического уравнения метод Фурье превращается в метод разложения решения по собственным функциям соответствующей задачи Штурма — Лиувнлл». Рассмотрим краевую задачу йи+си= — Г в области 0 (7. 1) сс — "+()и ! =О, ~а(+ (Р~ ~0, ди Ь (7.2) где Еи=б1ч(йдгас(и) — с7и, с=сонэ(.
Пусть (Х„), и (о„(м))," — системы собственных значений и ортонормированных собственных функций следующей задачи Штурма — Лиувилля: 1.о-(-Хо=О в с, сс — +ро ~ =О, )а(+ (~( ~ О, дп о (М) и'- =О. (7.3) Заметим, что собственные функции задачи (7.3) ортогональны с весом р(М)=1. Решение задачи (7.1) — (7.2) может быть разложено по собственным функциям: ОО и (М) = 1), а„о„(м), а„= ~ ио„йУ. л=! о (7А) 54 с однородным граничным условием рр, [и,) =ш,+~, а — '+~ит~ =О, ди й=О, 1,...,т — 1, Коэффициенты а„разложения (7.4) определим энергетическим методом. Для этого уравнение (7.1) домножим на о„(М) и проинтегрируем по области )О: ~ о„! ийг + с ~ о исй' = — ~ о„7сц/. о о о Используя вторую формулу Грина и учитывая однородные граничные условия (7.2), отсюда получаем (7.6) (Մ— с)а =1„, п=!, 2,..., со, где )„= '1 )о„с(1г.
о Из соотношения (7.6) вытекают следующие утверждения. 1. Пусть с~А„при всех л. Тогда Хс и решение принимает вид СО и (М) = $ 1 " о„(М). ~ ю4 ~Ас — с с=! В этом случае решение единственно. 2. Пусть при п=п, Х~~'=с, где 1=1, 2,...,р, р — гана),. Если ~~~ ~О, то соотношение (7.6) при п=пс теряет смысл. Это означает, что в этом случае ()'„,' ФО) задача (7.1), (7.2) решения не имеет. Если же 7~„' =О, для всех 1=1,2, ..., р, то все коэф- фициенты а„, кроме а„,, определяются однозначно: пи 1п а„= ", пчьп„ Х„вЂ” с коэффициенты а~ ' неопределенны, и решение принимает вид с и = 11 г" о„(М)+ ~) 'а„"'о„"'(М), -Е л,." сМсе й=-1 где р=гапдХ„„а<"> — произвольные постоянные. В этом слу- чае решение существует, но неединственно.
Таким образом, при с=Х„необходимым условием разре- шимости задачи (7.1), (7.2) является выполнение равенств 1п,' =~ 1ои,'с()г=О, ~г=1, 2, ...,Р, 55 т. е, правая часть 1(М) должна быть ортогональна всем собственным функциям, соответствующим собственному значению Х„, =с. ' Это условие является также и достаточным условием разрешимости задачи (7.1), (7.2). Более подробное исследование вопросов разрешимости задачи (7.!), (7.2) здесь проводить не будем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
