Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 5
Текст из файла (страница 5)
дг Поскольку рп=(рсоа(п, х)+1рсоз(п, у)+1срсоз(п, г), где 1, (с — единичные векторы ортонормированного базиса, умножая первую формулу на 1, вторую на ), третью на к и складывая, получим ~ рпг(о= ~ цгабрс(У. аз л« С учетом последней формулы уравнение движения для объема газа ЛУ в интегральной форме имеет следующий вид; р — Л' = — ~ йгаб р с(У + ~ рГ с(У ач а» лч (1.20) дч Вычисляя ускорение — некоторой частицы газа, нужно учесть дг перемещение самой этой частицы.
Траектории отдельных час- тиц газа определяются уравнениями дх ду дг — — =о„, — =ох, дг дг " й откуда Юч дч + дч их+ дч дч =- — +— дг дх (1.21) где оператор чту определяется следующим образом: д д д ч 57 =о, — +пи — +о, —. * дх " ду ' дг Предполагая, что все функции, входящие в формулу (1.20), являются достаточно гладкими, применяя формулу среднего ' См И л ь и н В А, П о з н и к Э Г Основы математического анализа Ч 2 М: Наука, щ80 го дх дг дч ьл+ — о + ду дч ду дч дг ду й дг дт дч д» вЂ” о,= — +(ч 57) ч, дг дг значения и переходя к пределу, стягивая объем Ач' в точку, получим, учитывая (1.21), уравнение движения газа в форме Эйлера 1 и,+(ч тт)ч=- — — цгабр+Г.
Р Выведем теперь уравнение непрерывности, выражающее закон сохранения вещества. Пусть в выделенном объеме Л'ч' отсутствуют источники и стоки 'газа. Тогда изменение в единицу времени количества газа, заключенного внутри объема Л'ч', равно потоку газа через границу: — ( рсЬ= — ( рчпйп. Преобразуя правую часть последней формулы по формуле Остроградского ~ рчп сЬ= ~ йч(рч)с$', ьз дч будем иметь ~ ( Р +йч(рч)~ й'=О. дч К полученному уравнению движения газа и уравнению непрерывности необходимо добавить термодинамическое уравнение состояния, которое мы запишем в общем виде: где С вЂ” заданная функция. В результате получается система пяти скалярных уравнений относительно пяти неизвестных функций о, ц„, щ, р и Р: — +(ч т7) ч=à — — ягабр, дч 1 дг Р (1.22) — Р + йч (рч) = О, дР Й (1.23) (1. 24) Система уравнений (!.22) — (1.24) представляет замкнутую си- стему уравнений газодинамики.
21 Применяя формулу среднего значения и переходя к пределу, получим уравнение непрерывности д1 Р +йч(рч) =О. Колебательные движения в газе с малыми амплитудамн называются звуковыми волнами. В каждой точке звуковой вол- ны происходят поперечные сжатия и разрежения газа. В силу малости колебаний в звуковой волне скорость ч в ней мала, так что в уравнении (1.22) можно пренебречь члед~х нами второго порядка вида с,— и т. д.
По той же причине дх относительные изменения плотности и давления газа также малы. Положим р (М, 1) = р, (М)+ р, р (М, 1) = р, (М) + р, где р, (М) и ра(М) — равновесные значения давления и плотности газа, а р(М, Г) и р(М,1) — их изменения в звуковой волне, причем р«рм р«рм Величина р(М, Г) называется звуковым давле- нием. Пренебрегая в системе (1.22) †(1.24) членами второго по- рядка, получим линеаризованную систему уравнений. функцию С(р) разложим в ряд по степеням р и учтем члены первого по- рядка.
В результате получим р, + р = С (о,) + С' (о,) р и, поскольку р,=С(р,), Р= С (Ро) Р. Таким образом, замкнутая система малых акустических колебаний в сплошной среде имеет внд р, = — дгаб р+ р,Е, дч д~ (! .25) вз — + йч (р,ч) .= 6, (1,26) дг р.=С (р,)~ (1.27) Получим теперь уравнение относительно функции р(М, ~) Продифференцируем уравнение (1.26) по и оп -1- йч (роч,) = 0 и подействуем оператором йч на уравнение (1.25); йч(роч,) = — йчцгаб р+йч (р,г). Наконец, в линейном приближении из (1.27) получим цгаб р =- С' (р,) нгаб р. Обозначим й(М) =С'(р,) и )(М, г) = — б)ч(р,г).
Тогда из трех последних уравнений получим уравнение второго порядка относительно функции р(М, Г): о„=-йч(й(М) нгабр)+,г(М, г). (1.28) Уравнение (1.28) является уравнением колебаний в трехмерном случае. Оно часто называется уравнением акустики. В случае адиабатического процесса уравнение газового состояния имеет вид Р=Ро+Р=Ро ( — ) =Ро(1+ — ) — Ро(1+У ). откуда Р= У вЂ” Р. Ро Сравнивая (1.29) с (1.27), получим р. (М) Ро (М) (1.29) 3) Уравнения Максвелла.
В качестве третьего примера рассмотрим систему уравнений Максвелла в однородной и изотропной среде. В системе СИ уравнения Максвелла имеют вид го( Н = + )+1~"~, (1.30) дг го1 Е= —— дв д1 (1. 31) г((ч0 =р, с))ч В = О, (1.32) (1.33) где 1 — плотность тока проводимости, )ь о — плотность тока сторонних сил, р — плотность объемных зарядов. К уравнениям (1.30) — (1.33) добавим материальные уравнения 0=е,Е, В=р,Н, (1.34) где е.=еое — абсолютная диэлектрическая проницаемость, е — от! носительная диэлектрическая проницаемость, е, == — 1О Ф(м Зсп электрическая постоянная, р,=рор — абсолютная магнитная проницаемость, р — относительная магнитная проницаемость, ро=4п.10 ' Г!м — магнитная постоянная.
Плотность тока проводимости 1 связана с вектором Е уравнением, выражающим закон Ома в дифференциальной форме; (1.35) )=оЕ где о — проводимость среды. 2з Ср где постоянная у — показатель адиабаты у = —; ср — теплоемкость с.
' при постоянном давлении; с,— теплоемкость при постоянном объеме. В линейном приближении будем иметь Поскольку среда по предположению однородна и изотропна, то величины н„р., о являются постоянными скалярными вели- чинами, Подействуем на обе части уравнения (1.30) оператором го! В результате получим (с учетом (! 35)) го1 го1 Н = е, — го1 Е+ о го1 Е + го1 ! "" '. (1.36) д! С другой стороны, по известной формуле векторного анализа "' имеем го1 го1 Н = пгаб с(!и Н вЂ” х7' Н.
(1,37) Из формул (1.31), (!.34), (1.36) и (!.37) получим уравнение а„р, — + ор, — = х7 Н + го1 ! д'Н, дН З . (сп !! 38! дса дт ди дм — + а — = аа сам+ 7, ды д! (!.39! где а=о!е., из=!!нара, А — оператор Лапласа, и — любая из декартовых компонент вектора Н. й 2. ПРОЦЕССЫ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА Рассмотрение следующей группы физических задач, характеризующих процессы переноса в среде тепла пли вещества, начнем с вывода так называемого уравнения теплопроводности, описывающего процесс изменения теплового состояния тела.
Построим математическую модель изменения под действием заданных физических условий температуры точек тела, занимающего объем О, ограниченный поверхностью 5. Выделим в области Р малый объем Ь)У с границей Л5. Обозначим через и(М,() температуру тела !у в точке М в момент времени г, р(М) — плотность тела, с(М) — удельную теплоемкость, я(М) — коэффициент теплопроводности, !(М, Г)— объемную плотность источников (стоков) тепла. В дальнейшем нам понадобятся следующие экспериментально установленные физические закономерности. м См: И л ь и н В.
А, Поз н я к Э Г. Основы математического анализа Ч 2 М Наука, !980 Аналогичное уравнение получается для вектора Е. Уравнение (!.38) называется векторным волновым уравнением. Как будет следовать из дальнейшего рассмотрения, первая производная по времени определяет затухание колебаний— диссипативные потери энергии. Лля компонент вектора магнитного поля Н из (1.38) получим скалярные волновые уравнения, которые в декартовых координатах можно записать в виде Закон Фурье. Если температура тела распределена неравномерно, то в нем возникают тепловые потоки, направленные от более нагретых участков тела к менее нагретым.
Количество тепла Ы9, протекающее через площадку г(а за промежуток времени Н, равно ей~ = — й (М) — а(а с((, дл (2.() д где — — производная по нормали к площадке Но. дл Закон Ньютона. Количество тепла Я, протекающего в единицу времени через площадку а поверхности тела в окружающую среду, равно Я =ой(и — и,), (2.2) где ие — температура окружающей среды, и — температура поверхности тела, Ь вЂ” коэффициент теплообмена. Используем для вывода уравнения теплопроводности метод баланса.
Запишем уравнение теплового баланса для выделенного малого объема ЛУ. Пусть за промежуток времени Л2 температура объема ЛУ изменилась на Лие и(М, (+Ла) — и(М, т). При этом, как обычно, считаем объем столь малым, что в его пределах температуру можно считать постоянной. Количество тепла ЛЯь которое нужно сообщить объему ЛУ в течение промежутка времени Л~ для повышения его температуры на Ли, равно ЛЯт= ~с(М)Р(М)(и(М, ~+Л() — и(М, Г))е(У. (2.3) ду (2.5) ' См там же. 2в Между объемом ЛУ и остальной частью тела 0 через поверхность 5 происходит теплообмен, который согласно закону Фурье определяется формулой (2.1).
Количество тепла ЛЯь участвующее в этом теплообмене, равно ЛЯа= ~ ~Ь(Р) г(опт, дл д где — — производная по нормали к поверхности ЛЮ, внешней дл по отношению к области ЛУ. Предположим, что функции й и и являются достаточно гладкими, и преобразуем поверхностный интеграл в правой части формулы (2.4) к объемному с помощью теоремы Остроградского — Гаусса *>. В результате получим ~ удС ЛЯа=- ~ ') цьч(йдгаби)~(Уе(т. дУ Внутри объема ЛУ за промежуток времени Л1 может выделяться или поглощаться некоторое количество тепла, например за счет прохождения тока, вследствие различных химических реакций и т. д. Это количество тепла ЛЯз выражается с помощью введенной плотности источников (стоков) тепла следующим образом: г+л! Л1из = 5 '! 1(М, г) г(У г(т.
(2,6) лУ Уравнение теплового баланса имеет вид Л(е! Л(из+ Л'ез. (2.7) Подставляя (2.3), (2.5), (2.6) в формулу (2.7), получим интегральное уравнение теплового баланса, справедливое для любого достаточно малого элемента ЛУ рассматриваемого тела 1): ~ ср(и(М, 1+Л1) — и (М, 1))с(У =- ! ил! ги- м ') с)(у(йигаг) и) г)Ус(т+ ~ ) 1'с(Ус(т. (2 8) ! лУ лУ Чтобы из интегрального соотношения (2.8) получить дифференциальное уравнение, потребуем, чтобы функция и(М, 1) была дважды непрерывно дифференцируема по координатам и один раз непрерывно дифференцируема по времени, функция гг(М) непрерывно дифференцируема, а функции с(М), р(М) и 1(М,1) непрерывны Тогда, применяя к выражению (2.8) формулу конечных приращений и теорему о среднем *! и переходя к пределу при Л1 — ~0 и ЛУ, стягивающемся в точку М, получим с(М) р(М) и!=д(ч(й(М) ага!) и)+)(Мг, 1). (2.9) ,1аля постановки начально-краевой задачи к уравнению (2 9) необходимо добавить дополнительные условия.
Это начальное условие, определяющее температуру тела 0 в начальный момент времени 1=0. Отметим, что в случае уравнения теплопроводности, в котором старшей производной по времени является производная первого порядка, достаточно одного начального условия. В этом отношении уравнение теплопроводности отличается от уравнения колебаний, рассмотренного в $ 1, для которого необходима постановка двух начальных условий. Более подробно эти вопросы будут рассмотрены в дальнейшем, Граничное условие задает тепловой режим на поверхности 5 тела 12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
